全国高中数学联赛（CMO预赛）平面几何专题冲刺复习试题

PQPQ 如图，四边形ABCD是梯形，AB//CD,AB<CD，Q在形内且满足∠QAB=∠QDC=90°-BQC，BC,DA交于P。BABAQ 如图，凸四边形ABCD内接于圆Ω，AD,BC的延长线交于P，QBP延长线上一点，BP=PQ，R,S使得CAQR,DBCS均是平行四边形。求证：C,Q,R,S四点共圆DSDSPQCΩBR如图，在等腰△ABC中，CA=CB，DAC的延长线上，且AC>CD，∠BCD的角平分线交BDN，MBD的中点M关于⊙(AMD)的切线交BCP。求证：APMN四点共DCDCNMPA如图，在等腰△ABC中，AB=AC，MBC的中点，CDAB边上的高，ECD延长线上，且BE=MB，P在⊙(ABM)上，且满足PB=PE，P,MBE同侧。PEPEDBMC如图，在△ABCP，且满足∠ABP=∠ACP=45°-A/4，AL是∠BAC的角平分线，PL再次交⊙(BPC)K。PBPBLCK如图，P是△ABC形内一点，过P分别作BC,CA,AB的平行线，与三边对应的交点是H；GD；I,F，AP再次交△ABC的外接圆于Q。DIDIEHPBFGCQ∠ALC=2∠AMC，K是△AMN的外心。AKBKBLCM如图，在△ABC中，O是外心，BOAC交于E，COAB交于F，K是△OEF的垂心N分别BECF的中点。AFEOMFEOMNK是△CFP的外心，QOB上，且满足∠EBC=∠EQC。求证：E,B,P,Q四点共圆OQOQPC ,B，DBD关于⊙(ABD)R。求证：P,Q,R三点共线ADADBQP如图，KL,KN是⊙O的切线，MKN的延长线上，⊙(KLM)再次交⊙OP，QNLM的射影PKPKOQNMCH交于P，PQ是关于BD为直径的半圆（与线段BC相交）的切线。求证：AD,CQ的交点在⊙(BD)上CQPD CQPD直线分BCD，交⊙OE,F（E-D-P-F），过P垂直于SF的直线交SEK。求证：AOSK四点FAOPFAOPDCES如图，△ABC内接于⊙O，P是弧C的中点，Q是弧AC的中点，DBC上，E,F分别DF//ACQDTJQAFEQAFEDOTJP如图，四边形ABCD内接于圆ω，对角线AC,BD交于K，E,F分别在AK,DK上，EF与圆ω交于E1,F1，⊙(ADE)再次交EF于E2，⊙(BCF)再次交EF于F2。DADAEFKBC上，且CB=CE,DB=DF，BF再次交⊙O1P，BE再次交⊙O2Q。FAFAPBQCD次交BDQ，AM,CQK。求证：BMKQ四点AADQKPBMC如图，在△ABC中，A1B1分别在CB,CA上，P,Q分别在AA1BB1上，且求证：P,Q,P1,Q1四点共圆CPQ如图，△ABC中，EF分别在AC,AB上，O,O'分别是△ABC,△AEF的外心，P,Q分BE,CF上，且满足BP=FQ=BF2

PE

AFOEFOEPQQ在⊙O上，且满足∠KAQ=90°，Y满足PAQY是平行四边形。求证：B,C,P,Y四点共圆KAKAQFOPYBC再次交于M，AF再次交⊙(ABE)N。求证：AMN,C四点AADPMEFNBC的射影，T是△EBC的外心。AAKFEPTQBC如图，在△ABC中，过BC两点的圆分别交AC,ABEF，⊙(BBE)再次交AC⊙(C,CF)再次交ABH，EH,FG交于K。求证：K在⊙(B,BE)与⊙(C,CF)的根轴上FKFKEHGBC如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC>BC，D是形内一点，满足AD=BD+CD，AB的中垂线交∠ADB的外角平分线于P，AC的中垂线交∠ADC的外角平分线于Q。