山东省济南市第十九中学高三数学文期末试题含解析

山东省济南市第十九中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足，f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{an}满足a1=﹣1，且Sn=2an+n，（其中Sn为{an}的前n项和）．则f（a5）+f（a6）=（）A．3 B．﹣2 C．﹣3 D．2参考答案：A【考点】8B：数列的应用；82：数列的函数特性．【分析】先确定f（x）是以3为周期的周期函数，再由a1=﹣1，且Sn=2an+n，推知a5=﹣31，a6=﹣63，由此即可求得结论．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）∵f（﹣x）=f（x），∴f（﹣x）=﹣f（﹣x）∴f（3+x）=f（x），∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵a1=﹣1，且Sn=2an+n，∴a2=﹣3，∴a3=﹣7，a4=﹣15，∴a5=﹣31，a6=﹣63∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3故选A．【点评】本题主要考查函数性质的转化，考查数列的通项，考查学生的计算能力，确定f（x）是以3为周期的周期函数是关键．2.在锐角三角形ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于(

)A．3 B．2 C．﹣2 D．0参考答案：B【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】利用正弦定理表示出=，把BC的长及B=2A代入，其中的sin2A利用二倍角的正弦函数公式化简后，变形可得所求式子的值．【解答】解：由BC=1，B=2A根据正弦定理得=，即==，则=2．故选B【点评】此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．3.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……；第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒。右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为（

）

A．0.9,35

B．0.9,45

C．0.1,35

D．0.1,45

参考答案：答案：A4.已知正三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，其底面边长为3，E，F，G分别为侧棱AB，AC，AD的中点.若O在三棱锥A-BCD内，且三棱锥A-BCD的体积是三棱锥O-BCD体积的3倍，则平面EFG截球O所得截面的面积为（

）A. B. C. D.4π参考答案：A【分析】是底面的中心，则在上，而由得，与平面交于点，是过平面的截面圆圆心，在中由勾股定理求得，再由截面圆性质可求得截面圆半径．【详解】如图，是底面的中心，则在上，而由得，设，则，又，是中心，则，∴由得，解得，设与平面交于点，∵分别是的中点，则是的中点，∴，，设平面截球所得截面圆半径为，则，∴此圆面积为．故选A．

【点睛】本题考查棱锥与其外接球，解题关键首先是确定球的半径，然后根据截面圆性质求得截面圆半径从而得出其面积．记住结论：正棱锥的外接球球心一定在其高上．5.已知，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由复数除法计算出，再由共轭复数定义求出。【详解】，∴。故选：B。【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念。属于基础题。6.设函数，，若实数，满足，，则A．

B．C．

D．参考答案：B略7.已知函数。在区间上，函数最大值为2。（1）求实数的值；（2）在中，角所对的边是。若为锐角，且满足，，面积为，求边长。参考答案：解:（1）∵

……4分

∴函数时取得最大值。解得

…………7分

略8.如果（，表示虚数单位），那么(

)

A．1

B．

C．2

D．0参考答案：A略9.棱长均为三棱锥，若空间一点P满足，则的最小值为

（）A、

B、

C、

D、参考答案：A略10.把已知正整数表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，1，4）为12的相同等差分拆．正整数27的不同等差分拆有(

)个.A.

9

B.10

C.11

D.12参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设P为△ABC中线AD的中点，D为边BC中点，且AD=2，若，则=．参考答案：0考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则可得=（）?（）=﹣（）?+，由数量积运算即可得出结论．解答：解：由题意可得PA=PD=1，=2，∴=（）?（）=﹣（）?+=﹣3+2×1×1+1=0．故答案为0．点评：本题主要考查向量加减的运算法则及数量积运算等知识，属于基础题．12.参考答案：6413.若，则直线被圆所截得的弦长为

_____________.。参考答案：略14.已知某班在开展汉字听写比较活动中，规定评选一等奖和二等奖的人数之和不超过10人，一等奖人数与二等奖人数之差小于等于2人，一等奖人数不少于3人，且一等奖奖品价格为3元，二等奖奖品价格为2元，则本次活动购买奖品的最少费用为________.参考答案：11元15.已知向量,满足，，则在方向上的投影为

