期权定价的二叉树模型

第7章期权定价的二叉树模型单步二叉树模型风险中性定价原理两步二叉树模型一、单步二叉树模型执行价格为21元的看涨期权。3个月⒈一个示例2023/1/302/39股票和股票期权所面临的系统风险相关，适当配置两种资产可以消除系统风险，组建无风险组合。考虑以下组合：①买入1份股票看涨期权②卖空Δ股股票显然，适当调整Δ可以使得上述组合为无风险组合。2023/1/303/39如果这个组合是无风险组合，则其价值与状态无关，所以，以下数学表达式成立：解得，也就是说，1份看涨期权多头加上0.25股股票空头构成的组合是无风险组合。2023/1/304/394.50元5.00-C0元3个月2023/1/305/39⒉单步二叉树模型的推广无风险组合：Δ股股票多头+1份期权空头2023/1/306/392023/1/307/39将Δ代入f，得2023/1/308/392023/1/309/39在之前的示例中，我们得到：结果与之前一致。2023/1/3010/39单步二叉树模模型至少给我我们两点启示示：⑴期权价格与与股票价格变变化的真实概概率无关（这这与我们的直直觉不一致））⑵期权价格在在定价形式上上可以看成到到期日价值期期望值的贴现现值（按无风风险利率贴现现）2023/1/611/39二、风风险中中性定定价⒈风险中中性假假设公平赌赌博是指赌赌博结结果的的预期期只应应当和和入局局前所所持有有的资资金量量相等等，即即赌博博的结结果从从概率率平均均的意意义上上来讲讲应当当是““不输输不赢赢”。。2023/1/612/39有一个掷掷硬币的的赌局（（假定硬硬币是完完全对称称的），，正面朝朝上可以以赢得2000元，反面面朝上则则无钱收收回。试试问你愿愿意以多多少钱作作为入局局费参加加这样的的赌博？？公平的入入局费＝＝2000×50％+0×50％＝1000元2023/1/613/39如果有人人愿意无无条件地地参加公公平的赌赌博，则则这样的的人被认认为是风风险中性性。风险险中性者者对风险险采取无无所谓的的态度。。入局费＜1000元风险厌恶者众多入局费＝1000元风险中性者入局费＞1000元风险喜好者极少愿意支付的入局费风险类型数量2023/1/614/39财富的效效用愿意支付付的风险险金W0Wh风险厌恶恶者风险中性性者风险喜好好者不同风险险类型者者的财富富效用曲曲线凹性效用用函数线性效用用函数凸性效用用函数金融学2023/1/615/39u1u1u1u2u2u2U＝f（财富））→U＝g（E（R））U＝h（风险））→U＝q（σR）R＝φ（σR）风险回避型型效用函数数风险爱好型型效用函数数风险中立型型效用函数数投资学2023/1/616/39风险中性的的投资者对对风险不要要求回报，，他们投资资于任何资资产所要求求的收益率率等于无风风险收益率率。投资回报率率=无风险利率率+风险溢价2023/1/617/39在一个假想想的风险中中性的世界界（Risk-NeutralWorld）里，所有的的市场参与与者都是风风险中性的的，那么，，所有的资资产不管其其风险的大大小或是否否有风险，，预期收益益率都相同同，都等于于无风险收收益率，因因此，所有有资产现在在的市场均均衡价格都都应等于其其未来价值值的预期值值，加上考考虑到货币币的时间价价值，就都都是未来预预期价值按按无风险收收益率贴现现的价值（（即现值））。这就是风险险中性定价价的基本思思想。2023/1/618/39我们回到之之前的示例例中，在那那里，我们们可以把股股票价格上上升的概率率定义为p，于是在到到期日T时刻，股票票价格的期期望值为：：代入p值，得在我们的假假设下，从从概率角度度讲，股票票价格以无无风险利率率增长（也也就是说股股票的期望望收益率等等于无风险险利率）。。2023/1/619/39所谓风险中性性假设就是：：如果对一个问问题的分析过过程和投资者者的风险偏好好无关，则可可以将问题放放到一个假设设的风险中性性的世界里进进行分析，所所得的结果在在真实的世界界里也应成立立。