求证：BC,PQ四点AQPDQPD上，且EB//AB'，FAB上，且FC//AC'。XCFXCFAE如图，△ABC内接于⊙O，P是形内一点，D,EFPBC,CA,AB上的射影，AP,EF交于K，R在⊙O上，且满足∠RAP=90°，AP再次交⊙(BPC)S，记过R平行BC的直线为m，过S平行于DK的直线为nm,n交于T。求证：T在⊙O AKEnFPOBDCS求证：A,P,M三点共线AAEPHFBDMC如图，⊙O1与⊙O2交于P，过P的直线AB,CD,EF，S在⊙O1上，且满足PS//BD，T⊙O2上，且PT//AC，ESBD交于M，FTAC交于N，Q使得SPTQ是平行四边形。求证：M,Q,N三点共线ASASMEDQPFNTC如图，以AB为直径的半圆⊙O上有C,D两点，P,Q,R分别是AC,CD,DB的中点，S在PAQ的直线，且满足SA⊥AB，TRBQ的直线上，且满足TB⊥AB。CQCQDPRT ⊙(ABP)的直径，PY是⊙(ACP)的直径，AP的中垂线分别交ABACU,V。求证：XV,YU,TP三线共点YYAXVUOPBCTABCDAB=CDEP,QACAB上，DP,DQ分别交BCS,T。EFQPEFQPBS CD的中点，MN分别交⊙(BED)，⊙(CEA)XY。AAMDNXEYCBC（AOOPUBYDXCKQ如图，在△ABC中，O是外心，P在⊙(AOB)上，且满足∠BPC=90°，QBP上，且满AQ//PO。APOQAPOQO',H'分别是△ARC的外心和垂心。求证：OH',X三点共HHOB C如图，在锐角△ABC中，OH分别是外心和垂心，KAH的中点，PAC上，AKHOPKHOP如图，△ABC内接于⊙O，AA'BC边上的高，X在射线AA'上，∠BAC的平分线交⊙OD，NXD的延长线上，且满足ON//AD，MXD的中点。AAOBCNDMXCOHOHYBCXP如图，锐角△ABC内接于⊙O，H是垂心，BH,CH分别交⊙OE,F，EF,BC交于P，OE,AC交于X，OF,ABY。AYOYOXEHBCP如图，锐角△ABC内接于⊙O，H是垂心，⊙OXY//BC，YH再次交⊙O的弦DE⊥AX，EXBCP。DDAEOHBPCXY上，且HP//EF，MBC的中点，AM,EFQ，AM再次交圆ΩR，PQ再次交求证：XD,KR的交点在⊙(AH)AXAXEQFHPBDMCΩR如图，在锐角△ABC中，H是垂心，⊙(AHC)再次交∠BAC的角平分P，X是△ABP的外心，Y是△ACP的垂心。AXAXHCPY如图，在锐角△ABC中，H是垂心，BFCE是高，MBC的中点，XEF上，满足∠HAM=∠HMX，且A,X在直线MH的两侧。AEHEHF 满足HD//AP,HE//BP,HF//CP，MHP的中点。求证：D,EFM四点共AΩHEM FP如图，锐角△ABC内接于⊙O，H是垂心，M是弧C的中点，KL分别在ABAC上，且满足OK//MB,OL//MC，T是△AKL的外心，T'TKL的对称点。AKHTAKHTLOMODCKCKDAOBQA,求证：1-1 QYPXPPQYXBA如图，锐角△ABC内接于⊙O，H是垂心，BE,CF是高，EF交⊙OP,Q，T是△HPQQAQAFEOHPBCC的直线与ABAC分别交于EF，若AE=AF。MMAEOFHBCT如图，在锐角△ABC中，AB<AC，H是垂心，MBC的中点，AD是∠BAC的角平分线上，过H垂直于AMADL，过L垂直于AC的直线交ABP。