2015年高考数学模拟题冲刺

一、选择题的解 .-3选择提分专练(1)..................................................................................................................-9选择提分专练(2)................................................................................................................-12选择提分专练(3)................................................................................................................-15二、填空题的解法.................................................................................................................-18填空提分专练(1)................................................................................................................-24填空提分专练(2)................................................................................................................-25填空提分专练(3)................................................................................................................-26三、解答题的八个答题模板.................................................................................................-27四、三角函数、解三角形、平面向量.................................................................................-47高考专题训练三角函数(解答题55高考专题训练立体几何(解答题)(理66--高考专题训练概率与统计(解答题79-七、数列、不等式.................................................................................................................-82数-高考专题训练函数与导数(解答题105-高考专题训练解析几何(解答题116-十、专题训练.......................................................................................................................-119专题练习二函数与导数123专题练习三三角变换与解三角形、平面向量127专题练习四数列与不等式131专题练习五立体几 .-135专题练习九集合与逻辑用语、框图、复数、几何证明、坐标系与参数方程151一、选择题的解方法 直接例 数列{an}的前n项和为Sn，已知 1，且对任意正整

m、n

Sn<a恒成立，则实数a的最小值为 3 解

＝a·am＝1

＝a

m

n1⇒an

1＝2(1－3n)<2Sn<a11答

y＝sin2x(x∈R)m(m>0)n(n>0)个单位所得到的图象都与函数

B. D.答 3 3π

66

π 33方法 特例2(1)等差数列{an}m302m1003m项和为( (2)如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P、Q满足A1P＝BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( D.D. 差数列，进而a3＝110，故S3＝210，选C. VABCAB＝ 1113答 O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A＝60°

cosB

cosC→ →，sinC·AB＋sinB

则m的值为 22A. 22答 解 如图，当△ABC为正三角形时，A＝B＝C＝60°，取D为BC的中点→21→1 33AB＋31 2∴ →4∴＝2方法 例3函数y＝xsinx在[－π，π]上的图象是 解 容易判断函数y＝xsinx为偶函数，可排除π0<x<2时，y＝xsinx>0x＝π时，y＝0C答 可以是 答案解析y＝2|x|，发现它是偶函数，x≥0x＝0时函数取得最小1，而当x＝±4时，函数值为16，故一定有0∈[a，b]4∈[a，b]或者－4∈[a，b]，从而a＝－4时，0≤b≤4，b＝4时，－4≤a≤0b＝g(a)B.方法四数形(图解法例 函数f(x)＝1|x－1|＋2cosπx(－2≤x≤4)的所有零点之和等于 由f(x)＝1|x－1|＋2cosπx＝0，得1|x－1|h(x)＝－2cos

g(x)＝1|x－1|(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤g(x)＝1|x－1|x＝1x＝1h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤g(x)＝1|x－1|(－2≤x≤4)h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)x＝1对称，且6答 ±过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于AB两点，O为坐标原点当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( ±A.

B．－B

D．－答 由y＝1－x2，得x2＋y2＝1(y≥0)，其所表示的图形是以原点O为圆心，1为半径的上lA，C选项．当其斜率为－3l方程为3x＋y－6＝0O到其距离为|－6|＝

D

2方法五例 若A为不等式组

a从－21x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为 44

4解 如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形41

2×2＝2C答

关键在于所求值应该比△AOB的面积小且大于其面积的一半．sinθ

4－2m ＝

，cos

1

答 2 试根据答案的数值特征分析．由于受条件sin2θ＋cos2θ＝1的制约，m为一确定的值，进而2

πθ 选择提分专练 是纯虚数，则实i 是纯虚数，则实i

1

＋5i

5设全集 解 由图中阴影部分表示集合A∩(∁UB)A＝{x|x(x答 pqp，则q0p∃x0∈Rx2＋1<0，则p：∀x∈R0p，q，若“p∨qpq b 若“p∨q”为假，则命题p与q均假，错误；D中，a＝b＝0D/a＝－1错误．b答 某校200名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间 2解析由直方图知[90,100]内的频率为：1[1－(0.02＋0.03＋0.04)×10]＝0.05，所以成绩在2答 故选A.答 5 C．5

PCDABCD，PC＝PDAB、CDM、

4×5＝2

P－ABCD答 若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b 解 依题意知直线y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且直线2x＋y＋b＝0过圆心，＝ ＝以 即答 解 loga＋loga＋…＋log

＝log(aa

)＝log(a

2 2答

2

21

25已知△ABCA，B，Ca，b，c，若

则△ABC的面积为

6A.6C.

B.＝解 由正弦定理 c ＝及 得 4sinB＝1－cos2B＝154

△ABC＝2acsinB＝2×1×2×4＝4答 已知函数f(x)＝x3－12x＋a，其中a≥16，则下列说法正确的是( f′(x)＝3x2－12，令f′(x)>0得x>2或x<－2，令f′(x)<0得－2<x<2.a≥16.∴f(2)≥0，答 →椭圆36＋9＝1上有两个动点P，Q，E(3,0)，EP⊥EQ，则EP·QP的最小值为 B．3－3 3 解 设P点坐标为(m，n)，则36＋9∴|PE|＝ 3 ∴|PE|的最小值为∴→ → → → → →EP·QP＝EP·(EP－EQ)＝EP－EP·EQ＝|EP|，故EP·QP答 f(x，y)＝0f(x，y)＝0的④|x|＋1＝ 选择提分专练A＝{x|0≤x＋3≤8}，B＝{x|x2－3x－4>0}A∩B等于()A．{x|－3≤x＜－14＜x≤5}解析A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|x<－1x>4}A∩B＝{x|－3≤x＜－1答

＝＝

解 答

解 答 x 当log2x≥0，即x≥1时，f(x)＝2log2x＝x；当log2x<0，即0<x<1时，f(x)＝2－log2x＝1，x0<x<1答

＝x

x≥1y＝x a其中所有正确结论的序号是 C．①③④解

⇒ac<0，故c>cac<0知，y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，ac<bc，故②正确．a－c>b－c>1.a>b>1，答 已知双曲线259＝1MF218，NMF2点，O是坐标原点，则|ON|等于 3 3解 ON为△MF1F222答 如图所示的程序框图，输出的S的值为 B． 2解 k＝1时

k＝2

k＝3k＝4k＝2016时，S＝－1.答案C若由不等式组x－的圆心在x轴上，则实数m的值为

33C.

