山东省淄博市房镇中学2023年高三数学文期末试题含解析

山东省淄博市房镇中学2023年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，已知，则一定为

A．等腰三角形B．直角三角形

C．钝角三角形

D．正三角形参考答案：A2.已知等差数列的前项和为，若且A,B,C三点共线（该直线不过点O），则等于

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D3.设α，β是两个不同的平面，m是一条直线，给出下列命题：①若m⊥α，m?β，则α⊥β；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β．则（）A．①②都是假命题 B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是真命题参考答案：B【分析】由面面垂直的判定①为真命题；若m∥α，α⊥β，m与β不垂直，【解答】解：由面面垂直的判定，可知若m⊥α，m?β，则α⊥β，故①为真命题；如图m∥α，α⊥β，m与β不垂直，故②是假命题．故选：B．【点评】考查直线与平面、面与面的位置关系，解决此题问题，可以把图形放入长方体中分析，体现了数形结合的思想，属于中档题．4.已知函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1，将f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的解析式为（）A． B．C． D．参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想．【分析】由已知中函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1，我们根据倍角公式及辅助角公式，易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，然后根据周期变换及平移变换法则，结合已知中将f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，即可求出函数y=g（x）的解析式．【解答】解：∵函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1，∴f（x）=sin2x+cos2x=将f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来，纵坐标不变，可以得到y=的图象再将所得图象向右平移个单位，得到函数y==故函数y=g（x）的解析式为故选D【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握y=Asin（ωx+φ）的图象变换中振幅变换、平移变换及周期变换的法则及方法是解答本题的关键．5.对任意的实数，，不等式恒成立，则实数的最大值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略6.高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、、、、均在半径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为

A．

B．

C．

D．参考答案：A本题主要考查球的性质、棱锥的性质、平面间的距离等基础知识，以及考查转化的思想、构造的思想，同时考查空间想象能力、逻辑思维能力、图形的变换能力、创新解决问题的能力．难度较大．如图所示，设球心为O，正方形的中心为O1，则OB＝1，O1B＝BD＝，所以点O到平面ABCD的距离OO1＝＝，因为四棱锥S－ABCD的底面的高为，可以想到四棱锥的顶点S是与平面ABCD平行且距离为的一个小圆的圆周上，同时这两个小圆面与球心的距离均相等，因此它们是等圆周，故可取一个特殊点来解答，即过B作平面ABCD的垂线，与大圆的交点为S，则SO就是所求．易知SB＝，则SO＝＝＝．7.函数的大致图象为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A8.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A．

B．

C．

D．参考答案：AB．在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A9.设全集则(CuA)∩B=(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C略10.（

）A.-6

B.

C.6

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.奇函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，则不等式的解集为

。参考答案：12.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为

__________.参考答案：12由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成，梯形面积即是主视图和侧视图的面积.故梯形面积之和为.

13.已知函数，数列{an}是公比大于0的等比数列，且，，则_______.参考答案：【分析】由于是等比数列，所以也是等比数列.根据题目所给条件列方程，解方程求得的值.【详解】设数列的公比为，则是首项为，公比为的等比数列，由得，即①，由，得②，联立①②解得.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的前项和公式，考查运算求解能力，属于中档题.14.已知向量，，，，且，则_________.参考答案：【分析】设（x，y）．由于向量，满足||＝1，（2，1），且（λ∈R），可得，解出即可．【详解】设（x，y）．∵向量，满足||＝1，（2，1），且（λ∈R），∴λ（x，y）+（2，1）＝（λx+2，λy+1），∴，化为λ2＝5．解得．故答案为：．【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题．15.设全集，集合，，则=

▲

，=

▲

，=

▲

．参考答案：=，=，=．16.函数的定义域为R，且定义如下：（其中M是实数集R的非空真子集），在实数集R上有两个非空真子集A、B满足，则函数的值域为

。

参考答案：17.设函数f（x）的定义域为D，若任取x1∈D，存在唯一的x2∈D，满足=C，则称C为函数y=f（x）在D上的均值，给出下列五个函数：①y=x；②y=x2；③y=4sinx；④y=lgx；⑤y=2x．则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为

．参考答案：①④【考点】函数的值．【分析】根据定义分别验证对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使f（x1）+f（x2）=4成立的函数即可．【解答】解：首先分析题目求对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使f（x1）+f（x2）=4成立的函数．①y=x，f（x1）+f（x2）=4得x1+x2=4，解得x2=4﹣x1，满足唯一性，故成立．②y=x2，由f（x1）+f（x2）=4得x12+x22=4，此时x2=，x2有两个值，不满足唯一性，故不满足条件．③y=4sinx，明显不成立，因为y=4sinx是R上的周期函数，存在无穷个的x2∈D，使成立．故不满足条件④y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x2∈D，使成立．故成立．⑤y=2x定义域为R，值域为y＞0．对于x1=3，f（x1）=8．要使成立，则f（x2）=﹣4，不成立．故答案为：①④．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等比数列的各项均为正数，且，，数列的前项和为（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和．参考答案：解：（Ⅰ）设等比数列的公比即，

解得：或

............3分又的各项为正，，故

............6分（Ⅱ）法一：设，数列前n项和为.由解得.

............8分

............10分

............12分法二：由题设

...........9分即

............12分19.在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.参考答案：证明：（1）因为四边形是等腰梯形，，，所以.又，所以，因此，，又，且，平面，所以平面.（2）解法一：由（1）知，所以又平面，因此两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则，，，因此，设平面的法向量为由于，取，则，由于是平面的一个法向量，则所以二面角的余弦值为.解法二：如图，取的中点，连接由于，因此，又平面，平面，所以，由于，平面,所以平面，故，在等腰三角形中，由于，因此，又，所以，故，因此二面角的余弦值为.20.（本小题满分13分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线

BF∥平面ACD，并证明这一事实；（2）求多面体ABCDE的体积；（3）求直线EC与平面ABED所成角的正弦值．

参考答案：如图，（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，

连接FH，则，∴，

……………2分

∴四边形ABFH是平行四边形，∴，

由平面ACD内，平面ACD，平面ACD；……………4分

（2）取AD中点G，连接CG..

……………5分

AB平面ACD,∴CGAB

又CGAD

∴CG平面ABED,

即CG为四棱锥的高，

CG=

……………7分

∴=2=.

……………8分(3)连接EG，由（2）有CG平面ABED，

∴即为直线CE与平面ABED所成的角，………10分

设为，则在中，

有．

……………13分21.（12分）已知向量=（sinx，﹣1），向量=（cosx，﹣），函数f（x）=（+）?．（1）求f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A和b．参考答案：【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；（2）根据x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的性质求出f（x）的最大值，以及此时x的值，由f（A）为最大值求出A的度数，利用余弦定理求出b的值即可．【解答】解：（1）∵向量=（sinx，﹣1），向量=（cosx，﹣），∴f（x）=（+）?=sin2x+1+sinxcosx+=+1+sin2x+=sin2x﹣cos2x+2=sin（2x﹣）+2，∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期T==π；（2）由（1）知：f（x）=sin（2x﹣）+2，∵x∈[0，]，∴﹣≤2x﹣≤，∴当2x﹣=时，f（x）取得最大值3，此时x=，∴由f（A）=3得：A=，由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA