2021年北京高考数学试卷含答案

2021年北京市高考数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的的四个选项中，选出符合题目要求的一项。.（4分）已知集合A={xl-IVxVl},B={xl04W2},则AUBTOC\o"1-5"\h\z=（ ）A.{xl0WxV1}B.{xl-1Vx&2} C.{xl1VxW2}D.{xl0VxV1}（4分）在复平面内，复数z满足（1-i）・z=2,则z=（ ）A.2+i B.2-i C.1-i D.1+i（4分）设函数f（x）的定义域为［0,1］,则“函数f（x）在［0,1］上单调递增”是“函数f（x）在［0,1］上的最大值为f（1）”的\o"CurrentDocument"（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件（4分）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）A.3；&B.4 C.3+3D.2（4分）双曲线C：2L1-Z=1过点（回，耳），离心率为2,则ab双曲线的解析式为（）2L--y22L--y2=1x2-lL=13D.C.2L_--d=12 3D.（4分）已知口口｝和｛bn｝是两个等差数列，且至（1<k<5）是常值,bk若a1=288,a5=96,1=192,则b3的值为（ ）A.64 B.100 C.128D.132（4分）已知函数f（x）=cosx-cos2x,试判断该函数的奇偶性及最大值（）A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2C.奇函数，最大值为9 D.偶函数，最大值为空3 S（4分）对24小时内降水在平地上的积水厚度（mm）进行如下定义：0〜1010〜2525〜5050〜100小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（）

C.大雨C.大雨D.暴雨（4分）已知圆C：x2+y2=4,直线l：y=kx+m,若当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2,则m的取值为TOC\o"1-5"\h\zA.±2 B.土g C.土爪 D.±3（4分）数列｛an｝是递增的整数数列，且a1，3,a1+a2+a3+・・・+an=100,则n的最大值为（ ）\o"CurrentDocument"A.9 B.10 C.11 D.12二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（5分）（X3-I）4的展开式中常数项是 .K（5分）已知抛物线C：y2=4x,C的焦点为F,点M在C上，且IFMI=6,则M的横坐标是；作MN±x轴于N,则S&MN= .（5分）已知』=（2,1）,g=（2,-1）,c=（0,1），贝IG+b）•匚=；a^b=•(5分)若PCcosO,sin。)与Q(cos(0+2L),sin(0+2L))关6 6于y轴对称，写出一个符合题意的0值.(5分)已知f(乂)=11y1---2,给出下列四个结论：(1)若k=0,则f(x)有两个零点；mkV0,使得f(x)有一个零点；mkV0,使得f(乂)有三个零点；(4)强＞0,使得f(米)有三个零点.以上正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(13分)已知在△ABC中，c=2bcosB,C=空.3(1)求B的大小；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使4ABC存在且唯一确定,并求BC边上的中线的长度.0c=.西②周长为4+2忌③面积为S^BC=手.(13分)已知正方体ABCD-A1B1cpi，点E为A1D1中点，直线B1cl交平面CDE于点F.(1)求证：点F为B1cl中点；(2)若点M为棱A1B1上一点，且二面角M-CF-E的余弦值为(14分)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取““合1检测法”即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人，已知其中2人感染病毒.(1)①若采用“10合1检测法”且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为一，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数11学期望E(X);(2)若采用“5合1检测法”检测次数Y的期望为E(Y),试比较E(X)和E(Y)的大小.(直接写出结果)(15分)已知函数f(x)=土纹.(1)若a=0,求y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)在x=-1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.(15分)已知椭圆E： =1(a>b>0)过点A(0,-2),/b2以四个顶点围成的四边形面积为4二(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB、AC交y=-3于点M、N,若PMI+IPNW15,求k的取值范围.(15分)定义Rp数列｛an｝：对pWR,满足：①a1+p20,a2+p=0:②VneN*,a4n1Va4n:③Vm,nGN*,am+f｛am+an+P'am+an+P+1｝・(1)对前4项2,-2,0,1的数列，可以是R2数列吗？说明理由；(2)若｛an｝是R0数列，求a5的值；(3)若Sn是数列｛an｝的前n项和，是否存在peR,使得存在Rp数列｛an｝,对任意neN*,满足Sn2S10?若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的的四个选项中，选出符合题目要求的一项。参考答案：TA={xl-1VxV1},B={xl0WxW2},，AUB={xl-1VxV1}U{xl0WxW2}={xl-1VxW2}.故选：B.点拨：本题考查并集及其运算，是基础题.参考答案：因为(1-i)・z=2,所以z=TT所以z=TT=(i-i)(ih)1+i故选：D.点拨：本题考查了复数的除法运算，解题的关键是掌握复数除法的运算法则，属于基础题.参考答案：若函数f(x)在［0,1］上单调递增，则函数f(x)在［0,1］上的最大值为f(1),若f(x)=(x-』)2,则函数f(x)在［0,1］上的最大值为f(1),3但函数f(x)在［0,1］上不单调，故选：A.点拨：本题考查了充分、必要条件的判断，属于基础题.参考答案：由三视图还原原几何体如图，