B．－3D3D．－x轴上，x＝my＋nx－3y＝0垂直， 1∴m×3m＝－3x x

＋＋

解 令x＝1，可得4x＋1n的展开式中各项系数之和为

＝Cr·(4x)3－r·x－r＝Cr43－r

x2令2＝033答 10．(理)某研究性学组有4名同学要在同一天的上、下午到做A、B、C、D、E实验，其余实验都各做一个，则不同的安排方式共有()A．144 B．192C．216 D．264解 A、B、C4 32EA、B、C三个实验C1×3＝924×(2＋9)＝264D.3答 10．(文)已知函数f(x)＝cosx(x∈(0,2π))有两个不同的零点x1，x2且f(x)＝mx3，x4.若把这四个数按从小到大排列构m的值为()2 2C.

D．－D解 假设方程f(x)＝m的两个实根

的零点为22 可得2<x3<x42 2266所以 3cos6＝－2答 22

ω的值为 ＝2 故A＝2，由f(0)＝2可得sinφ ＝2而 2，故π

f12＝2sin12 故12T 又4>12T>3，∴0<ω<6答 x0451221x∈[－1，t]时，f(x)2t④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点． 选择提分专练 解 全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方是偶数答 已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( 解

答

＝i＝i2若直线(a＋1)x＋2y＝0与直线x－ay＝1互相垂直，则实数a的值等于 解 答 “m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D 1解 mx＋ny＝1可以变形为1＋1 答 C．y＝ 解 答 阅读程序框图(如图)，如果输出的函数值在区间[1,3]上，那么输入的实数x的取值 C．{x∈R|0≤x≤log23x＝2}解 依题意及框图可得

0≤x≤log23答

A.＋3，kπ＋6

C. 解 根据已知得 ＝ω由不等式

π

解得

π 答

x，y，z∈Sx≠yxz≠yz①a，b，c，d②a，b，c，dx∈Sxy＝1其中正确论断的个数是 解 答 变化的图象可能是 解 33r＝htanθ(θ为圆锥轴截面两母线夹角的一半∴V＝1πh3tan2θ＝tV0h＝kt1(k为常数) 答 M，N①M，Ny＝f(x)已知函数

此函数的“友好点对”有 A．0 B．1 C．2对D．3 由题意，当x>0时，将f(x)＝log3x的图象关于原点对称后可知g(x)＝－log3(－x)(x<0)的图象与x<0时f(x)＝－x2－4x存在两个交点，故“友好点对”的数量为2.答 定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y＝lg(10x＋10y)，x，y∈R.对任意实数a，b，c给出如下结论：其中正确结论的个数是 解 因为答 x2＝f(x1)x2≤257x3＝f(x2)xn－1≤257xn＝f(xn－1)，否则停止赋值．已知赋值k(k∈N*)次后该过程停止，则x0的取值范围是( 于是xn－1＝2n(x0－1)，即xn＝2n(x0－1)＋1.答 解析①显然错误；③容易造成错觉，tmax＝5；④错误，f(2)f′(x)<0答 答 二、填空题的解由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可方法 直接 例 PC→解 由椭圆方程知c＝4－3＝1，所以F2(1,0)CAAF2⊥F1F2A(1，y0)y2＝9 22则 →3≤y1≤3→的最大值为3 2332已知复数z＝a＋(a－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则复数zi在复平面上所对应 答 因为复数z＝a＋(a－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，所以a－1＝0，zi在复平面上所对应的点的坐标为方法 特例例 解 方法 ∵→ →

→→→

＝→→→ → →∵AP⊥BD，∴→→又∵→ → →AP·AB＝|AP||AB|cos∠BAP＝|AP|∴→ →AP·AC＝2|AP|方法 把平行四边形ABCD看成正方形，则P点为对角线的交点，AC＝6，则→→答 3如图，在△ABC中，AD⊥AB3

＝1，则

→ 答

33解 则 |BC|＝2∴→ → → →＝2 0＝

3方法 迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图象及方例3已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(2－x)≤f(1)的解集 解 函数y＝f(x)的图象如图，由不等式f(2－x)≤f(1)知，2－x≤2＋1，从而得到不等f(2－x)≤f(1)的解集为答 (2013·)设D为不等式组

D 225解 作不等式组表示的平面区域，如图所示(△OAB及其内部)，P(1,0)2x－y＝0225方法 构造

例4(1)如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面＝BC＝2，则球O的体积等 (2)16，25，36(其中e为自然对数的底数)的大小关系 (1)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，方体的体对角线长即为球O的直径，所以22＋222＋22＋＝2RR＝2OV＝3＝

而 ，令f′(x)>0得x<0或x>2，即函数f(x)在e4e5e4e5答 (1) 已知a＝ln1 1，b＝1－1，c＝1 1，则a 大小关系

2

2

2

2

2

2在上面的结论中，正确结论的序号 答 解 (1)令f(x)＝lnx－x，则

0<x<1

＝x－＝x∵11∵ 201320142(2)用正方体ABCD—A1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1与BC1ABCD上的投影互相垂直，BC1DD1ABCD上的投影是一条直线及其外方法五例5 观察下列算式：13＝1,23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，若某数m3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2015”这个数，则m＝ 由题意可得第n个算式的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n个算式的第一a

a＝n2－n＋1

，故

2015453答 n

1nnkN(n，k)(k≥3) ＝2n三角形 ＝2正方形 五边形 ＝2六边形 按照上面的规律，第n个“”图需要火柴棒的根数 答 (1)1 解 (1)由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时

k－2

＝2n＋

＝1100－100＝1列，所以，第n个“”图需要火柴棒的根数为6n＋2.填空提分专练1．某产品的费用x与销售额y的统计数据如下表3456yab根据上表可得回归方程^＝^＋^中的^为7.据此模型预 费用为10万元时销售额yab