2023/1/620/39⒉风险中中性定定价理理论风险中中性理理论又又称风风险中中性定定价方方法（（RiskNeutralPricingTheory），是是考克克斯（（CoxJ.C.）和斯斯蒂芬芬·罗斯（（StephenA.Ross）于1976年推导导期权权定价价公式式时建建立的的。2023/1/621/39风险中中性定定理表表达了了资本本市场场中的的这样样的一一个结结论：：即在在市场场不存存在任任何套套利可可能性性的条条件下下，如如果衍衍生证证券的的价格格依然然依赖赖于可可交易易的基基础证证券，，那么么这个个衍生生证券券的价价格是是与投投资者者的风风险态态度无无关的的。这个结结论在在数学学上表表现为为衍生生证券券定价价的微微分方方程中中并不不包含含有受受投资资者风风险态态度的的变量量，尤尤其是是期望望收益益率。。2023/1/622/392023/1/623/39利用用风风险险中中性性假假设设的的分分析析方方法法进进行行金金融融产产品品的的定定价价，，其其核核心心环环节节是是构构造造出出风风险险中中性性的的概概率率。。2023/1/624/39标的股票票价格变变动路径径解得即股票价价格上升升的概率率为0.6523。2023/1/625/39解得股票看涨涨期权价价格变动动路径这与在真真实世界界里利用用无套利利理论得得出的定定价结论论是一致致的。2023/1/626/39注意，我们在在风险中性定定价过程中使使用的标的股股票价格上升升的概率不是是真实的概率率，而是假想想的概率（称称为风险中性性概率），这这个假想是建建立在股票的的期望收益率率等于无风险险利率的基础础上的。事实实上，股票价价格是按期实实际收益率上上升的，如果果股票的实际际收益率为16%，则其价格上上升的概率为为以下表达式式中的q：解得2023/1/627/39与此对应，在在真实世界里里，该股票期期权在到期日日的预期价值值为：由此可以得到到期权的预期期收益率股票期权的预预期收益率明明显高于股票票的预期收益益率。这与我我们的直觉是是一致的，因因为期权的风风险要高于股股票的风险。。2023/1/628/39对风险中性性定价原理理的总结：：在风险中性性的经济环环境中，投投资者并不不要求风险险补偿或风风险报酬，，所以基础础证券与衍衍生证券的的期望收益益率都恰好好等于无风风险利率；；由于不存存在任何的的风险补偿偿或风险报报酬，市场场的贴现率率也恰好等等于无风险险利率，所所以基础证证券或衍生生证券的任任何盈亏经经无风险利利率的贴现现值与它们们当前的价价值相等。。2023/1/629/39假定风险中中性世界中中基础资产产价格上升升的概率为为p，由于其未未来价格的的期望值按按无风险利利率贴现的的现值必须须等于其当当前的价格格，因此该该概率可通通过下式求求得：则以该资产产为标的物物的衍生证证券的价格格为：2023/1/630/39三、、两两步步二二叉叉树树模模型型⒈一一个个示示例例两步步二二叉叉树树中中的的股股票票价价格格和和期期权权价价格格2023/1/631/39根据单步二叉叉树的定价原原理，可以可可以将上述两两步二叉树分分离为三个单单步二叉树（（从右向左；；先上后下））：2023/1/632/39根据无套利原原则，得2023/1/633/392023/1/634/39⒉两两步二二叉树树的一一般形形式2023/1/635/39依据单单步二二叉树树定价价法，，可得得以下下三表表达式式：将前两两式代代入第第三式式，整整理得得到这个结结论验验证了了风险险中性性原理理。2023/1/636/39例7.1考虑一个2年期的欧式式股票看跌跌期权，其其执行价格格为52元，当前标标的股票的的价格为50元。我们假假定股票价价格为两步步二叉树，，每个步长长为1年，在每个个步长中，，股票价格格按20%的比例上升升或下降。。如果每个个步长的无无风险利率率均为5%（连续复利利），试绘绘制出股票票价格和股股票期权价价格的两步步二叉树，，并确定该该股票期权权当前的合合理价格。。2023/1/637/39作业题：：⒈股票票现价为为50元，6个月后（（期间无无红利支支付）的的股票价价格要么么为60元，要么么为42元。现有有以该股股票为标标的物的的欧式看看跌期权权，执行行价格为为48元，6个月后到到期。