PA，底面ABC,AB±AC,PA=AB=AC=1,则^PBC是边长为日的等边三角形，则该四面体的表面积为S=3x1xixi4-lx ，"停气反故选：A.点拨：本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.参考答案：因为双曲线4-4=1过点（工，初ab贝第2且二1①，fb2又离心率为2,则1＞工2②，aV/由①②可得，a2=1,b2=3,所以双曲线的标准方程为/ r3故选：B.点拨：本题考查了双曲线的标准方程的求解，解题的关键是求出基本量a,b的值，考查了运算能力，属于基础题.6.参考答案：｛an｝和｛bn｝是两个等差数列，且券（1WkW5）6.值，由于a1=288,a5=96，故叱千=192，由一卒总b3b11922所以b3=128.故选：C.点拨：本题考查的知识要点：数列的等差中项的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.参考答案：因为f(x)=cosx-cos2x=cosx-(2cos2x-1)=-2cos2X+C0SX+1,因为f(-x)=-2cos2(-x)+cos(-x)+1=-2cos2X+C0SX+1=f(x),故函数f(x)为偶函数，令t=cosx，则t6-1，1]，故f(t)=-2t2+t+1是开口向下的二次函数，所以当t=―1—八时，f(t)取得最大值f([)=-2义(工)2X(-2)4 4 42+1+1=9，4 3故函数的最大值为生8综上所述，函数f(x)是偶函数，有最大值之8故选：D.点拨：本题考查了三角函数的性质，二倍角公式的运用，偶函数的定义，二次函数的性质，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题.参考答案：圆锥的体积为尸|部=1「兀匕，因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，所以圆锥内积水部分的半径为工戈工Xzoowomm，将r=50,h=150代入公式可得V=125000n(mm3),图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，平底上积水的体积为V=Sh，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，所以$=冗T,x200)2=10000"(mm2)，则平地上积水的厚度h=1250QCm (mm)，10000H 」因为10V12.5V25，由题意可知，这一天的雨水属于中雨.故选：B.点拨：本题考查了空间几何体在实际生活中的应用，解题的关键是掌握锥体和柱体体积公式的应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题.参考答案：圆C：米2+丫2=4，直线l：y=kx+m，直线被圆C所截的弦长的最小值为2,设弦长为a，则圆心C到直线l的距离d=4(_1上三，当弦长取得最小值2时，则d有最大值七二月，又齐作，因为k220，则而：＞1，故d的最大值为岛".务解得m=±1.故选：C.点拨：本题考查了直线与圆的位置关系的应用，主要考查了直线被圆所截得的弦长问题，点到直线距离公式的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题.参考答案：•・•数列｛an｝是递增的整数数列，An要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，假设递增的幅度为1,洱=3,・・an=n+2，则 =5口+门”,% 2 2当n=10时，a10=12,S10=75,・・100-510=25>210=12,即n可继续增大，n=10非最大值，当n=12时，a12=14,S12=102,・・100-S12=100-102V0,不满足题意，即n=11为最大值.故选：C点拨：本题考查了数列的知识，具有一定的探索性，需要找到研究的临界问题，属于中档题.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。参考答案：设展开式的通项为Tr+1，则Tr+1=c1(x3)4-r・=(-1)1尸又12-41令12-4r=0得r=3.，开式中常数项为：(<1)F=T.故答案为：-4.点拨：本题考查二项式系数的性质，利用通项公式化简是关键，属于中档题.参考答案：抛物线C：y2=4x,则焦点F(1,0),准线方程l为x=-1,过点M作ME^l,垂足为E,设M(x0,y0),则MF=ME=6,所以x0+1=6,则x0=5,所以点M的横坐标为5；点M在抛物线上，故vJrms二2口，所以％1=2.亏即MN=2.亏所以觊^^得父lFN|X|附|得><(5-1)><2；5=4；5.故答案为：5；4;点拨：本题考查了抛物线标准方程的应用，抛物线定义的应用以及几何性质的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题.参考答案：・・・』=(2,1),1=(2,-1),-=(0,1),・・・(I+b)*c=(4,0)(0,1)=4X0+0X1=0,pb=2X2+1X(-1)=3.故答案为：0；3.点拨：本题考查平面向量坐标运算，考查数学运算能力，属于基础题.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"参考答案：因为P(cose,sine)与Q(cos(0+2L),sin(0+2L))6 6关于y轴对称，故其横坐标相反，纵坐标相等，\o"CurrentDocument"即sine=sin(e+2L)且cose=-cos(e+2L),6 6由诱导公式sina=sin(n-a),cosa=-cos(n-a),所以e+%=n-e,解得e=i2L,6 12则符合题意的e值可以为且l.12故答案为：且L(答案不唯一).12点拨：本题考查了三角函数的化简，三角函数诱导公式的应用，点关于线的对称性问题，属于基础题.参考答案：函数f(x)=llgxl-kx-2的零点的个数可转化为函数丫=11朗与直线y=kx+2的交点的个数；作函数y=llgxl与直线y=kx+2的图象如右图，若k=0,则函数y=llgxl与直线y=kx+2的图象在(0,1)与(1,+8)上各有一个交点，如直线lj贝”(x)有两个零点，故(1)正确；若kV0,则当函数丫=口同与直线y=kx+2的图象相切时，f（x）有一个零点，如直线l2,故（2）正确；当kV0时，函数丫=11y1与直线y=kx+2的图象至多有两个交点,故（3）不正确；当k>0且k足够小时，函数丫=11y1与直线y=kx+2的图象在（0,1）与（1,+8）上分别有1个、2个交点，如直线l3,故（4）正确；故答案为：(1)(2)(4).\-\y点拨：本题考查了命题真假性的判断，同时考查了函数的零点与函数的图象的关系应用，考查了转化、数形结合等思想方法的应用，属于中档题.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。参考答案：（1）Vc=2bcosB,由正弦定理可得sinC=2sinBcosB，即sinC=sin2B,•・・C=。3，当C=2B时，B=2L，WC+B=n,不符合题意，舍去，3AC+2B=n,A2B=2L,3即B=2L.6(2)选①c=；2b,由正弦定理可得返3"中与已知条件c=无矛盾，故4ABC不存在，bsinD]~2选②周长为4+2思VC=22L,b=2L,3 6•.耳•・■二——,久6由正弦定理可得444二2引即早吟q=2口sinAsinBsinC_L_LJW22V・sl=R,b=R,c=,WR，a+b+c=(2+3)R=4+2国，・R=2,即a=2,b=2,c=2,△ABC存在且唯一确定，设BC的中点为D,・CD=1,在4ACD中，运用余弦定理,AD2=AC2+CD2-2AC・CD・cosNC,即AD“=4十1-2X2XIX(总)=7，AD=7，・BC边上的中线的长度彳