—

x ，y b＝7，把点(4.5,35)代入回归方程得^得 y＝7x＋3.5x＝10答 算，则输出n 的值为 ．解析由数列递推

＝2，an＝2－nSn＝(2＋2＋…＋2)

n＝11

－2－66＝4028>2014n＝10＝211－2－55<2014答 3、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝75°，则AD的长 解 在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2由余弦定理得：AD2＝CD2＋AC2－2CD×AC×cosC＝8－4∴AD＝6－答 6－4m，nα，βm，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α 5、在极坐标中，圆ρ=4cosθ的圆心C到直线的距离为 解：由ρ=4cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，其圆心是A（2，0由得： ①C②C③Ct＜1或④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则． 解：由圆的定义可知：当4﹣t=t﹣1时，即t=时方程表示圆，故①错由双曲线的定义可知：当（4﹣t（t﹣1）＜0t＜1或t＞4时方程由椭圆定义可知（1）当椭圆在x轴上时，当满足 时，即 表示焦点在x轴上的椭圆，故④正确．（2） 时，即＜t＜4时方y轴上的椭圆，故②错误．填空提分专练若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆 解 设圆心坐标为则|b|＝1 由1故所求圆的标准方程是答 不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集 8x≥8.∴原不等式的解集为答 在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M. 解 (1)以AB为直径作圆，当M在圆与正方形重合形成的半圆内时π M位于正方形与圆重合形成的弓形内时，∠AMB>135°， 4×2

＝8答 (2)在△ABCA，B，Ca，b，ca＝23，c＝2

＝b，则 解 由

＋tanB＝b由正弦定理得，23＝2 2＝ 2＝答 5、若函数f(x)＝|logax|(0<a<1)在区间(a,3a－1)上单调递减，则实数a的取值范围 解析：由于f(x)＝|logax|在(0,1]上递减，在(1，＋∞)上递增，所以0<a<3a－1≤1，

a 6、已知定义在区间[0,1]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，对于满足0<x1<x2<1x1、x2，给出下列结论f(x1)＋f(x2) 2

解析：由f(x2)－f(x1)>x2－x1，可

>1，即两点(x1，f(x1))与(x2，f(x2))连线f(x1)xx斜率大于1，显然①不正确；由x2f(x1)>x1f(x2) ，即表示两点(x1，f(x1))、xx 填空提分专练 线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程 解 由题意知

5a＝5，b2＝20 方程为5 答案5若直线y＝2x＋m是曲线y＝xlnx的切线，则实数m的值 解 设切点为y′＝(xlnx)′＝lnx＋

y＝(lnx0＋1)x－x0y＝2x＋m比较得

，2，n＝3，0P(x，y)y＝sinx的图象上运动．Qy＝f(x)足 OQ＝m⊗OP＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域 解

OQ＝m⊗OP＋n＝33 消去x得d＝sinc－22

∴y＝f(x)＝2sin2 答 是

3232

y 1y【答案】(2)x>0时，f(x)＝|x－a|－2af(x)R上的“2013a 解 由题意得，当x>0时a≥0f(x)的图象如图(1)f(－a)＝2a，5a－(－a)＝6a<2

＜a<0f(x)的图象如图(2)所示，f(x)为增函数，∵x＋22f(x＋2013)>f(x)．2 答 －∞，2解 ①错误，②③④正确．答 6、函数f(x)3sin(2xπ)的图象为C，如下结论中正确的 （3出所有正确结论的编号①图象Cx11π②图象C的所有对称中心都可以表示为(k，0)(kZ6f

π5π

在区间 ，内是增函数1212y3cos2x个单位长度可以得到图象Cf(x在[0上的最小值是32三、解答题的八个答题模模板 f(x)＝2cosx·sin＋3－3sinx＋sinxcos审题路线 解f(x)＝2cos x＋cosx－3sin2x＋sinxcos ＝2sinxcosx＋3(cos2x－sin2x)＋1＝sin2x＋3cos 函数 2 ∴当 2kπ，k∈Z，即x＝π＋kπ，k∈Z时，f(x) 2x＋3＝－2＋2kπ，k∈Zx＝－12＋kπ，k∈Z kπ≤x≤π kπ，π＋kπ 般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即 整体代换：将ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sinx，y＝cosx的性质确 求解：利用ωx＋φ的范围求条件解得函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的性 (2014·福建)已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cos ＝(1)若0<α sin ＝解:方法一(1)

sin 2＝ 2＝所以cos 2

f(α)＝

( 2

＝2 2×2＋2＝(2)因为f(x)＝sinxcos

1sin

1＋cos

1sin2x＋1cos＝2

π

－2

＝2由

k∈Z－2≤ —8

π—8，方法 f(x)＝sinxcos

1sin

1＋cos

1sin

1cos＝2

π

sin 2 ＝＝f(α)＝

2 ＝

2

4＝2由

k∈Z－2≤ —8

π—8，模板 在△ABC中，若 2(1)求证：a，b，c(2)B

审题路线 证 因为acos2C＋ccos2A＝a1＋cos 1＋cos a＋c＋(acosC＋ccos 故 a＋c＝2ba，b，c成等差数 2 cos ≥ 第一步定条件：即确定三角形中的已知和 第四步再：在实施边角互化的时候应＝2，cos b＝3.