如如果6个月期的的无风险险利率为为12%（连续复复利），，试分别别利用无无套利原原理和风风险中性性定价原原理确定定该期权权当前价价格，并并比较计计算结果果。⒉将本本章第一一个示例例中的单单步分为为两步，，即步长长由原来来的3个月缩短短为45天，其他他条件不不变，计计算股票票期权的的价格。。2023/1/638/39思考题：：⒈如果果将课程程中的期期权换成成美式期期权，定定价结论论有变化化吗？⒉通过过作业题题第2题的结论论与原来来的结论论对比，，你能发发现什么么？⒊就我我们现有有的教学学内容而而言，二二叉树模模型完美美吗？2023/1/639/39谢谢1月-2301:28:5801:2801:281月-231月-2301:2801:2801:28:581月月-231月月-2301:28:582023/1/61:28:589、静夜夜四无无邻，，荒居居旧业业贫。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中黄叶叶树，灯下下白头人。。。01:28:5901:28:5901:281/6/20231:28:59AM11、以以我我独独沈沈久久，，愧愧君君相相见见频频。。。。1月月-2301:28:5901:28Jan-2306-Jan-2312、故人江海别别，几度隔山山川。。01:28:5901:28:5901:28Friday,January6,202313、乍见翻翻疑梦，，相悲各各问年。。。1月-231月-2301:28:5901:28:59January6,202314、他乡生白白发，旧国国见青山。。。06一月月20231:28:59上上午01:28:591月-2315、比不不了得得就不不比，，得不不到的的就不不要。。。。一月231:28上上午午1月-2301:28January6,202316、行动动出成成果，，工作作出财财富。。。2023/1/61:28:5901:28:5906January202317、做做前前，，能能够够环环视视四四周周；；做做时时，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿着着以以脚脚为为起起点点的的射射线线向向前前。。。。1:28:59上上午午1:28上上午午01:28:591月月-239、没有有失败败，只只有暂暂时停停止成成功！！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多多事情情努力力了未未必有有结果果，但但是不不努力力却什什么改改变也也没有有。。。01:28:5901:28:5901:281/6/20231:28:59AM11、成功就就是日复复一日那那一点点点小小努努力的积积累。。。1月-2301:28:5901:28Jan-2306-Jan-2312、世间成事事，不求其其绝对圆满满，留一份份不足，可可得无限完完美。。01:28:5901:28:5901:28Friday,January6,202313、不知知香积积寺，，数里里入云云峰。。。1月-231月-2301:28:5901:28:59January6,202314、意志坚坚强的人人能把世世界放在在手中像像泥块一一样任意意揉捏。。06一一月20231:28:59上午午01:28:591月-2315、楚塞塞三湘湘接，，荆门门九派派通。。。。一月231:28上上午午1月-2301:28January6,202316、少少年年十十五五二二十十时时，，步步行行夺夺得得胡胡马马骑骑。。。。2023/1/61:28:5901:28:5906January202317、空山新雨后后，天气晚来来秋。。1:28:59上午1:28上上午01:28:591月-239、杨柳散和和风，青山山澹吾虑。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、阅读一一切好书书如同和和过去最最杰出的的人谈话话。01:28:5901:28:5901:281/