期权定价原理及其应用概述

期权定价原理及其应用5.1期权定价原理期权期权赋予期权持有人在到期日、以执行价格（从期权出售方）买入或卖出相关资产的权利（但不是义务）。看涨期权合约中指定：——相关资产、执行价格(X)、到期日(T)●欧式看涨期权赋予期权持有人只能在到期日T、以执行价格X（从看涨期权出售方）买入（“看涨”）相关资产的权利（但不是义务）。●美式看涨期权赋予期权持有人在到期日T前或到期日、以执行价格X（从看涨期权出售方）买入（“看涨”）相关资产的权利（但不是义务）。到期日看涨期权的价值ST

＝到期日T相关资产或股票的价值或价格。CT

＝在到期日执行价格为X的看涨期权的价值是ST的函数如果ST>X，则成为“实值期权”。如果ST<X，则成为“虚值期权”。如果ST=X，则成为“两平期权”。看跌期权指定：——相关资产——执行价格(X)——到期日(T)欧式看跌期权赋予期权持有人只能在到期日T、以执行价格X（向看跌期权出售方）卖出（“看跌”）相关资产的权利（但不是义务）。美式看跌期权赋予期权持有人在到期日T前或到期日、以执行价格X（向看跌期权出售方）卖出（“看跌”）相关资产的权利（但不是义务）。到期日看跌期权的价值ST＝到期日T时，相关资产或股票的价值或价格。PT＝在到期日、执行价格为X的看跌期权的价值是ST的函数如果ST<X，则成为“实值期权”。如果ST>X，则成为“虚值期权”。如果ST=X，则成为“两平期权”。Black-Scholes公式欧式看涨期权的公式计算是：这儿：S＝相关资产或股票的现价T-t＝剩余到期时间r＝连续无风险收益率e≈2.71828＝相关资产或股票连续复利报酬率的标准差（即波动）N(y)＝均值为0、方差为1的标准正态分布随机变量小于y的概率期权定价基本原理问题：一只股票目前价格100元，未来可能上涨到120元，也可能下跌至80元；如果现在你为了规避股票下跌的风险，买入一份看涨期权（执行价格为110元）那么，你应该支付多少钱得到这份看涨期权（对方需要多少钱才会愿意承担此风险）？期权的支付100120（120-110=10）80（0）无套利原理理如果不同的的资产在未未来带来相相同的现金金流，那么么资产（当当前）的价价格应该相相等，否则则就会存在在套利的机机会；横向套利：：不同市场场纵向套利：：不同期限限二叉树期权权定价二叉树期权权定价（BinomialoptionPricingModel）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出为期权定价价模型为B-S模型提供一一种比较简简单和直观观的方法12例：远期汇汇率与即期期汇率抛补利率平平价抛补利率平平价公式(1+美元利率)=(1+英镑利率)x(美元/英镑远期汇率)/(美元/英镑即期汇率)所以存在平平价关系：：即期汇率=远期汇率x(1+外币利率)/(1+本币利率)例：人民币币抛补利率率平价例：2010年4月利率:中国是是2.25%美国：：最高1.5%汇率即期汇汇率是6.823远期汇汇率是6.647投资策略：：ⅰ在纽约的银银行存1美元，一年年以后得到到1.015美元ⅱ将1美元换成RMB6.823,存入中国的的银行可以以获得:6.823x1.0225=RMB6.9765用远远期期汇汇率率换换成成美美元元，，可可获获得得：：6.9765/6.647=$1.0495策略略ⅱ可获获得得有有无无风风险险的的利利润润期权权定定价价的的基基础础就就是是无无套套利利原原理理构建建一一种种资资产产组组合合，，其其未未来来的的现现金金流流支支付付等等于于期期权权的的支支付付，，那那么么期期权权的的价价格格就就应应该该等等于于该该资资产产组组合合的的价价格格二叉叉树树定定价价模模型型：：Astockpriceiscurrently$20Inthreemonthsitwillbeeither$22or$1818StockPrice=$22StockPrice=$18Stockprice=$20A3-monthcalloptiononthestockhasastrikepriceof21.19StockPrice=$22OptionPrice=$1StockPrice=$18OptionPrice=$0Stockprice=$20OptionPrice=?构建建无无风风险险组组合合ConsiderthePortfolio:longDsharesshort1calloptionPortfolioisrisklesswhen22D–1=18DorD=0.252022D–118D股股股票票－－1份期期权权=无风风险险证证券券→1份期期权权=D股股股票票-无风风险险证证券券单期期二二叉叉树树期期权权定定价价模模型型考虑一个买权权在当前时刻刻t，下期t=T到期，中间只只有1期，τ=T-t假设该买权的的标的股票是是1个服从二项分分布的随机变变量。当前股股票价格为st=S是已知的，到到期股票价格格为sT，且满足21其中，u为上涨因子，，d为下跌因子22sT=su=uSsT=sd=dSstq1-q问题：如何确确定该期权在在当前时刻t的价值ct？设想：构造如如下投资组合合，以无风险险利率r借入资金B（相当于无风风险债券空头头），并且在在股票市场上上购入N股股票（股票票多头）。目的：在买权权到期日，上上述投资组合合的价值特征征与买权完全全相同。