AHLHLBDMC如图，锐角△ABC内接于⊙O，H是垂心，过H的直线分别交AB,ACM,再次交⊙OP，PH再次交⊙(AMN)Q。AOAONHMQBC的垂心，DE,HF交于K。AANDHKBEFC如图，在锐角△ABC中，OH分别是外心和垂心，ADBECF是高线，PDE上，且满CP⊥OH，QDF上，且满足BQ⊥OH。AFAFPOEHBDCBAC⊙OF，PAF上一点，且PE//AI。求证：PE平分∠BPCDAAOIPEBCF如图，等腰△ABC中，AB=AC，DAC的中点，∠BAC的平分线交⊙(DBC)E（E，BD求证：I是△KAB的内心AAEDIKFBC如图，△ABC内接于⊙O，I是内心，AI交⊙OP，K是△BIC的垂心，I'IBC的求证：AKPI'的交点在BCKAIO P如图，△ABC内接于⊙O，I是内心，AI交⊙OP，I'I关于BC的对称点，⊙(POI)再次交⊙OX。求证：XI',P三点共A XP如图，△ABC内接于⊙O，I是内心，AI交⊙OPIAIBCDOI上的射影求证：AED,P四点共AEAEIOBCPCOI的直线交BCX。MAIXMAIXOTI垂直于OI的直线BCX，交PTY。AIOXAIOXCYP如图，△ABC内接于⊙O，I是内心，AI交⊙OD，E是弧D上任一点，FBC上，且满足∠BAE=∠CAF，GIF的中点。求证：EI,DG的交点在⊙OAIOG ED如图，在△ABC中，内切圆⊙IBC,CAABD,EF，K是△DEF的垂心。求证：K是⊙(A,AD)，⊙(B,BE)，⊙(C,CF)的根心AAEF BDC如图，△ABC内接于⊙O，内切圆⊙I分别切BC,CA,ABD,E,F，KDEF上的射影，AA'是⊙O的直径。求证：KI,A'三点KEKEFIOBDC且满足CE=AE',BF=AF'，I'I关于EF的对称点。AFFEIH如图，在△ABC中，内切圆⊙IBC,CAABD,EF，AD再次交⊙IU，IU,交于X，YBCIY//AD。求证：A,X,Y三点共线AFXUIE FXUIENID的中点，过N垂直KI的直线交MLP。AMLMLIN 如图，锐角△ABC（AB>AC）内接于⊙O，H，I分别是垂心和内心，AH交⊙O交⊙OL，若∠AIH=90°。AI DL如图，△ABC（AB<AC）的内切圆⊙IBC,CA,ABD,E,F，MBC的中点，PAI上（P在△ABC的内部，且MP=MD，Q在⊙I上，且∠AQD=90°。AEFIPQ EFIPQ如图，在△ABC中，ADBC边上的高线，MAD的中点，内切圆⊙IBCAFMIEFMIED上，且BE=CF=BC，KJ分别是△AEF的外心和内心。求证：KJ,OI的交点在△ABC的外接圆上AAKJEFOIBC（L≠E，T求证：K,T,L三点共线AAKTOILBCETATAPIOBCDE的对称点。求证：I,XYZ四点共ALEFZHXLEFZHXIMN如图，在△ABC中，I是内心，IA,IB,IC分别是A-旁心，B-旁心，C-旁心，D是IABC上的射影，E是IBCA上的射影，F是ICAB上的射影，记过DAI的直l，类似定义m,n。求证：lmn三线共AFAFEmlBDC如图，在△ABC中，O,I,IA分别是外心，内心，A-旁心，X,YAB,AC的延长线上，且满足BX=CY=BC，PIO的对称点，K是IAP的中点。求证：K是△AXYAIOIOBCPKX如图，△ABC内接于⊙O，I是内心，BECF分别是∠ABC,∠ACB的角平分线，⊙(AEF)再次交⊙OT，TI,BCZ。ZCAATFIEOBZCN,LAI,IP的中点N垂直于AI的直线与过P垂直于TL的直线交于K。