(1)ac (1)由→→＝2得c·acoscos

1

a2＋c2＝b2＋2accos

(2)在△ABC1－1sinB＝1－1得sinC＝csin

＝32 4b

3＝9C1－49cosC＝1－49cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsin

7 2 4

3×9模板 bbn

得得解(1)anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0(bn≠0，所以 －cbn 所以数列{cn}c1＝1d＝2的等差cn＝2n－1.(2)bn＝3n－1于是数列{an}n第一步找递推：根据已知条件确定数列相第二步求通项：根据数列递推公式转化为 第四 写步骤：规范写出求和步骤

f(n)－c.数列{bn}(bn>0)cnSnSn－Sn－1＝Sn＋Sn－1(n≥2)． 1(2)若数列bb＋nTnTn>2012nnn

由题意知 a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－24 ∴a1＝ ＝－＝ ∴c＝1.q＝2＝ －

∴an＝－2·1n－1＝－2·1n3 ∵Sn－Sn－1＝(Sn－Sn－1)(Sn＋＝Sn＋Sn－1bn>0，Sn>0，∴Sn－∴数列{Sn}11n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，n＝1时，b1＝1也适合此通项公式．∴bn＝2n－1(2)Tn＝1＋1＋1＋…＋

1 1 1 ————

1

1 n

由Tn＝ >1001，得n>12n＋12 ∴

1Tn>2012n模板 是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，MAB(2)CD1ABCDCD1＝3C1D1M审题路线

CD∥AMCD∥AMM是AB中点，四边形ABCDC1MC1M∥平面求平面ABCD 求平面ABCD(1)证明ABCDMABCD∥MA第一步找垂直：找出(或作出)第二步C1M⊄A1ADD1，D1A⊂A1ADD1C1M∥(2)解方法 第三步由(1)CD∥AM第四步AMCD第五步的角AB＝2BC＝2，CA＝C为坐标原点，建立如图(2)C－xyzA(3，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0， 因此M 0，所以→1＝－，－，32，2， －，，0 C1D1M 由 得 可得平面C1D1M的 3x＋y－2n＝(1，3，1)＝(0,0，3)ABCD→ 5法向量，因此cos〈→1，n〉＝ ＝.所以平面C1D1M和 ABCD所成的角(锐角)的余弦值为5方法二由(1)D1C1M∩ABCD＝CABABD1N⊥AB，因此∠D1NCC1－AB－C的平面角．Rt△BNC中，BC＝1，∠NBC＝60°CN＝3ND1＝CD2＋CN2＝2 2所以 中，cos∠DNC＝CN＝2＝ 15 2C1D1MABCD所成的角(锐角)的余弦值为5BC(1)A1BC1D (1)以A为坐标原点，分别以→，→，→为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐

所以 →cos〉＝ 3

＝10A1BC1D所成角的余弦值为3(2)由题意，知＝(0,2,0)ABA1的一个法向量．ADC1m＝(x，y，z)，因为 ADC1ABA1θ，5 5|所以|cosθ|＝|cos〈AC，m〉|＝AC·m |＝，得sinθ＝|→

3ADC1ABA1所成二面角的正弦值为3模板 椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为 2，直线l与yP(0，m)CA，B，且→＝ (1)求椭圆C的方程 (2)求m的取值范围 →＝ →＝设 解(1)C的方程为设c>0，c2＝a2－b2，由题意，知2b＝ 2，a＝ a＝1，b＝c＝2.Cy1＝1y＋2x2(2)ly＝kx＋m(k≠0)，lC 得 所以 所以 当 1时，上式不成立 当m≠4时，k＝ 4m 又k≠0，所以k＝ >0.解得－1<m<－2或4m即所求m的取值范围为 2，第一步提关系：从题设条件第二步找函数：用一个变量第三步得范围：通过求解含第四步再回顾：注意目标变 l的距离与点(－1,0)l

4ce 设直线

1的方程为a>1，得到点(1,0)l

同理可得点(－1,0)l于是s＝d1＋d2＝

由

≥5c

c≥5c

≥2c5e2－1≥2e2 解得4≤ee>1e的取值范围是5， 模板 C(－1,0)x2＋3y2＝5CA，B两点．

ABxMM

审题路线 → → (1)依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝y＝k(x＋1)x2＋3y2＝5y整理得 .3k 由线段AB中点的横坐标是－2，得 ＝－3k2＋＝－2，1k＝±3，适合ABx－3y＋1＝0x＋(2)xM(m,0)·MA(ⅰ)当直线AB与x轴不垂直时，由(1)知x1＋x2＝－2 3kx1x2＝ .3k所以→ MA·MB＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k将③代入，整理得·MA 第一步先假定：假设结论成第二步再推理：以假设结论第三步下结论：若推出合理第四步再回顾：查看关键 6m＋14注意到·kMA7，此时·→ MA(ⅱ)ABxA、B－1，2、－1，－ 当 →→综上，在x轴上存在定点 7，0，使→·→为常数 MA (1)E在第一、四象限)，且△OAB8.lEE (1)因为双曲线E的渐近线分别为

所 ＝2，故c从而双曲线E的离心率 由(1)知，双曲线E的方程为lxl⊥xlE有且只有一个公共点，又因为△OAB E的方程为4

若存在满足条件的双曲线 则E的方程只能为4lx E4－16＝1ly＝kx＋m得k>2或k<－2，则

—k由

y1＝

y2＝2m

由 1|OC|·|y－y|， m 2m2－k 由 44－k2<0，m2＝4(k2－4)，Δ＝0lE lEE的方程为4 方法 由(1)知，双曲线E的方程为l

由 得

同理，得 lxC由

＋

由

得4m2－1<0lEΔ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－即4m2a2＋t2－a2＝0， l E的方程为4方法 当直线l不与x轴垂直时l2 依题意，得k>2或 得(4－k)x－2kmx－m

2又因为△OAB的面积为 2又易知 2x2＋y2·＝5，所以

2＝4，得m＝4(k 由(1)E的方程为由 得4－k2<0lE E的方程为4l⊥x轴时，由△OAB8 l：x＝2E4－16＝1

lEE的方程为4ξ12P1545ξ12P1545模板 甲、乙两人参加某举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一364道题，乙答对每道题的概率都是3(2)ξξ审题路线 确定ξ 确定ξ (1)设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，则P(A) ＝43 ＝ P(B 2)3＋C1 2)2＝1＋2＝7 3·3 1－P(A·B)＝1－P(A)·P(B(2)ξ P(ξ＝1)＝42＝，P(ξ＝2)＝4 4＝ξ 第五 列表：列出分布列 1,2，…，2n(n∈N*，n≥2)2nA，Bn个(1)n＝3ξ(2)C表示事件“ξηC (1)当n＝3时，ξ的所有可能取值为66A，BC3＝20(种)ξ6ξ2345P153315

