山东省济南市高级中学2021年高三数学文月考试题含解析

山东省济南市高级中学2021年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，分别是角所对的边，条件“”是使“”成立的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C2.已知{an}是公差为1的等差数列；Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A． B． C．10 D．12参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵{an}是公差为1的等差数列，S8=4S4，∴=4×（4a1+），解得a1=．则a10==．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（xi，yi)(i=1，2，…，8)，其回归直线方程是：，且x1+x2+x3+…+x8=2(y1+y2+y3+…+y8)=6，则实数a的值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.已知向量，把向量绕坐标原点O按逆时针方向旋围θ角得到向量，则下列说法不正确的为

（

） A． B． C． D．、在方向上的投影相等参考答案：A略5.若对正数，不等式都成立，则的最小值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略6.已知集合，，则为（

）.A.

B.

C.

D.参考答案：A略7.已知数列{an}，an=2n+1，则=（）A． B．1﹣2n C． D．1+2n参考答案：C【考点】等比数列的前n项和．【分析】先求出数列的第n项=，然后根据等比数列的求和公式进行求解即可．【解答】解：an+1﹣an=2n+1+1﹣（2n+1）=2n∴=∴=++…+=故选C．8.用表示三个数中的最小值，设，则的最大值是（

）

A.

4

B.

5

C.

6

D.

7参考答案：C9.设，则（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C10.对于函数，下列命题中正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若二次函数f（x）=x2+1的图象与曲线C：g（x）=aex+1（a＞0）存在公共切线，则实数a的取值范围为．参考答案：（0，]【考点】二次函数的性质．【分析】设公切线与f（x）、g（x）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：f（x）=x2+1的导数为f′（x）=2x，g（x）=aex+1的导数为g′（x）=aex，设公切线与f（x）=x2+1的图象切于点（x1，x12+1），与曲线C：g（x）=aex+1切于点（x2，aex2+1），∴2x1=aex2==，化简可得，2x1=，得x1=0或2x2=x1+2，∵2x1=aex2，且a＞0，∴x1＞0，则2x2=x1+2＞2，即x2＞1，由2x1=aex2，得a==，设h（x）=（x＞1），则h′（x）=，∴h（x）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减，∴h（x）max=h（2）=，∴实数a的取值范围为（0，]，故答案为：（0，]．【点评】本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题．12.已知，向量在向量上的投影为，则

．参考答案：120°

13.已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=．参考答案：63【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】通过解方程求出等比数列{an}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．因为数列{an}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，所以a1=1，a3=4．设等比数列{an}的公比为q，则，所以q=2．则．故答案为63．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．14.已知函数，若，则的最大值为________.参考答案：15.已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是

．参考答案：【考点】导数的几何意义．【专题】计算题；数形结合．【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出k的范围，再根据k=tanα，结合正切函数的图象求出角α的范围．【解答】解：根据题意得f′（x）=﹣，∵，且k＜0则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率k≥﹣1，又∵k=tanα，结合正切函数的图象由图可得α∈，故答案为：．【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．16.设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x＋1，则=_______________。参考答案：

.17.抛物线y2=x与直线x﹣2y﹣3=0所围成的封闭图形的面积为

．参考答案：考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由题设条件，需要先求出抛物线y2=2x与直线y=4﹣x的交点坐标，积分时以y作为积分变量，计算出两曲线所围成的图形的面积．解答： 解：由抛物线y2=x与直线x﹣2y﹣3=0解得，y=﹣1或3．故两个交点纵坐标分别为﹣1，3，则围成的平面图形面积S===．故答案为：．点评：本题考查定积分，解答本题关键是确定积分变量与积分区间，有些类型的题积分时选择不同的积分变量，解题的难度是不一样的．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，数列满足（1）若数列是常数列，求t的值；（2）当时，记，证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式.参考答案：解

（Ⅰ）∵数列是常数列，∴，即，解得，或．

∴所求实数的值是1或-1．

…………5分

（Ⅱ）,，

即．

……9分

∴数列是以为首项，公比为的等比数列，于是．……11分

由,即，解得．

∴所求的通项公式．…………13分

19.已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．(1)求抛物线的方程；(2)当点为直线上的定点时，求直线的方程；(3)当点在直线上移动时，求的最小值．参考答案：（1）依题意，解得（负根舍去）抛物线的方程为；（2）设点,，，由,即得.

ks5u∴抛物线在点处的切线的方程为，即.∵，∴.∵点在切线上,

∴.

①同理，.

②综合①、②得，点的坐标都满足方程.∵经过两点的直线是唯一的，∴直线的方程为，即；（3）由抛物线的定义可知，所以联立，消去得，当时，取得最小值为

2013广州模直接命中了这一题，广一模20题解法2正是本科第（2）问的解法，并且广一模大题结构和高考完全一致.紫霞仙子：我的意中人是个盖世英雄，有一天他会踩着七色云彩来娶我，我只猜中了前头，可是我却猜不中这结局……形容这次高考，妙极！

20.哈尔滨市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为。

优秀非优秀合计甲班10

乙班

30

合计

110

（1）请完成上面的列联表；

（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；

（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号。试求抽到9号或10号的概率。参考公式与临界值表：。0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828

参考答案：（1）

-------4分

优秀非优秀合计甲班105060乙班203050合计3080110

（2）根据列联表中的数据，得到K2=≈7.487＜10.828．因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”

-------8分

（3）设“抽到9或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．所有的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6）共36个．事件A包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）（6，4）共7个．所以P(A)=，即抽到9号或10号的概率为．

-------12分

略21.已知函数，，．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若在上恒成立，求a的值；（Ⅲ）求证：对一切大于2的正整数n都成立.

参考答案：（Ⅰ）因为函数，，所以.

所以当时，；当时，.

所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得最小值．

……

3分（Ⅱ）设，所以.①当时，恒成立，函数在上是增函数，且，所以当时，.

所以不满足条件.②当时，令，即，解得；令，即，解得所以在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得最小值，.要使在上恒成立，则需满足.由（Ⅰ）可知当时，，所以所以.

所以