在当前时刻t，已知股票的的价格为s，构造上述组组合的成本为为23在到期时刻T，若希望该组组合的价值v与买权的价值值完全相同则则必须满足由上两式得到到由此得到的组组合称称为合成成期权（syntheticoption），由无套利利定价原则，，在当前时刻刻t买权的价值为为例子假设有1个股票买权合合约，到期日日为1年，执行价格格为112美元，股票当当前的价格为为100美元，无风险险利率为8％（连续复利利折算为单利利）。在到期期日股票的价价格有两种可可能：180美元或者60美元，求期权权的价值？25sT=su=us＝180sT=sd=ds=60stq1-qct？cT=cu=max(0,Su-112)=68cT=cd=max(0,Sd-112)=026Dicussion:Risk-neutralprobabilitypisRisk-neutralprobabilityforallsecurities。stock’’sexpectedrelativereturnis27Option’sexpectedrelativereturnisSo，pisavariablewhichmakeriskfulstockandcalloption’sexpectedreturnarebothonlyrisklessinterestrate.Fortheabovereason,Wecallp“riskneutralprobability”.Dicussion:Risk-neutralprobability在风险中性世世界中，主观观概率q没有出现。虽然个人对q的信念是不同同的，但是在在期权的定价价过程中并没没有涉及到q，也就是人们们对q认识的分歧并并不影响对期期权的定价结结果。投资者最终都都一致风险中中性概率p，它只取决于于r，u，d这三个客观因因子。28Dicussion:Risk-neutralprobability风险中性世界界，不必考虑虑风险，这等等价于假设投投资者是风险险中性的。若在期初构造造如下组合：：以S的价格买入N股股票，同时时以c的价格卖出1个期权，则该该组合的投资资成本为NS－c必然等于B。若sT＝su29若sT＝Sd投资者者虽然然投资资于有有风险险的股股票和和期权权，但但是由由二者者构成成的组组合NS－c，即相相当于于投资资1个无风风险的的证券券。组合贴贴现率率的贴贴现率率只能能是无无风险险利率率由于是是无风风险证证券，，对于于理性性投资资者，，不论论其偏偏好如如何，，其风风险态态度对对于这这样的的组合合是无无关紧紧要。。只要要考虑虑收益益的大大小即即可，，由此此大大大简化化资产产的定定价。。基于上上述的的理由由，只只要以以上述述方式式构建建投资资组合合来对对期权权定价价，就就等价价于假假设投投资者者是风风险中中性的的，既既然是是风险险中性性的，，则对对这样样的组组合定定价就就不必必考虑虑风险险问题题。30两阶段段二叉叉树定定价模模型由于标标的资资产市市场价价格是是1个连续续（接接近连连续））的随随机变变量，，不可可能只只有2种情形形，因因此可可以考考虑将将时间间T-t分为多多段处处理，，首先先介绍绍两阶阶段模模型。。31两阶段段模型型（Two-stepbinomialtree)若把从从定价价日t至到期期日T的时间间区间间T-t，划分分为2个阶段段，在在每1个阶段段，仍仍然假假设标标的资资产价价格只只可能能取2种状态态，上上涨和和下跌跌，且上涨涨和下下跌的的幅度度相等等，则第第2阶段结结束时时候（（t=T），标标的资资产价价格的的取值值为3个，并并且令令h为每个个阶段段的时时间长长度两阶段段模型型示意意图32stctsu,cuuduuddsd,cdsuu,cuusud,cudsdd,cdd其中，，u＝1/d两阶段段模型型第2期本来来有4种状态态，为为简化化分析析，不不妨规规定u=1/d，则第第2、3两种状状态为为同一一结果果，故故将其其合并并。期权到到期日日价值值的所有可可能值值为33由1阶段模模型可可知，，在风风险中中性条条件下下34注意：：风险险中性性概率率p只与r，h，u，d有关，，当上上述值值确定定下来来后，，两个个阶段段的p就完全全相同同，这这也正正是阶阶段平平分的的优点点。35当前时时刻t，期权权的价价值为为定价思思路：：倒推推定价价法首先得得到2期节点点的股股票价价格，，从而而得到到该期期的期期权价价格。。采用风风险中中性定定价，，通过过贴现现得到到1期节点点的股股票价价格和和期权权价格格。由1期的股股票价价格得得到期期权价价格，，得到到当前前期权权的价价格。。风险中中性定定价下下，每每一期期的风风险中中性概概率都都是相相同的的。365.4n阶段二二叉树树定价价模型型将定价价日t到到期期日T的时间间进一一步等等分为为n个阶段段，每每个阶阶段的的长度度为h37标的资资产在在到期期日的的状态态可能能取值值为n＋1个.若n→∞，即每每个阶阶段所所对应应的长长度无无穷小小，则则完全全有理理由用用二叉叉树来来近似似表示示标的的资产产价格格的连连续变变化过过程。。数学意意义：：根据据中心心极限限定理理，若若n充分大大，则则二项项分布布收敛敛于正正态分分布思路：：推导出出n期的二二项式式模型型，然然后令令n趋于无无穷。。标的股股票当当前价价格为为St=S，而在在以后后任意意一期期，股股价的的变化化有上上升和和下降降两个个可能能。这这样经经过n期后（（到期期日T），若若该股股票上上涨j次，下下跌n-j次，到到期日日T股价ST为38由概率率论可可知，，sT服从二二项分分布（（binomialdistribution)，所以以，具具有j次上涨涨，n-j次下降降的股股票价价格sT的概率率为recall：binomialdistribution假设在在一个个不透透明的的袋子子中有有N个球，，其中中M个是白白色的的，其其余N-M个球是是黑色色的，，则每每次取取球取取到白白球的的概率率是p=M/N。