2021年上海高三数学二模分类汇编：数列与极限

2（2021虹口二模）.limn-83n—13（2021嘉定二模）.已知等差数歹U｛%｝满足a2=3a4—8,—,则Ulim(a+a+•••+27 n-81 23（2021闵行二模）.—,则Ulim(a+a+•••+27 n-81 2113（2021徐汇二模）.等比数列｛an｝（nEN*",若a2=16，『2,则A二——4（2021奉贤二模）.已知各项为正的等差数列｛a｝的前n项和为S，若a+a—a2=0,n n 576则S= 115（2021崇明二模）.已知lim（1—x）n=0，则实数%的取值范围是 n-86（2021宝山二模）.设无穷等比数列｛xn｝的公比为m，若lim（x6+x7+•••+xn）=x4,则m=7（2021长宁二模）.在公差不为零的等差数列U｛an｝中，a3是彳与a9的等比中项，则a+a+,•,+aa98（20218（2021嘉定二模）.设数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足S-an=4，则limS=1 _nn n-88（2021黄浦二模）.无穷等比数列｛a｝（neN*,aeR）的前n项和为S，且limS=2,n n nnn-8则首项a1的取值范围是TOC\o"1-5"\h\z8（2021奉贤二模）.设S为正数列｛a｝的前n项和，S=qS+S,q>1,对任意的n>1,n n n+1 n1neN均有Sn+1<4an,则q的取值为8（2021普陀二模）.设无穷等比数列｛aj的前n项和为S〃，若a=1,且lim（S+SJ=3,n n n-8 n则公比q=38（2021静安二模）.已知桶A中盛有2升水，桶B中盛有1升水，现将桶A中的水的;和0 0 041桶B中的水的;倒入桶A中，再将桶A与桶B中剩余的水倒入桶B中；然后将桶A中的0 4 1 00 1 131水的二和桶B中的水的;倒入桶A中，再将桶A与桶B中剩余的水倒入桶B中；若如此41 4 2 11 2中的水多 an-Sn,则继续操作下去，则桶^（neN*）中的水比桶B代（neN*）9（2021长宁二模）.设数列｛an｝的前n项和为Sn中的水多 an-Sn,则limn-+8limn-+8a1( 1 +…+ 19（2021金山二模）.若首项为1、公比为彳的无穷等比数列的各项和为S,S表示该数列3nnT91 2的前n项和，则lim（S+S++S—nS）的值为nT91 212（2021松江二模）.在数列｛a.｝中，a=3，a=1+a•a•a••…a，记T为数列｛'｝n 1 n+1 123 n n an的前n项和，则limT=nnT912（2021闵行二模）.已知数列｛an｝（neN*）满足a=1a-aI+Ia-aI+…+Ia-aI（n>2），且a=1，a=a（a>1），贝Ua1+a2+a3+…+a24=（结果用含a的式子表示）12（2021虹口二模）.在数列｛a｝中，对任意neN*,a=k,当且仅当2k<n<2k+1,keN*,nn若满足am+a2m+a4m+a8m+a16m>52，贝|m的最小值为（2021杨浦二模）.已知数列｛an｝是无穷等比数列，若a1<a2<0,则数列｛an｝的前n项和S（ ）nA.无最大值，有最小值 B.有最大值，有最小值C.有最大值，无最小值 D.无最大值，无最小值（2021崇明二模）.数列｛a｝满足a=2，则”对任意的p,reN*,都有a=aa”n 1 p+r prTOC\o"1-5"\h\z是“｛an｝为等比数列”的（ ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件（2021浦东二模）.数列｛an｝的前n项和为Sn,a1=m，且对任意的neN*都有an+an讨=2n+1,则下列三个命题中，所有真命题的序号是（ ）①存在实数m，使得｛an｝为等差数列；②存在实数m，使得｛an｝为等比数列；③若存在keN*，使得Sk=Sk+1=55，则实数m唯一；A.① B.①② C.①③ D.①②③16（2021徐汇二模）.已知｛an｝是公差为d（d>0）的等差数列，若存在实数%1,%2,%fsin%+sin%+sin%+…+sin%=0…，％0满足方程组1 .1,2. ,3 . ,9 ，则d的最小值为9 Iasin%+asin%+asin%+…+asin%=251 12 23 3 9 9A.B.C.D.A.B.C.D.(1)u£Z((1)u£Z(i=1,2，…,10)；(2)点(u5,2u2+u8)在函数y=4x的图像上；(3)向量a=(1,u1)与b=(3,uio)互相平行；23TOC\o"1-5"\h\zu-u与-^―的等差中项为—(i=1,2,-,9)；那么，这样的数列u,u，…，i+1 iu-u 2 1 2i+1 i tu10的个数为( ) TA.78 B.80 C.82 D.9020(2021金山二模).在数列｛a｝中，已知a1=2，a1a=2a-a1(n£N*).(1)证明：数歹U｛工-1｝为等比数列；an求使得S>1.999的整数n的最小值;n(2)记b=anan+1，数列｛b｝的前n项和为求使得S>1.999的整数n的最小值;n(3)是否存在正整数m、n、k,且m<n<k，使得(3)是否存在正整数m、n、k,求出m、n、k的值；若不存在，请说明理由.20(2021静安二模).将正奇数1,3,5,7……按上小下大、左小右大的原则排成如下的数阵，已知由上往下数，从第2行开始，每一行所有的正整数的个数都是上一行的2倍，设ajj(i,j£N*)是位于这个数阵中第i行(从上往下数)、第j列(从左往右数)的数.(1)设bn=an1(n£N*)，求数列｛bn｝的通项公式；(2)若am:2021,求m、n的值；mn T(3)若记这个数阵中第n行各数的和为S，数列｛S｝的前n项和为T,求极限limRn n n neSn的值.21(2021松江二模).对于至少有三项的实数列｛an｝，若对任意的n(n£N*,n>3),都存在S、2(其中s中t,s,t£N*,s<n,t<n),使得a=a-a成立，则称数列｛a｝具有性质P. nSt n(1)分别判断数列1、2、3、4和数列-1、0、1、2是否具有性质P，请说明理由；(2)已知数列｛an｝是公差为d(d〉0)的等差数列，若bn=sinan,且数列｛an｝和｛bn｝都具有性质P，求公差d的最小值；(3)已知数列cn=ln-aI-b(其中a中b,a,b£N*),试探求数列｛cn｝具有性质P的充要条件.

