2019届高三数学(理)二轮复习练习大题规范练(三)数列综合题

大题规范练(三)数列综合题(限时：60分钟)1．(2013·高考山东卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)n＋1*设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋an＝λ(λ为常数)，令cn＝b2n(n∈N)，求2数列{cn}的前n项和Rn.2．已知公比为q的等比数列{an}的前6项和6＝21，且41、32、2成等差数列．Sa2aa求an；(2)设{bn}是首项为2，公差为－1的等差数列，其前n项和为n，求不等式n－n＞0aTTb的解集．*3．(2014·济南市模拟)数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N)，等差数列{bn}知足b3＝3，b5＝9.分别求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cbn＋2*1n＋1nnan*4．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋3(n∈N)．(1)求数列{an}的通项an；(2)nna，数列{b}的前n项和为Tn若数列{b}知足b＝(3－1)，若不等式(－1)λ＜nnn2nnnn*对全部n∈N恒建立，求λ的取值范围．25．(2014·辽宁省五校联考n12＝a(a≠0)n＋2an＋1)已知数列{a}知足：a＝1，a，a＝p·an(此中p为非零常数，∈N*)．n(1)判断数列an＋1是否是等比数列；an(2)求an；nan＋2当a＝1时，令bn＝an，Sn为数列{bn}的前n项和，求Sn.nn12Snn＋11226．(2013·高考广东卷)设数列{a}的前n项和为S.已知a＝1，n＝a－3n－n－3，n∈*N.求a2的值；求数列{an}的通项公式；1117证明：对全部正整数n，有＋＋＋＜.a1a2an4大题规范练(三)1．解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得4a1＋6d＝8a1＋4d，①a1＋（2n－1）d＝2a1＋2（n－1）d＋1.a1＝1，解得d＝2.所以an＝2n－1，n∈N*.②(4分)n(2)由题意知Tn＝λ－2n－1，所以当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－nn－1n－22n－1＋2n－2＝2n－1.2n－21n－1*故cn＝b2n＝22n－1＝(n－1)4，n∈N.(6分)10＋1×1112131n－1，44444n11112131n－11n＋2×＋(n－1)×.(8分)则Rn＝0×4＋1×4＋＋(n－2)×4444两式相减得11n3n1112131n－11n4－41n14R＝4＋4＋4＋＋4－(n－1)×4＝1－(n－1)×4＝3－1－41＋3n1n34，3n＋1整理得Rn＝94－4n＋1.所以数列{c13n＋1.(12分)94－4nnn－132．解：(1)∵4a1、2a2、a2成等差数列，4a1＋a2＝3a2，即4a1＝2a2，∴q＝2.(2分)则a1（1－26）＝21，解得a1S31－2n－1∴an＝2.(5分)3(2)由(1)得－117－n1＝－，∴n＝2＋(－1)－＝，a3bn33n113－2n－nnT＝2n＋2(n－1)·3＝6，(9分)nn（n－1）（n－14）1＜n＜*∴T－b＞0，即－6＞0，解得14(n∈N)，故不等式n－n＞0的解集为{*＜＜14}．(12分)∈N|1Tbnn3．解：(1)由an＋1＝2Sn＋1，①得an＝2Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)，②①－②得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，∴an＋1＝3an(n≥2，n∈N*)，又a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1，∴an＝3n－1.(4分)∵b5－b3＝2d＝6，∴d＝3，bn＝3n－6.