若有放放回地地取球球n次，称称之为为n重贝努努里试试验。。在贝贝努里里试验验中刚刚好取取到j次白球球的概概率记记为b(j;n,p)39recall：binomialdistribution由于于b(j;n,p)刚好好是是二二项项式式40例如如第第j项就就是是故上上述述分分布布又又称称为为二二项项式式分分布布，，并并且且成成立立recall：binomialdistribution由于于二二项项式式分分布布计计算算复复杂杂，，为为简简化化计计算算。。当当n→∞∞，可以以用用正正态态分分布布逼逼近近（（定定理理：：独独立立同同分分布布下下的的中中心心极极限限定定理理））。。设随随机机变变量量Yn~b(j;n,p)，则则随随机机变变量量4142参照照2阶段段模模型型的的思思路路，，从从最最后后的的n期（（T时刻刻））开开始始逐逐期期向向前前推推导导，，则则期期权权在在当当前前时时刻刻t的价价格格为为公式式意意义义：：在在风险险中中性性世世界界里里，将将期期权权到到期期时时所所有有的的可可能能值值对对当当前前时时刻刻贴贴现现，，并并以以风风险险中中性性概概率率加加权权，，得得到到的的是是期期权权现现值值的的期期望望值值。。此期期望望值值是是期期权权的的真真实实值值吗吗？？Forexample:two-stepbinomialtrees43CRRmodel:n-stepbinomialtrees444546Howtocomputeuord?ChoosinguanddOnewayofmatchingthevolatilityistoset48wheresisthevolatilityandhisthelengthofthetimestep.ThisistheapproachusedbyCox,Ross,andRubinstein.Neutral-riskprobabilityisSimplifyfirstterm49=150Binomialequation51Simplifysecondterm52Simplifyallterms53Nextstep,wemustdeduced1andd2whenn→∞∞deducingd1andd2(form)54deducingd1andd2(forp)555657deducingd258Result:Black-Scholesformula59HowtochooseuanddBlack-scholesmodelassumethemotionofstockpricesatisfiestheGeometryBrownmotionorlogarithmnormaldistribution60Howtochooseuandd61Inbinomialmodel,weassumeqisprobabilityofstockpriceupinrealworlds.Howtochooseuandd626364So,wefindonesolveoftheequationInrisk-neutralworld,thereturnofsecuritiesmustber,whichmeansDisscusion:ChoosinguanddWehaveknowneutralprobabilitypforanystep65ud1p1-pWecanget66Prove:inrisk-neutralworldVarianofastock’’sreturninAccordingtoGeometryBrownmotion67ud1p1-p68Substitutingforuandd,thetermsofhigherthan2powerareignored.FromCox，RossandRubinstein(1979)美式式期期权权可可以以提提前前执执行行，，提提前前执执行行从从表表面面上上看看是是一一个个非非常常微微小小的的变变化化，，但但是是欧欧式式期期权权与与美美式式期期权权（（尤尤其其是是看看跌跌期期权权））价价值值有有很很大大的的不不同同。。WeknowthevalueoftheoptionatthefinalnodesWeworkbackthroughthetreeusingrisk-neutralvaluationtocalculatethevalueoftheoptionateachnode,testingforearlyexercisewhenappropriate美式期权没有有解析解，故故采用二叉树方法来逼近。。695.7Application:AmericanoptionpricingAmericanoptionpricing70以无收益证券券的美式看跌跌期权为例。。把该期权有有效期划分成成N个长度为h的小区间，令令表示在时间时时第j个结点处的美美式看跌期权权的价值，同时用表表示结点处处的的证券价格，可得：后，假定期权不被被提前执行，，则在风险中中性条件下：：71Example:AmericanPutOption(SeeExample16.1,page391)S=50;X=50;r=10%;s=40%;T=5months=0.4167(year);h=1month=0.0833(year);Theparametersimplyu=1.1224;d=0.8909;=1.0084;p=0.507672为了构造二叉叉树，我们把把期权有效期期分为五段，，每段一个月月（等于0.0833年年）。