×5＋

×10＋(2)ξηξηn－12ξηn2ξηn＋k(k＝1,2，…，n－2)(n≥3)2Ck所以当n＝2时 22＋Ckn≥3

C C模板 已知函数f(x)＝ (1)a＝1y＝f(x)在点(2，f(2))(2)a≠0f(x)x x 1aa—0＋0—xa111＋0—0＋ (1)当a＝1时 ，f(2)＝ 又 a≠0，以下分两种情况讨论．①a＞0f′(x)＝01x变化时，f′(x)，f(x) 在区间 －a， f－1＝－a2.f(x)x＝af(a) 1②a＜0f′(x)＝0x变化时，f′(x)，f(x) 1 f(x)x1＝af(a) 1处取得极小值 第一步f(x)的导数f′(x)．注意f(x)的定义域.第二步f′(x)＝第三 列表格：利用＝0的根将f(x)定义域分成若 观察f(x)的间断点及步骤规范y＝f(x)在点(0，f(0))4－c.a，bf(x)c c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥22e2x·2e－2x－3＝1>0，f(x)R上为增函数．由(1)f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c2e2x＋2e－2x≥22e2x·2e－2x＝4x＝0时等号成立．c±c2－16tc<4x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0f(x)无极值；c＝4x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c±c2－16t根

x1＝1lnt1，x2＝1lnt2.x1<x<x2 x>x2时，f′(x)>0f(x)x＝x2f(x)c的取值范四、三角函数、解三角形、平面向αθ终边相同(αθ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的α是任意一个角，P(x，y)α的终边上的任意一点(异于原点它与原点的距离是r＝x2＋y2>0，那么sin

cos tan P

已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sinα＋cosα的值 1答 cos商数关系：tanα＝sincos诱导公式口诀：奇变偶不变、符号看象－sinsin－sin－sincoscos－cos－coscossin cos4＋tan－6＋sin21π的值 答案2－ 对称轴：y＝sin

k∈Z；y＝cos

y＝sinx

减区间：2＋2kπ2

y＝cosx的增区间：[－π＋2kπ，2kπ]减区间：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)；

y＝tanx

y＝sinx2π，为奇函数；y＝cosx2π，为偶函数；y＝tanx的π，为奇函数．求ω忘掉写＋2kπ，或＋kπ

5答 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ令α＝βsin2α＝2sinαcosα.cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ令α＝βcostan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtan

1＋cos

1－cos

2tantan ，sin ，tan2α＝1－2tan1 α＋4＝(α＋β)－

已知α，β∈4，π，sin(α＋β)＝－5，sinβ－4＝13，则 答 a b c正弦定理 ＝2R(R为三角形外接圆的半径sin sin sin注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinsinA＝a，sinB＝b，sinC＝c a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2Rsin要结合具体情况进行取舍．在△ABCA>B⇔sinA>sinB.

在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝60°，则 答 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0.a⊥b(a≠0)⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.0[问题6] 下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中正确命题是 答 a·b＝|a||b|cos cos a·b

x2＋y2 ab上的投影＝|a|cos〈

〉＝|b|

注意a，b〉为锐角⇔a·b>0且a、b不同向〈a，b〉为直角⇔a·b＝0a、〈a，b〉为钝角⇔a·b<0a、b不反向易错警示： 已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影 答 5a·b＝0a⊥ba⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·ba＝c，消去律不成立；(a·b)ca(b·c)不一定相等，(a·b)cca(b·c)a平行． 下列各命题：①若a·b＝0，则a、b中至少有一个为0；②若a≠0，a·b＝a·c，则．答 ①→ PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的重心②→→→ →PA·PB＝PB·PC＝PC·PA⇔P为△ABC的垂心 λABAC)(λ≠0)所在直线过△ABC→④

→|PA|＝|PB|＝|PC|⇔P为△ABC的外心易错点 ＝例 2(cos3x－sin3x)的图象向 平 ＝错解 找准失分点y＝2(cos3x－sin＝sin－3x－π 正 y＝2(cos3x－sin＝sin－3x－π y＝要由y＝sin－3x－π得到y＝sin(－3x)只需对 2 y＝

π

2(cos 左π易错点 例 已知cos

sin(α＋β)＝5

cos 错解

π

14

由cos sin 4 ＝7cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sin

＝98或3找准失分点由0<α＋β<π，且 53

＋β<πcos

＝14 1β<33

∴3<α<2α＋β∈3正 cos 1<cos 2 3 53∴3<α＋β<π，又sin(α＋β)＝14 ∴3∴cos(α＋β)＝－＝7sinα＝ 4＝7∴cos＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sin

1易错点 例3已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围 错解∵cos a·b 2λ θcos λ>－2，λ的取值范围是找准失分点θ为锐角，故0<cosθ<1，错解中没有排除cosθ＝1即共线且同向的情况正 由θ为锐角，有0<cos 又∵cos a·b

，解得

2λ＋1≠5·

∴λ的取值范围是λ|λ>－2且 答 1．(2014·大纲)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos 答 解 因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以cos 2．(2014·大纲)设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则( 答 cos解 ∵a＝sin33°，b＝cos55°＝sin35°，c＝tan35°＝sincos0<cos已知sinθ＋cos π，则sinθ－cosθ的值为 ＝3B 2 B 3答

解 ∵sinθ＋cos

(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin

sin

＝9

0<θ<4，∴sinθ<cos∴sinθ－cosθ＝－sinθ－cos3＝－1－sin2θ＝－3已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( A．[2－1，2＋1] B．[2－1，2＋2]C．[1， D．[1，答 ∵a·b＝0，且a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1.∵|a|＝|b|＝1a·b＝0，∴|a＋b|＝∴c2＋1＝22|c|cosθ(θca＋b的夹角)．又－1≤cosθ≤1，∴0<c2＋1≤22|c|，∴c2－2∴2－1≤|c|≤ 2C．－2答

－解 由题图可知，函数的最大值为2，因此 即 得 f(0)＝2sin在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值 2