(6分)∵an＋2＝3n＋1，bn＋2＝3n，(8分)3nncn＝3n＋1＝3n，(9分)1－2ncn＋1－cn＝3n＋1＜0，(10分)1∴cn＋1＜cn＜＜c1＝3，(11分)1即cn＋1＜cn≤.(12分)31a＋334．解：(1)由题知，＝n＝＋1，an＋1aann1111∴＋＝3＋，nn1111n－13n∴n＋＝1＋2·3＝，a2a2nn2∴a＝3－1.(4分)(2)由(1)知，bn＝nn2＝n·1n－1，(3－1)·n·n223－111121n－1Tn＝1×1＋2×2＋3×2＋＋n·2，1n＝112n－1)1n－1×＋×＋＋＋2T1222(21n2，(6分)两式相减得，1n1111n1－2nn＋2n＋2分)＝1＋＋2＋＋n－1－n＝－n＝2－n，∴n＝4－n－1.(8n222212222T1－T2n＋3n＋2n＋1n＋1n＝4－n－4－n－1n＞0，∵T－T22＝2∴{Tn}为递加数列．①当n为正奇数时，－λ＜Tn对全部正奇数建立，(Tn)min＝T1＝1，∴－λ＜1，∴λ＞－1；②当n为正偶数时，λ＜Tn对全部正偶数建立，(Tn)min＝T2＝2，∴λ＜2.综合①②知，－1＜λ＜2.(12分)a2aan＋1＋25．解：(1)由n＋2＝·nn＋1，得＝·.(1分)nnnan＋1令cn＝an，则c1＝a，cn＋1＝＋1∵a≠0，∴c1≠0，cn＝p(非零常数)，∴数列an＋1是等比数列．(3分)an∵数列{cn}是首项为a，公比为p的等比数列，n－1n－1an＋1n－1∴cn＝c1·p＝a·p，即an＝ap.(4分)ann－1a2n－2n－30n－1n2－3n＋22当n≥2时，an＝·，aa··a·a1＝(ap)×(aq)××(ap)×1＝apn－1n－21(6分)n＝n－1n2－3n＋2∈N*.(7∵1知足上式，∴p2，分)aaanan＋2an＋2an＋1nn－122n－1，(3)∵＝a·a＝(ap)×(ap)＝apnn＋1nna＋22n－1n∴当a＝1时，bn＝an＝np.(8分)∴Sn＝1×p1＋2×p3＋＋np2n－1，①232n－12n＋1②pSn＝1×p＋＋(n－1)p＋np.∴当p2≠1时，即≠±1时，①－②得：p2n132n－12n＋1(1－p)S＝p＋p＋＋p－npp（1－p2n）2n＋1＝1－p2－np，p（1－p2n）np2n＋1即Sn＝（1－p2）2－1－p2；(11分)当p＝nn（n＋1）1时，S＝1＋2＋＋n＝2；(12分)（＋1）.(13分)当p＝－1时，Sn＝(－1)＋(－2)＋＋(－n)＝－2综上所述，n（n＋1）2

，p＝1，n（n＋1）S2p（1－p2n）np2n＋1（1－p2）2－1－p2，p≠±1.6．解：(1)依题意，2S1＝a2－1－1－2，3又S1＝a1＝1，所以a2＝4.(2分)(2)解法一：由题意2n＝n＋1－13－2－2，Sna3nn3n1322所以当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－3(n－1)－(n－1)－3(n－1)，(4分)122两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－3(3n－3n＋1)－(2n－1)－3，整理得nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，即an＋1an分)n＋－＝1.(61na2a141又当n＝1时，2－1＝2－1＝1，aan1所以数列n是首项为1＝1，公差为1的等差数列，an2所以n＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n，所以数列{an}的通项公式为2*分)an＝n，n∈N.(82Sn122解法二：由于n＝an＋1－3n－n－3，2Sn122所以n＝Sn＋1－Sn－3n－n－3.(4分)n＋2nn1n＋2)，整理得nS＝S＋1－3(n＋1)(所以Sn＋1－Sn1n（n＋1）＝，（n＋1）（n＋2）3SnS11所以数列n（n＋1）是首项为2，公差为3的等差数列，(6分)SS12n＋1n1所以（＋1）＝2＋3(n－1)＝6，nnn（n＋1）（2n＋1）所以Sn＝，6所以Sn－1＝（n－1）n（2n－1）(n≥2)，6所以an＝n－n－1＝n2(≥2)．SSn由于a1＝1切合上式，nn2*分)所以数列{a}的通项公式为a＝n，n∈N.(8111证明：设Tn＝＋＋＋.a1a2an7当n＝1时，T