AKAKNIOBMCLPAB上，且满足AF=BR，GXY分别是△ABC,△DEF,△PQR的重心。求证：GXY的中点AFQERXGYFQERXGY如图，在非等腰锐角△ABC中，O,H分别是外心和垂心，M,N分别是CA,AB的中点，VAC上，且满足∠VNH=90°，UAB上，且满足∠UMH=90°。AUVNOUVNOMH如图，在△ABC中，N是九点圆圆心，PBC上，S,T分别是△ABP,△ACP的外心，J是△AST的外心，QJBC上的射影。JSJSTN 如图，⊙O为△ABC的外接圆，H为其垂心，∠ABC的平分线交⊙OP，MPH的中点，过OBPBCS。PPAMHOBSC如图，△ABC内接于⊙O，G是重心，ADBC边上的高GD交⊙OX。求证：G在⊙(AOX)与△ABC的九点圆的根轴上AGODAGODX如图，在锐角△ABC中，O是外心，O'O关于BC的对称点，E,F分别是O'AB,上的射影，TAO'的中点，Q是△TEF的外心。求证：O,Q,O'三点共线OTOTBCQFE如图，△ABC内接于⊙O，H,N分别是垂心和九点圆圆心，AN再次交⊙OS，过B,两点关于⊙O的切线交于P。A A HSP如图，△ABC内接于⊙O，XYAC,AB上，且满足BY=XY=CX，过A关于⊙O的切线交XYP，I是△AXY的内心。AIYIYXOBC的切线分别交B'C'X，交BCY。A 如图，在△ABC中，AB>AC，O是外心，∠BAC的平分线上PBC,CAAB上的射影分别为D,E,F，D'D关于EF的对称点。求证：AD',OP的交点在BCAAFOPE 如图，I是△ABC的内心，P,QAB,AC的中点，MAI的中点，NM关于的对称点，H是△BIC的垂心。求证：NI,AH的交点在BC上AHMPQHMPQNICA-旁心，MBC的中点，IAM,EF交于P。求证：L,P,D三点共线LA F 如图，△ABC内接于⊙O，AN是⊙O的直径，IJ分别是内心和A-旁心，AI,BC交于D，JN再次交⊙OT，PAC上，且满足∠AIP=90°。AATIPOBDCNJ如图，在锐角△ABC中，H是垂心，BE,CF是高，MBC的中点P,Q在⊙(AEF)上，且满足BP=BE,CQ=CF。PQPQEFH CA，K，点PAL上，CPFP分别交圆Ω于M,N，PELN交于S，PKLM交于T。MNAPMNAPSTKBCL如图，⊙O1与⊙O2交于P,Q，并分别与⊙OS,T，过P垂直于PQ的直线交直QOK求证：PKST四点PKPKOTQ如图，△ABC内接于⊙O，内切圆⊙I分别切BC,CAABDEF，AI,BI,CI分别交⊙OX,Y,Z。求证：⊙(IDX⊙(IEY⊙(IFZ)I外还有一个公共的交AAYEZFIOBDCX如图，P是△ABC内部一点，APBPCP分别交△ABC的外接LMN，U,VW分别是△PMN,△PNL,△PLM的外心。求证：AU,BVCW三线共MAMAUNPWBCVL如图，在△ABC的外部作矩形ABA1B2,BCB1C2,CAC1A2，定义C'使得C'A1⊥A1C2C'B2⊥B2C1，A',B'类似定义。求证：AA',BB',CC'三线共点ABC 如图，在不等边△ABC中，ADBC边的高线，MBC的中点，PQ分别在AC,AB的延长线上，且AC⊥MQ,AB⊥MP，⊙(PMQ)BCX。BCBCDMXPQ如图，P是△ABC内部一点，X,Y,Z分别是弧C,A,B的中点。求证：P,X,Y,Z四点共圆AAZYXPBCXYZ的内心；UV分别是PBCCA上的射影，P'P关于I的对称点，H是△ABC的求证：IP关于△ABC的西姆UV上AAHOYZVIBUCXP如图，△ABC内接于⊙O，P在弧C上，QP关于AB的对称点，RP关于AC的对称点，QR分别交ABACE,F，XEOB上的射影，YFOC上的射影。