可以算算出：73Example74X＝50二叉树模型的的程序example：PriceanAmericancalloptionusingabinomialmodel.Again,theassetpriceis$100.00,theexercisepriceis$95.00,therisk-freeinterestrateis10%,andthetimetomaturityis0.25years.Itcomputesthetreeinincrementsof0.01years,sothereare0.25/0.01=25periodsintheexample.Thevolatilityis0.50,thisisacall(flag=1),thedividendrateis0,anditpaysdividendof$5.00afterthreeperiods(anex-dividenddate).Executingthetoolboxfunction75MATLABfinancialtoolbox[AssetPrice,OptionPrice]=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,Flag,DividendRate,Dividend,ExDiv)[StockPrice,OptionPrice]=binprice(100,95,0.10,0.25,0.05,0.50,1,0,5.0,3);76StockPrice=Columns1through4100.0000111.2713123.8732137.9629085.9677100.0495111.32110080.999490.017500072.982500000000Columns5through6148.6915166.2807118.8981132.962995.0744106.321176.024385.017560.791367.9825054.360878OptionPrice=Columns1through412.101115.170825.347042.962905.30685.408116.3211001.34812.7402000000000000Columns5through654.165371.280724.371937.96295.569811.3211000000Keyconclusions二叉树模型的的基本依据：：假设资产价价格的运动是是由大量的小小幅度二值运运动构成，用用离散的随机机游走模型模模拟资产价格格的连续运动动可能遵循的的路径。二叉树模型与与风险中性定定价原理相一一致，即模型型中的收益率率和贴现率均均为无风险收收益率，资产产价格向上运运动和向下运运动的实际概概率并没有进进入二叉树模模型，模型中中隐含导出的的概率是风险险中性世界中中的概率，从从而为期权定定价。当二叉树模型型相继两步之之间的时间长长度趋于零的的时候，该模模型将会收敛敛到连续的对对数正态分布布模型，即Black-Scholes方程。79共同基金与对对冲基金？谢谢1月月-2301:28:5001:2801:281月月-231月月-2301:2801:2801:28:511月-231月-2301:28:512023/1/61:28:519、静夜四无邻邻，荒居旧业业贫。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中黄黄叶树，，灯下白白头人。。。01:28:5101:28:5101:281/6/20231:28:51AM11、以我独沈久久，愧君相见见频。。1月-2301:28:5101:28Jan-2306-Jan-2312、故故人人江江海海别别，，几几度度隔隔山山川川。。。。01:28:5101:28:5101:28Friday,January6,202313、乍乍见见翻翻疑疑梦梦，，相相悲悲各各问问年年。。。。1月月-231月月-2301:28:5101:28:51January6,202314、他乡生生白发，，旧国见见青山。。。06一一月20231:28:51上午午01:28:511月-2315、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。一月231:28上午午1月-2301:28January6,202316、行动出成成果，工作作出财富。。。2023/1/61:28:5201:28:5206January202317、做做前前，，能能够够环环视视四四周周；；做做时时，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿着着以以脚脚为为起起点点的的射射线线向向前前。。。。1:28:52上午午1:28上午午01:28:521月-239、没有失败败，只有暂暂时停止成成功！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事事情努力力了未必必有结果果，但是是不努力力却什么么改变也也没有。。。01:28:5201:28:5201:281/6/20231:28:52AM11、成功功就是是日复复一日日那一一点点点小小小努力力的积积累。。。1月-2301:28:5201:28Jan-2306-Jan-2312、世间成事事，不求其其绝对圆满满，留一份份不足，可可得无限完完美。。01