答

解 ∵cos

又∴cos

∴cosC的最小值为 7．(2014·山东)在△ABC中，已知

→＝tanA，当

ABC的面积 答 6解 已知

π

tan

|AB||AC|cos → 所以△ABC 1→ ＝2|AB||AC|sin 点，则φ的值 解 由题意，得

×3＋φ＝cosπ2π2

<φ<2)，其部分图象如图所示．若横坐标分别为－1,1,5M，N，Pf(x)上，记∠MNP＝θ，则cos2θ的值 答 －解 所以 ＝ω＝8

π所以－4<φ＋44即 ＋4＝2f(x)＝πM(－1,0)，N(1,1)，P(5，－1)．

→ |NM|＝5，|NP|＝2→＝则 NM·NP ＝→→cos

cos2θ＝2cos2θ－1＝710．(2014·)已知函数f(x)＝cos

π－ 3，x∈R.＋＋

π上的最大值和最小值

3 32＋cosx)－3cos2cosx·(2sin 3 3＝2sinx·cosx－2cosx＋ 3 3＝4sin2x－4(1＋cos2x)＋ 3＝4sin2x－4cos

＝2 π]上是减函数，在区间 π上是增函数

高考专题训 三角函数(解答题f(x)＝a·ba＝(2cosx,1)，b＝(cosx， f(x)＝1－3x∈－3，3x[0π] (1)依题设得f(x)＝2cosx＋3sin2x＝1＋cos2x＋3sin2x＝2sin

＋6＋1＝1－ 3sin＋6＝－2 ∴－2≤2x＋6≤6

π x0πy232002

a＝(cosx＋3sinx，3sinx)，b＝(cosx－3sinx，2cosx) (2)f(θ)＝5，θ∈6，3sin2θ ＝(cosx＋3sinx)(cosx－3sinx)＋＝cos2x－3sin2x＋2＝cos2x－sin2x－2sin2x＋2＝cos2x＋

由题设 即 ∴2θ＋6∈2，6

3

3

＋6－6＝sin2θ＋6cos6－cos2θ＋6sin6＝5×2－－5×2已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中 (2)f(x)M，N，P的横坐标分别为－1,1,5sin∠MNP 由 ＝ω＝8 ∴4＋φ＝2.

(2)∵f(－1)＝0，f(1)＝1，f(5)＝sin4∴|MN|＝5，|PN|＝20，|MP|＝

＝25× m＝(2cosx＋23sinx,1)，n＝(cosx，－y)yxf(x)f(x)b＋c＝4，求△ABC (1)由m⊥n，得m·n＝2cos2x＋23sinxcosx－y＝0，即y＝2cos2x＋23sinxcosx＝cos2x＋3sin2x＋1π

∴2sin＋6＋1＝3. π4＝b2＋c2－bc，b＋c＝4，

3△ABC＝2bcsinA＝2×4×2＝

邻对称中心的距离为2，且过点在△ABC中，a，b，cA，B，C的对边，a＝5，S△ABC＝25C π f2－12＝6c (1)f(x)＝ π∵两个相邻对称中心的距离为2 ∴sin3 又 ∴f(x)＝sin π 5.＝ ＝a＝

2

c2＝5＋36－25×6×

＝∴c＝五、立体几主主左)视图放在正主(主，宽相等”．在画一个物体的三视图时，一定注意实线与虚线要分明．[1]如图，若一个几何体的正(主)视图、侧(左) 答案3xy轴的线段平行性不变，长度减半．”[问题2] 2答 2S直棱柱侧＝c·h(c为底面的周长，h为高SS

正棱锥侧＝2ch′(c为底面周长，h′为斜高1正棱台侧＝2(c′＋c)h′(cc′分别为上、下底面周长，h′为斜高S圆柱侧＝2πrl(r为底面半径，l为母线S圆锥侧＝πrl(同上S圆台侧＝π(r′＋r)l(r′、r分别为上、下底的半径，l为母线V柱＝S·h(S为底面面积，h为高1V锥＝3S·h(S为底面面积，h为高1V台＝3(S＋SS′＋S′)h(S、S′为上、下底面面积，h为高S球

球＝3πR 的正方形，侧(左)1 答

[问题4] 在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的 答 相 答 充分不必l1l2v1v2θcosθ＝|cos〈v1，v2〉方法一分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两条直线的方向向量 方法一分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向 小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．(2)Aα→

＝|n|[问题6] (1)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所 (2)ABCD－A1B1C1D11，OA1B1C1D1O的距离 (1)

(2) 由题意知B1E⊥平面ACC1A1，则∠B1AEAB1ACC1A1所成的角．1，sin∠B

6＝21 ＝AB 21方法 如图以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系E－xyz，设棱长为1，A1，0，1，B 3，0，， sinθ＝|cos〉 3

3 －2，2，－10，2，02×2 ＝2×2

z＝1，得

又2 2∴OABC

2＝1

4易错点 例1一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 错解由三视图知，该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4，宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底2444.

找准失分点不能准确把握三视图和几何体之间的数量关系，根据正视图可知，侧视图中等44.正解＝17.

(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋8表答

易错点 例2给出下列四个命题其中正确题 错解1错解2找准失分点①是错误的，因为棱柱的侧棱要都平行且相等；④是错误的，因为长方体的侧正 易错点 例3已知m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面．给出下列命题mαmαm、nαm其中正确题序号 错解找准失分点③是错误的；⑤是错误的正 ①是错误的②A′CA′B′C′D′B′D′平行的无数条直线．④⑤n⊥α答 m，n，lα，β，γα∥β，l⊂αm，n为异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α其中正确命题的个数是 答 面互相平行，这两个平面是唯一存在的，因此命题④C.设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不 m⊂α时，“n∥α”是“m∥nm⊂α时，“m⊥β”是“α⊥βn⊥α时，“n⊥β”是“α∥βm⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n答 解 是“m∥n”的既不充分也不必要条件，答案选A. 答 解析所以 ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下四个结论：③A1CPM④NC与PM异面．其中不正确的结论是( 答 M，N，P，QC1D1SABR，如图所示中的六边形MNSPQR，显然点A1，C分别位于这个平面的两侧，故A1C与平面MNPQ一定相交，不可能故结论② A．2＋2 B．3＋22 2答 该几何体的底面是边长为1的正方形，故S1＝12＝1.故