选③面积为S/ABC=^i,△ABC &••_n・k二B二丁，ti，a=b,=乂豆且,3 %FRX2=乂豆且,3 %FRX2-4AD2=AC2+CD2-2XACXCDXwLJmV21点拨：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题.17.【解答】(1)证明：连结DE,在正方体ABCD-A1B1c1D1中,CD〃C1D1,C1D1U平面A1B1C1D1,CDC平面A1B1C1D1，则CD〃平面A]B1cpi，因为平面A1B1C1D1n平面CDEF=EF,所以CD〃EF,则IEF#C1D1，故A1B1〃EF〃C1D1，又因为A1D1〃B1C1，所以四边形A1B1FE为平行四边形，四边形EFC1D1为平行四边形，所以A1E=B1F,ED1=FC1，而点E为A1D1的中点，所以A1E=ED1，故B3nFCj则点F为B1cl的中点；(2)解：以点B1为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体边长为2,设点M(m,0,0),且mV0,则C(0,2,-2),E(-2,1,0),F(0,1,0),故而=（-330）,丽=3,1,-2）,而Em,-1,0），设平面CMF的法向量为会⑸b,1），贝则=。，即［侬-匕二口，G•而:0 lb-2=0所以二，b=2,故正金，2.1），n m设平面CDEF的法向量为储（处V,1）,则日号。，即「取」口，口而二q l.y-2=0所以x=0，y=2,故〃1）,因为二面角M-CF-E的余弦值为近，3贝/>吾曲= 5 =*lmllnIJ^+4+lxV22+13Vel解得m=±1，又mV0，所以m=-1，点拨：本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的性质定理的应用，二面角的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.参考答案：(1))①若采用“10合1检测法”每组检查一次,共10次；又两名患者在同一组，需要再检查10次，因此一共需要检查20次.②由题意可得：X=20,30.P(X=20)=J_,P(X=30)=!2.1111可得分布列：X 20 30P 工 也1111E(X)=20XX+30X10=320.111111(2)由题意可得：Y=25,30.23TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"P(Y=25)=20x£2£9L=A,P(Y=30)=至.力99 明可得分布列：Y 25 30P . 正E(Y)=25X+30Xii=2?§Q>288O=32O.99 99 99 99 11E(X)VE(Y).点拨：本题考查了随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.参考答案：(1)f(X)=土区的导数为f‘(X)=-2/-2式上加)2 4x x=2月一$,3工可得y=f(x)在(1,1)处的切线的斜率为-4,则y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=-4(x-1),即为y=-4x+5；(2)f(x)=生红的导数为f,(x)=-2(”-G-2xe-2G,x2+a (i2+a)2由题意可得f'(-1)=0,即卫J=0,解得a=4,(a+1)2可得f(x)=生红，广十4f'(x)=2(/i)a-4),(x2+4)2当x>4或xV-1时，f'(x)>0,f(x)递增；当-1VxV4时,f'(x)V0,f(x)递减.函数y=f(x)的图象如右图，当xf-8,yf0；xf+8,yf0,则f(x)在x=-1处取得极大值1,且为最大值1；在x=4处取得极小值-L且为最小值-1.4 4所以fQ)的增区间为(-8,-1),(4,+8),减区间为(-1,4);f(x)的最大值为1,最小值为-工.4点拨：本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值和最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题.7 2参考答案：(1)因为椭圆E：1+工-=1(a>b>0)过点A(0,/b2-2),则b=2,又因为以四个顶点围成的四边形面积为45，所以聂26加4E解得a=^，故椭圆E的标准方程为四一二1；5 4(2)由题意，设直线l的方程为y-(-3)=k(x-0),即y=kx-3,当k=0时，直线l与椭圆E没有交点，而直线l交椭圆E于不同的两点B,C,所以kW0,设B(x1,y1),C(x2，y2),^y=ks-3联立方程组/J，可得(4+5k2)x2-30kx+25=0,限为=15 4贝^△=(-30^2-4X25(4+5k2)>0,解得lkl>1,