neN*.21（2021杨浦二模）.已知无穷数列｛q｝与无穷数列｛neN*.①ae{0,1,2},neN*:②〜=(―1)n-Ia——aI,n b 2n4n+1n记数列{bn}的前n项积为Tn.第1行1第2行35第3片791113(1)若a(1)若a=b=1，a=0，a—1,（2）是否存在a1、a2、a3、a4，使得b1、bb3、b4成等差数列？若存在，请写出一组a1、a2、a3、a4，若不存在，请说明理由;（3）若b1—1,求T2021的最大值.21（202121（2021长宁二模）.数列｛an｝满足：a1―1，aeN*，n且对任意neN*，都有a<a1（2）设d―a1—a，求证：对任意neN*，都有d丰1；(3(3)求数列｛a｝的通项公式a.21（2021青浦二模）.已知数列｛an｝为等差数列，且a2—5，a8—23，数列｛bn｝是各项均为正数的等比数列，b1—2，且对任意正整数s、t都有bs+t―b•bt成立.（1）求数列｛an｝、｛bn｝的通项公式；（2）求证：数列｛bn｝中有无穷多项在数列｛an｝中；（3）是否存在二次函数f（%）和实数a，使得a、f（a）、f（f（a））、f（f（f（a）））为数列｛bn｝中连续4项？若存在，请写出一个满足条件的f（%）的解析式和对应的实数a的值；若不存在，说明理由.21（2021浦东二模）.已知无穷实数列｛。｝（neN*），若存在M>0，使得对任意ngN*,nIal<M恒成立，则称｛a｝为有界数列：记b=1a—aI（i=1,2,3，…,n-1），若存在T>0,n n i i+1 i使得对任意n>2，ngN*，b1+b2+b3+…+bn1<T恒成立，则称｛an｝为有界变差数列.1（1）已知无穷数列｛an｝的通项公式为an=晟，ngN*，判断｛an｝是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；（2）已知首项a1=1,公比为实数q的等比数列｛,｝为有界变差数列，求q的取值范围；（3）已知两个单调递增的无穷数列｛4｝和｛en｝都为有界数列，记fn=dn-en,ngN*，证明：数列｛f｝为有界变差数列.n21（2021闵行二模）.对于有限集S=｛a1,a2M3,…,a1,a｝（meN*，m>3），如果存在函数f（x）（f（x）=x除外），其图像在区间D上是一段连续曲线，且满足f（S）=S，其中f（S）=｛f（x）IxgS,S之D｝，那么称这个函数f（x）是P变换，集合S是P集合，数列a1，a2，a3，•••，a1，a是P数列.例如，S=｛1,2,3｝是P集合，此时函数f（x）=4-x是P变换，数列1、2、3或3、2、1等都是P数列.（1）判断数列1、2、5、8、9是否是P数列？说明理由；（2）若各项均为正数的递增数列Han｝（1<n<2021，neN*）是P数列，若P变换f（x）=9，求a•a••…a的值；x 1 2 2021（3）元素都是正数的有限集S=｛a1,a2,a3,…,am1,am｝（meN*，m>3），若a<aj，总有agS，其中1<i,j<m，试判断集合S是否是P集合？请说明理由.ai21（2021宝山二模）.若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的九（九gR）倍，则称该数列具有性质PQ）.（1）已知数列-1，2-x，3-x具有性质P（4），求实数x的取值范围；（2）删除数列31，32，…，3n，…中的第3项，第6项，…，第3n项，…，余下的项