PD⊥DC，CB⊥PBPB＝PD＝

＝22所以该几何体的表面积为 2

2＝2＋2. PDABC答 解析PB⊥ADAD⊥ABADAB60°角，A错误；平面PAB与平面ABD垂直，所以平面PAB一定不与平面PBC垂直，B错误；BCAE是相交直线，所以BC一定不与平PAE平行，CPDABC所成角为∠PDARt△PAD中，AD＝PA，∴∠PDA＝45°，D其中正确的 答 解 取线段BC的中点E，连接∴BC⊥∵AD⊂OABCD上的射影，OB，OC，OD，∴O为△BCDABCD中，AB＝1，AD＝2角A－BC－D的大小

解 由

＝2 BA与CDθA－BC－D又 → → →AD＝AB＋BC＋CD，∴AD＝→ →→ →AB＋BC2＋CD因此→→

2AB·CD＝(23)－1－3－2

l，mα，βl⊥α，m⊂β其中为真命题的 答 解 对命题①，则l⊥α，α∥β得对命题②，l⊥mD⇒/l⊥βl⊥mD⇒/α∥β，故②对命题③α⊥β时，lm也可能相交或异面或平行，故③错误．对命题④l⊥α，l∥mm⊥αm⊂β，∴α⊥β，故④正确．三棱锥D－ABC及其三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则棱BD 2答 2 由正(主)视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE＝CE＝2；由侧(左)视图知CD＝4，BE＝23，Rt△BCE中，BC＝BE2＋EC2＝232＋22＝4，Rt△BCD中，BD＝BC2＋CD2＝42＋42＝42.42.高考专题训 立体几何(解答题)(理BC(2)AB＝BB1＝2A1DAC1D解 A1CAC1OOA1C的中点，DBC的中点，如图．∴在△A1BC∴A1B(2)因为△ABC是等边三角形，DBC(0,0)，A1(3，0,2)，C1(0，－1,2)．则→则DA＝(→AC1D 由 3x＝0，又→又DA1＝(

277

5×＝35A1DADC1

2

＝35A1DADC1所成角的正弦值为2如图，ACOBO⊥ACACM，EAABC，FC∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1.(2)BEFABC (1)证明：∵AC是⊙O的直径∴FC∴AB(2)由题设可得，AB＝AC·cos30°＝2∴AM＝ABcos30°＝23× 2AACEAC，AEx，y，z轴建立空间直角坐标系．→BF＝(－BEF

BE＝(－由 n·BE＝0n·BF＝0－－x＝3∴n＝(EAABC的法向量为BEFABC则cosθ＝|cos〈n，→〉 3×0＋1×0＋2×3 22＝ 2＝

＝22BEFABC所成的锐二面角的余弦值为22ABCD为矩形，PD2若二面角Q－BP－C的余弦值为 3，求AB的值 (1)证明：设AD＝1，则DQ＝2，DP＝2，在△DPQPQ＝(2)D为坐标原点，DA，DP，DCx轴，y轴，z轴，建立空间直角D－xyz.D则 n1＝(x1，y1，z1)PBC 则 n2＝(x2，y2，z2)PBQ 则 Q－BP－C的余弦值为－5 ∴|cos〈n1，n2〉|＝ 3 m2＋4· ＝5mm2＋4·因此，所求AB求证：EF

BFCD

证明：由已知∴EF，当

1

FPC → →BFCD 32×2×

＝33BFCD所成角的余弦值为3则 又 ∴→∴AFD 则 PCD 则

2

S－ABCDABCDSAADBC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.MSB求证：AMSCDSABNCD上的动点，MNSABθsinθ (1)证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，则 SCD

则

∵→∵∴→∴∴AMSABn1＝(1,0,0)．SCDSABφ，易知

＝＝则|cosφ|＝n1·n＝2 6 6.＝＝6 6

3， 3SCDSAB所成二面角的余弦值为3N(x,2x－2,0)，则SAB110×12110×12－12×x151x－577 7

53当x＝53

时 ：高考资源网 [问题1]某社区现有480个住户，其等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高 答案 解 由抽样比例可知 ，则[问题2]从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为 答案n平均数：样本数据的算术平均数，即x＝1(x1＋x2＋…＋xn)．nns2＝1[(x1x)2＋(x2x)2＋…＋(xnxn简化计算公式 1[(x2＋x2＋…＋x2)－nx2]，或写成s2＝1(x2＋x2＋…＋x2)－x2，即

n 本的众数、中位数分别 答

nxi－xyi－y

xiyi－n nn其 x－x

nx2－nx

^^a＝y－bx^^ 回归直线方程y＝bx＋a必经过 答 (x，yabcd 量

k的值越大，说明“XY有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“XY有[问题5] 到了如下的2×2列联表：5则至少 的把握认为喜爱打篮球与有关．(请用百分数表示 附：K答 (1)AB互斥．P(A 抛掷一枚，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，知

2点的概率之和 答 3

＝6 m其中，n为一次试验中可能出现的结果总数，mA＝n数[问题 若将一枚质地均匀的先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率 答案DdA

d

.DDD 在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方ABCD—A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 B．1－ 答 解 记“点P到点O的距离大于1”为

Am＝n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]＝n！m，n∈N*，m≤n.m＝nn1)·……·2·1＝n

AmCm＝nAm ＝ ＝Cm＝Cn－m，Cm＋Cm－1＝CmC0＝1 (1)将5封信投入3个邮筒，不同的投法共 种453不同的取法共 种答 定理：(a＋b)n＝C0an＋C1an－1b＋…＋Cran－rbr＋…＋Cn－1abn－1＋Cnbn 通项(r＋1项)：Tr＋1＝CrnanrbrCr(r＝0,1，…，n)n—n

设x－26的展开式中x3的系数为A，二项式系数为B，则 答 6解 6

＝Crx6－r(－1)r26＝Cr(－1)r2r6

632

P(A|B)A，B发生有时间上的差异，BAP(AB)A，B同时发 设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为3，在事件A发生的条