所以右十工小冷一，孙“一^,町工3十5k/ 124.5k2____ 2L...则y/2=(kx1-3)(kx2-3)=k2x1x2-3k(x1+x2)+9=-20k+36,4+5k2y1+y2=(kx1-3)+(kx2-3)=k(x1+x2)-6=-2生，4+5k2即二鼻2,

K1直线AC的方程为y-（-2）="但盯-D因为直线AB交即二鼻2,

K1直线AC的方程为y-（-2）="但盯-D因为直线AB交y=-3于点M,【算-0），即,上^-2,k2所以令y=-3,则『己’故心一，同理可得N（二生，-3），.+2注意到町工2二詈5>0,所以\，X2同号，因为y1+2>0,y2+2>0,所以xM,xN同号,故IPMI+IPNI=IxMl+IxNI=IxM+xNI,则IPMI+IPNI=।为+2y2+2町(y则IPMI+IPNI=।为+2y2+2戈I(k卫2-三)+,〔k戈[-W)+2(m]+叼)2kHJK2-t11%+2(力+冷)+4n,25 30kdk- FT- n4+5k'4+5k'-20k2+364S-20k2+364S4+5k2 4+5k2+4=5lkl,故lPMl+lPNl=5lkl,又IPMI+IPNIW15,即5lklW15,即lkl&3,又lkl>1,所以1VlklW3,故k的取值范围为[-3,-1)U(1,3].点拨：本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于难题.参考答案：(1)由性质③，结合题意可得0=33曰％+22+2,a1+a2+2+1}={2,3},矛盾，故前4项2,-2,0,1的数列，不可能是R2数列；(2)性质①，%20,a2=0；由性质③am+2t{am，am+1},因此a3=a1或a3=a1+1,a4=0或a4=1,若a4=0,由性质②可得a3Va4,即a1V0或4+1<0,矛盾；若a4=1,a3=a1+1,由a3Va