．参考答案：向量在方向上的投影为．16.已知，且，则____________．参考答案：略17.函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0上，则＋的最小值为________．参考答案：4函数y＝a1－x的图像过点(1,1)，故m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4，故＋的最小值是4．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的动点(含端点)，记∠BAD＝α，∠ADC＝β.（I）求的最大值；（II）若BD＝1，，求△ABD的面积．参考答案：(1)由△ABC是等边三角形，得β＝α＋，0≤α≤，故2cosα－cosβ=2cosα－cos(α＋)＝sin(α＋)，故当α＝，即D为BC中点时，原式取最大值.(2)由cosβ＝，得sinβ＝，故sinα＝sin(β－)＝sinβcos－cosβsin＝，由正弦定理＝，故AB＝BD＝×1＝，故S△ABD＝AB·BD·sinB＝××1×＝.19.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinA-cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。参考答案：解析：（I）由正弦定理得因为所以（II）由（I）知于是取最大值2．综上所述，的最大值为2，此时20.（14分）已知函数f（x）=（x2+a）ex（a是常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）与x轴相切．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设方程f（x）=x2+x的所有根之和为S，且S∈（n，n+1），求整数n的值；（Ⅲ）若关于x的不等式mf（x）+2x+2＜2ex在（﹣∞，0）内恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）设曲线y=f（x）于x轴的切点为（x0，0），则．解得a．（Ⅱ）方程f（x）=x2+x可化为z=0或xex﹣x﹣1=0．而方程xex﹣x﹣1=0．的根就是函数g（x）=ex﹣﹣1的零点．求出g（x）=ex﹣﹣1的零点范围即可；（Ⅲ）不等式mf（x）+2x+2＜2ex可化为，设h（x）=，只需h（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立．分①当m≤1，②当m＞1讨论求出实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（x2+2x+a）ex，x∈R，设曲线y=f（x）于x轴的切点为（x0，0），则．即，解得a=0．（Ⅱ）方程f（x）=x2+x可化为z=0或xex﹣x﹣1=0．而方程xex﹣x﹣1=0．的根就是函数g（x）=ex﹣﹣1的零点．∵，∴g（x）在（0，+∞），（﹣∞，0）都递增．∵，．∴函数g（x）在（﹣∞，0）内有唯一零点x1，x1∈（﹣，﹣1）．∵，∴函数g（x）在（0，+∞）内有唯一零点x2，x2∈（，1）．．∴方程f（x）=x2+x的所有根之和为S=0+x1+x2∈（﹣1，0）．（Ⅲ）不等式mf（x）+2x+2＜2ex可化为，设h（x）=，由题意得h（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立．，∵恒成立．①当m≤1时，h′（x）＞0在（﹣∞，0）恒成立，∴h（x）在（﹣∞，0）为增函数，又∵h（0）=0，∴当x＜0时，h（x）＜0，即h（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立．②当m＞1时，令h′（x）=0，得x=0或x=﹣lnm，在（﹣lnm，0）上h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（﹣lnm，0）为减函数，又∵h（0）=0，∴当x∈（﹣lnm，0）时，h（x）＞0，不符合题意．综上：实数m的取值范围（﹣∞，1]．【点评】本题考查了导数的综合应用，函数与方程思想，恒成立中的参数问题，属于难题．21.选修4-5：不等式选讲设函数，．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若对任意的实数恒成立，求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）等价于，∴，∴或，∴不等式的解集为．（Ⅱ）令，对任意的实数恒成立，即的图象恒在直线的上方，故直线的斜率满足，即的范围为．22.设函数(I)若x=2是函数f(x)的极值点，1和是函数的两个不同零点，且，求。(II)若对任意,都存在(e为自然对数的底数)，使得成立，求实数的取值范围。参考答案：（Ⅰ），∵是函数的极值点，∴.∵1是函数的零点，得，由解得.∴,，令，，得；

令得，所以在上单调递减；在上单调递增.故函数至多有两个零点，其中，因为，，所以，故．（Ⅱ）令，，则为