A发生的概率 答 5nPn(k)＝Ckpk·(1－p)n－k.n 若随量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的值 ξ012345Px答 9解

1则 ＝9一般地，如果对于任意实数a<b，随量X满足P(a<X≤b)＝ʃbφ，(x)dx，则称X的aμXX～N(μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是：①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 已知随量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于 答 由题意知图象的对称轴为直线x＝2，

易错点 例1如图所示是某公司(共有员工300人)2012年员工年薪情况的频率分布直方图，由此知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的大约 人错解由频率分布直方图，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋∴1.4万元～1.6300×0.62＝186(人找准失分点本题主要频率分布直方图与条形图纵轴的意义，频率分布直方图中，纵轴 正 由所给图形可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1.4万元～1.6300×0.24＝72(人答 易错点 例2如图所示，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任意作一条射线CM，与ABMAM<AC的概率．错解记AM<AC为事件E，设CA＝CB＝a，因为△ABC是直角所以，AB＝AD＝AC＝aAM<AD因此AM<AC的概率为

2＝＝AB＝ 找准失分点据题意，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，射线CM在∠ACB内部MAB上的分布不是均匀的．正 在AB上取一点D，使AD＝AC，因为

所以 ＝8

＝∠ACB＝π2易错点 错解A4 44找准失分点没有分清是排列还是组合正 由题意可能有两种结构，如图第一种：，第二种444 4易错点 例44个不同的小球放入编号为1234的4个盒中则恰有1个空盒的放法共有 错解找准失分 没有考虑均匀分组42 正 把4个球分成3组，每组至少1个，即分的小球个数分别为2,1,1的3组，有42A2A2A43A3种，因此，放法共有42A144(种答

21．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( C．中位 答 x345678y 得到的线性回归方程为y＝bx＋a，则 答 解 作出散点图如下 观察图象可知，回归直线

x＝0时，y＝a>0.故

确 答 区域OACD，易知

1 P＝

＝2

2)(2x－2y)的展开式中xy的系数是 答 解

r1

展开式的通项公式为 ·(－2y)r1

r5－r

·(－2) ·yr＝3

31

C5(2)点Q取自△ABE内部的概率等于( 答

22

矩形解 这是一道几何概型的概率问题，点Q取自△ABE内部的概率为矩形.1.2

＝|AB|·|AD|阴影部分的概率 2答案22解 000故由几何概型的概率公式可得所求概率为27．(2014·江西)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概 答 2解 从10件产品中取4件，共有C4种取法，取到1件次品的取法为C1C3种，由古典概

3 P＝3

2中实线围成的部分是长方体(1)ABCD是边11 答 解

h＝3

已知投答

中率为4

4次，至少命中3次的概率 解 该人投篮4次，命中3次的概率 P1＝C4444P2＝C434＝81故至少命中3次的概率是

的200辆汽车进行车速分析分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图则估计在这一时段内通过该站的汽车中车速不小于90km/h的约有 高考专题训 概率与统计(解答题8：00－9：00,9：00－10：00两个时段内各发一趟AB城(两车发生情况互不影响)，A城发车时间及其概率如下表所示：3ABA城火车站侯车的时间分别是周8：008：20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素)设乙侯车所需时间为随量X，求X的分布列和数学期望 (1)X的所有可能取值 、、 、(分钟)，其概率分布列如XP12X的数学期望

×18＝(2)10分钟、30分钟、50 10＝6，P30＝2，P

10＝2，P30＝3，P所以所求概率 72．(2014·皖南八校联考)122ξ条面对角线所成的角(用弧度制表示)2(2)ξ (1)当ξ＝0时，即所选的2条面对角线平行，则 ＝C2C(2)ξ的可能取值为 P(ξ＝0)＝C2＝11，P＝3＝C2＝11，Pξ＝2＝C2 ξξ0P182

3．(2014·广州调研)PM2.5(单位：μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒PM2.5优良从甲城市2014930天中随机抽取15PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如(1)2014930(2)152X (1)由茎叶图可知甲城市在2014年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为2014930(2)X

52

52

52 X012PX012P372

×7＋

240210300XX (1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．设此数列为{an}，则易知a1＝40，an＝10n＋30，所以 5场． 42(2)随量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即又 2 42 52 62XXP181455XE(X)＝377.5(万元 变化，y在

545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路为了估计CD段平均堵车时间，了100名走甲路线的，得到表2数据CDEFGHxy14平均堵车时间(时a2186CDa七、数列、不等 已知前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则 Snann＝1 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则 答 an＋1－an＝d(d为常数)等差数列的通项：an＝a1＋(n－1)d 等差数列的前n项和 d≠0an＝a1＋(n－1)·d＝dn＋a1－dndnS

d)nn

m＋n＝p＋qam＋an＝ap＋aqm＋n＝2p 答

＝q(q为常数)，其中q≠0，an≠0或a 一个等比数列{an}2n＋1100120等比数列的通项：an＝a1qn－1

nq＝1时，Sn＝na1q≠1

1－q

1－q易错警示：由于等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q1时，要对qq＝1q≠1两种情形讨论求解．等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做ab的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab.如已知两个正a，b(a≠b)ABABA>B.m＋n＝p＋qam·an＝ap·aqm＋n＝2p[问题3] (1)在等比数列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整数，则a10＝ (2)各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝ 1

1如 ＝

＝

数列{a}满足a 1(n∈N，n≥1)，若a

是{a}nS

值 答 2 不等式－3x2＋5x－2>0的解集 答 已知a，b，c，d为正实数，且c>d，则“a>b”是“ac>bd” 条件答 充分不必22

ab22

≥2≥ x，y

xypx＝yx＋y24x＋ysx＝yxy有最大值4易错警示： 答

答案2易错点 例 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列的公比q 错解找准失分点当q＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为正 ①当q＝1时②q≠1

得1－q

1－q

答 1或易错点 例 错解4an≥0n≤25，即数列{an}6074找准失分点忽视了k≤6的情况，只给出了k≥7的情况4正 4070.k≤6时，k≥7 所以Sk＝ 易错点 例 错解150或找准