按原来顺序组成一个新数列匕｝,且数列｛)｝的前n项和为Tn,若数列｛Tn｝具有性质P"),试求实数九的最大值；(3)记Zui=u+u+u+…+u(m(=N)，如果a>0(k=1,2,…,2021)，证i=m明：“婴a>1”的充要条件是“存在数列｛x｝具有性质P(1)，且同时满足以下三个条件：knk=1(I)数列｛xn｝的各项均为正数，且互异；(II)存在常数A>0，使得数列｛xn｝收敛于A；(III)x一x=艺ax-Zax(n=1,2,…，这里x=0)”.n n-1 kn+k k+1n+k 0k=1 k=021(2021崇明二模).对于数列｛an｝，定义｛Aan｝为数列｛an｝的差分数列，其中Aan=an+1-an,ngN*，如果对任意的ngN*，都有Aan+1>Aan,则称数列｛an｝为差分增数列.(1)已知数列1,2,4,x,16,24为差分增数列，求实数x的取值范围；(2)已知数列｛an｝为差分增数列，且4=a2=1,anGN*，若ak=2021,求非零自然数k的最大值；(3)已知项数为2k的数列U｛log3an｝(n=1,2,3.••,2k)是差分增数列，且所有项的和等于k，证明:akak+1<3.21(2021虹口二模).若数列U｛an｝满足“对任意正整数i、j,i丰j,都存在正整数k,使得ak=a「aj”，则称数歹ij｛an｝具有“性质P”.(1)判断各项均等于a的常数列是否具有“性质P”，并说明理由；(2)若公比为2的无穷等比数列｛an｝具有“性质P”，求首项a1的值；a>ann-1,a丰a，设a=a,a<an+1na>ann-1,a丰a，设a=a,a<an+1n1nn-1a满足aa=aa，求a；21(2021奉贤二模).设数列{a}满足：a=]an+ksinann n+1[a+kcosaa=b.、一5九(1)设b=--,k=一8，若数列的前四项a、a、a.、6 123(2)已知k>0,n>4,ngN，当ag(0,—),bg(0,—),a<b时，判断数列ij{a}22 n

是否能成等差数列，请说明理由；7（3）设a=4,b=7,k=1,求证：对一切的n>1,ngN，均有a〈一九.n221（2021嘉定二模）.已知数列｛an｝满足：a1=1,Ian+1—an1=p”,ngN*,Sn为数列｛an｝的前n项和.（1（1）若｛an｝是递增数列，且3a1、4a2、

（2）已知〃=1，且｛a｝是递增数列，

3 2n—15a成等差数列，求p的值；3｛a2n｝是递减数列，求数列｛an｝的通项公式;（3）已知p=1,对于给定的正整数n，试探究是否存在一个满足条件的数列｛a｝，使得nSn=n，若存在，写出一个满足条件的数列｛an｝；若不存在，请说明理由.2K2021普陀二模）.记实数a、b中的较大者为max{a,b},例如max{1,2}=2,max{1,1}=1,对于无穷数列｛a｝，记c^=max｛a2k1,a2k｝（kgN*）,若对于任意的kgN*,均有ck1<c/则称数列｛a｝为“趋势递减数列”.n（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列｛an｝是否为“趋势递减数列”，说明理由；n①a=（--）n:②a=sin—；n2 n 2（2）设首项为1的等差数列｛bn｝的前n项和为Sn,公差为d，且数列｛Sn｝为“趋势递减数列”，求d的取值范围；（3）若数列｛4｝满足d1、d2均为正实数，且dn+2=Idn-dn.J求证：｛dn｝为“趋势递减数列”的充要条件为｛d｝的项中没有0.n21（2021黄浦二模）.定义：符号max｛x1,x2,x3｝表示实数X1、x2、\中最大的一个数；min｛x1,x2,x3｝表示x1、x2、x3中最小的一个数，如max｛-2,2,1.2｝=2,min｛-2,2｝=-2.设K是一个给定的正整数（K>3）,数列｛an｝共有K项，记A.=m