山东省淄博市师专附属中学2021年高三数学文测试题含解析

山东省淄博市师专附属中学2021年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）已知i是虚数单位，则=（）A．1B．iC．﹣iD．﹣1参考答案：B【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数代数形式的乘除运算化简括号内部的代数式，然后利用虚数单位i的运算性质得答案．解：∵，∴=（﹣i）3=i．故选：B．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2.如图，一个简单几何体的三视图其主视图与俯视图分别是边长2的正三角形和正方形，则其体积是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C3.已知首项是1的等比数列的前项的和为，，则（

）（A）5

（B）8

（C）

（D）15参考答案：A略4.玉琮是古代祭祀的礼器，如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想，该玉琮的三视图及尺寸数据（单位：cm）如图所示.根据三视图可得该玉琮的体积（单位：cm3）为（

）

A．

B．

C.

D．参考答案：D5.数列的首项为，为等差数列且.若则，，则为

(

)A.

0

B.

3

C.

8

D.

11参考答案：B略6.已知命题p：?x∈R，cosx＝；命题q：?x∈R，x2－x＋1>0.则下列结论正确的是A．命题是假命题

B．命题是真命题C．命题是真命题

D．命题是真命题

参考答案：D7.等差数列的前n项和为，且9，3，成等比数列.若=3，则=(

)

A.7

B.8

C.12

D.

16参考答案：C因为9，3，成等比数列，所以，解得，所以等差数列为常数数列，所以。8.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点是双曲线在第一象限内的点，直线，分别交双曲线的左、右支于另一点，，若，且，则双曲线的离心率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D点睛：解答本题时，充分利用题设中的条件与双曲线的对称性构造平行四边形，先运用余弦定理，求出，再借助平行四边形的几何性质建立方程，建立关于离心率的方程，从而使得问题获解。9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】首先确定该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即，下方削去半个球，根据尺寸计算即可.【详解】观察三视图发现：该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即，下方削去半个球，故几何体的体积为：，故选D.【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断几何体的形状，然后根据其尺寸计算体积，属于中档题.10.已知集合，则A∩B=（

）A.{0,1,2} B.{1,2} C.{－1,0} D.{－1}参考答案：B【分析】根据指数函数的性质，求得集合，再根据集合的交集运算，即可求解．【详解】由题意，集合，则，故选B．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，,,分别为角,,所对的边，且满足，则

，若，则

.参考答案：12.设、满足约束条件，若目标函数的最大值为4，则的最小值为

.参考答案：略13.如图，三棱锥S-ABC中，SA=AB=AC=2，，M、N分别为SB、SC上的点，则△AMN周长最小值为

.参考答案：14.一个正四棱柱的各个顶点都在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为

。参考答案：15.右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为，，，，，.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.参考答案：9

16.连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）两次，则出现向上的点数和大于9的概率是．参考答案：略17.随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分13分)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；参考答案：19.（满分１５分）动圆过定点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线，过作曲线两条互相垂直的弦，设的中点分别为、.（1）求曲线的方程；（2）求证：直线必过定点.Ks5u参考答案：解：（1）设，则有，化简得……………6分（2）设，代入得，，,故………………10分因为，所以将点坐标中的换成，即得。则

，整理得,故不论为何值，直线必过定点.………………15分略20.（12分）如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x﹣4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y0≥1）作两条直线与⊙M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；（Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．参考答案：【考点】：圆与圆锥曲线的综合；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；抛物线的标准方程．【专题】：综合题．【分析】：（Ⅰ）利用点M到抛物线准线的距离为，可得，从而可求抛物线C的方程；（Ⅱ）法一：根据当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），可得kHE=﹣kHF，设E（x1，y1），F（x2，y2），可得y1+y2=﹣2yH=﹣4，从而可求直线EF的斜率；法二：求得直线HA的方程为，与抛物线方程联立，求出E，F的坐标，从而可求直线EF的斜率；（Ⅲ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线HA的方程，直线HB的方程，从而可得直线AB的方程，令x=0，可得，再利用导数法，即可求得t的最小值．法二：求以H为圆心，HA为半径的圆方程，⊙M方程，两方程相减，可得直线AB的方程，当x=0时，直线AB在y轴上的截距（m≥1），再利用导数法，即可求得t的最小值．解：（Ⅰ）∵点M到抛物线准线的距离为=，∴，∴抛物线C的方程为y2=x．（2分）（Ⅱ）法一：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴kHE=﹣kHF，设E（x1，y1），F（x2，y2），∴，∴，∴y1+y2=﹣2yH=﹣4．（5分）∴．（7分）法二：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴∠AHB=60°，可得，，∴直线HA的方程为，联立方程组，得，∵∴，．（5分）同理可得，，∴．（7分）（Ⅲ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴，∴直线HA的方程为（4﹣x1）x﹣y1y+4x1﹣15=0，同理，直线HB的方程为（4﹣x2）x﹣y2y+4x2﹣15=0，∴，，（9分）∴直线AB的方程为，令x=0，可得，∵，∴t关于y0的函数在[1，+∞）上单调递增，∴当y0=1时，tmin=﹣11．（12分）法二：设点H（m2，m）（m≥1），HM2=m4﹣7m2+16，HA2=m4﹣7m2+15．以H为圆心，HA为半径的圆方程为（x﹣m2）2+（y﹣m）2=m4﹣7m2+15，①⊙M方程：（x﹣4）2+y2=1．②①﹣②得：直线AB的方程为（2x﹣m2﹣4）（4﹣m2）﹣（2y﹣m）m=m4﹣7m2+14．（9分）当x=0时，直线AB在y轴上的截距（m≥1），∵，∴t关于m的函数在[1，+∞）上单调递增，∴当m=1时，tmin=﹣11．（12分）【点评】：本题以抛物线与圆的方程为载体，考查抛物线的标准方程，考查直线方程，同时考查利用导数法解决函数的最值问题，综合性较强．21.（本小题满分12分）等差数列的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数。（1）求此数列的公差d；（2）当前n项和是正数时，求n的最大值。参考答案：【知识点】等差数列的通项与求和.D2

【答案解析】（1）；（2）12.解析：（1）为整数，（2）的最大值为12.【思路点拨】（1）由a6＞0，a7＜0且公差d∈Z，可求出d的值；（2）由前n项和Sn＞0，以及n∈N*，求出n的最大值．22.已知函数.（Ⅰ）求函数在处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的，恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当时，设函数.证明：对于任意的，函数有且只有一个零点.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见证明【分析】（I）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.（II）将原不等式分离常数，得到恒成立，构造函数，利用导数求得函数的最大值，由此求得的取值范围.（III）先求得的表达式，然后利用导数证得在上有一个零点.再利用导数证得在上没有零点，由此得证.【详解】解：（Ⅰ）已知函数，可得，且，函数在处的切线方程为.（Ⅱ）对任意恒成立，所以.令，则令，解