求证：PXOY四点共QEQEXFOYRBCP且满足AS//BC，PS,BCT，AT,OPX，QP关于BC的对称点。求证：QXH三点共AASOQHXBMTCP如图，点P是△ABC内部一点，E在△ABC的形外，且满足EA=EB,∠EAB=∠PCB，F在△ABC的形外，且满足FA=FC,∠FAC=∠PBC。AFPFP AC上，且满足AD=AE，D,H,E三点共线，⊙O与⊙(ADE)再次交于P。AOAOEDHBMCAI,BD交于L。AEKFIEKFIMLC如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC,BDP，ABCD交于Q，K是△QBC的外心，过A,D关于⊙O的切线交于U。AUAUKDPOBCBY在⊙O2上，以AB为直径的圆分别交⊙O1与⊙O2P,Q，若∠AO1P+∠BO2Q=180°。试用R1,R2表示PX/QY。YYQA B如图，四边形ABCD内接于圆，AC,BD交于K，M,N,P,Q分别是AB,BC,CD,DA的中点，X,Y,Z,TKAB,BC,CD,DA上的射影，MPYT交于U，NQ,XZ交于V。求证：U,K,V三点共线A VZ P ⊙I的切线分别交ABACXY，T是△AXY的外心。求证：T,I,O三点共线OIOIYTBPCXCD，NAD的中点，过N垂直于ON的直线交BCP。求证：PT是⊙O的切线AANODBCP 如图，在锐角△ABC中，H是垂心，AD,BE是高线，⊙(AD)与⊙(BE)交于ST。TDTDEHABS如图，锐角△ABC内接于圆Ω，H是垂心，P在弧C上，E,FAC,AB上，且满∠BPE=∠CPF=90°，PH再次交圆Ω于Q。求证：AQ是⊙(AEF)的切线AAQEFHBCPΩ如图，在△ABC中，N是九点圆圆心，D,EF分别是NBC,CAAB上的射影，过D垂AAYEFN BIE，过A'平行于AC的直线交CIFA垂直AI的直线交EFK。KAAEFIOBDCCFR,∠+∠A=CC+A=∠C求证：P,Q,R三点共线PRQBPRQBC S如图，△ABC内接于⊙O，H是垂心，DHA的延长线上，且满足HA=AD，P,Q在⊙O上，且PQ//BC，AP,BC交于E,PO再次交⊙(BOC)F，EF再次交⊙(BOC)S。DADAPOFSHBCE如图，⊙O1与⊙O2的外公切线k1k2交于T，k1与⊙O1相切于A，k2与⊙O2相切于BB两点的圆Ω分别再次交⊙O1与⊙O2C,D，AC,BD交于X，AD,BC交于Y。求证：T,X,Y三点共线ΩAΩATOD1CO2BX如图，在△ABC中，O,I分别是外心和内心，D,E,F分别在BC,CA,AB上，且满,FPFPIOEDCBABC⊙OD,+=C+C=BD,EF关于△ABC的密克点。求证：P是△XYZ的垂心XAXAFEOPBDCY如图，在△ABC中，I是内心，记过IAI的直线为d，E,Fd上，且满ABE=∠ACF=90°，MN在直线BC上，且满足ME//NF//AI。EdEdIMBCNFKBC的垂心。FTFTKEH 交于D，KDEF上的射影，TIBC上的射影。求证：K,P,T三点共线AFIKEP FIKEPQD是⊙O1的切线，MCD的中点。求证：A,M,B三点共线AAPQMDCB如图，△ABC内接于⊙OBC关于⊙O的切K，KABC交于D，MBC的中点，延长MK交⊙(K,KB)Q，AQ再次交⊙(K,KB)P。AAODPBMCKQO2分别是△AIB△AIC求证：△DPQ的外心