山东省济南市沙河乡中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析

山东省济南市沙河乡中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线的倾斜角等于（）A． B． C． D．0参考答案：D考点： 直线的倾斜角．专题： 计算题；直线与圆．分析： 化简得直线即y=，表示一条与x轴平行的直线，利用倾斜角的定义可得直线倾斜角的大小．解答： 解：∵∴即y=，表示一条与x轴平行的直线因此，直线的倾斜角等于0故选：D点评： 本题给出直线方程，求直线的倾斜角大小．着重考查了直线的基本量与基本形式等概念，属于基础题．2.设，，，则（）．

．

．

．参考答案：A,,，所以，选A.3.复数的共轭复数等于（

）

参考答案：C4.设则不等式的解集为A. B.C. D.参考答案：B略5.已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（

）A．30

B．45

C．90

D．186参考答案：C6.在等差数列中，已知，，则的值为A. B. C. D.参考答案：C7.已知α∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A． B． C． D．参考答案：B，，则，所以，所以.

8.直线和直线平行，则（

）A．

B．

C．7或1

D．参考答案：B略9.已知函数g（x）=x3+2x﹣m+（m＞0）是[1，+∞）上的增函数．当实数m取最大值时，若存在点Q，使得过点Q的直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为（）A．（0，﹣3） B．（2，﹣3） C．（0，0） D．（0，3）参考答案：A【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；定积分．【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出m的最大值，结合过点Q的直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，判断函数的对称性进行求解即可．【解答】解：由g（x）=x3+2x﹣m+，得g′（x）=x2+2﹣．∵g（x）是[1，+∞）上的增函数，∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即x2+2﹣≥0在[1，+∞）上恒成立．设x2=t，∵x∈[1，+∞），∴t∈[1，+∞），即不等式t+2﹣≥0在[1，+∞）上恒成立．设y=t+2﹣，t∈[1，+∞），∵y′=1+＞0，∴函数y=t+2﹣在[1，+∞）上单调递增，因此ymin=3﹣m．∵ymin≥0，∴3﹣m≥0，即m≤3．又m＞0，故0＜m≤3．m的最大值为3．故得g（x）=x3+2x﹣3+，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．将函数g（x）的图象向上平移3个长度单位，所得图象相应的函数解析式为φ（x）=x3+2x+，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．由于φ（﹣x）=﹣φ（x），∴φ（x）为奇函数，故φ（x）的图象关于坐标原点成中心对称．由此即得函数g（x）的图象关于点Q（0，﹣3）成中心对称．这表明存在点Q（0，﹣3），使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．故选：A10.已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()A．1

B．3

C．4

D．8参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.计算：

.参考答案：略12.已知函数f（x）=ex﹣e﹣x，下列命题正确的有

．（写出所有正确命题的编号）①f（x）是奇函数；②f（x）在R上是单调递增函数；③方程f（x）=x2+2x有且仅有1个实数根；④如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，那么k的最大值为2．参考答案：①②④【考点】函数恒成立问题；命题的真假判断与应用．【分析】根据题意，依次分析4个命题，对于①、由奇函数的定义分析可得①正确；对于②、对函数f（x）=ex﹣e﹣x求导，分析可得f′（x）＞0，分析可得②正确；对于③、g（x）=ex﹣e﹣x﹣x2﹣2x，分析可得g（0）=0，即方程f（x）=x2+2x有一根x=0，进而利用二分法分析可得g（x）有一根在（3，4）之间，即方程f（x）=x2+2x至少有2跟，故③错误，对于④、由函数的恒成立问题的分析方法，分析可得④正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①、f（x）=ex﹣e﹣x，定义域是R，且f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣f（x），f（x）是奇函数；故①正确；对于②、若f（x）=ex﹣e﹣x，则f′（x）=ex+e﹣x＞0，故f（x）在R递增；故②正确；对于③、f（x）=x2+2x，令g（x）=ex﹣e﹣x﹣x2﹣2x，令x=0可得，g（0）=0，即方程f（x）=x2+2x有一根x=0，g（3）=e3﹣﹣13＜0，g（4）=e4﹣﹣20＞0，则方程f（x）=x2+2x有一根在（3，4）之间，故③错误；对于④、如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，即ex﹣e﹣x﹣kx＞0恒成立，令h（x）=ex﹣e﹣x﹣kx，且h（0）=0，若h（x）＞0恒成立，则必有h′（x）=ex+e﹣x﹣k＞0恒成立，若ex+e﹣x﹣k＞0，即k＜ex+e﹣x=ex+恒成立，而ex+≥2，若有k＜2，故④正确；综合可得：①②④正确；故答案为：①②④．13.已知x，y满足约束条件，则的最大值为(

) A．

B．1

C．7

D．参考答案：C先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x-3y表示直线在y轴上的截距的-3倍，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值的点,代入即可．作图，易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是7【考点】简单线性规划14.如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是

。参考答案：y2=3x

略15.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这1万人中用分层抽样方法抽100人作进一步调查，则在[2500,3000)（元）月收入段应抽出

人．参考答案：

25

16.设复数，其中，则________．参考答案：略17.已知数列为等差数列,若,,则.类比上述结论,对于等比数列,若,则可以得到＝____________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l方程与圆C的方程联立方程组，求得A、B两点的坐标，可得|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得3x+y﹣3=0．圆C的方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，即x2+=3．（Ⅱ）由求得，或，故可得A（，﹣）、B（﹣，+）．∵点P（1，0），∴|PA|+|PB|=+=（2﹣）+（2+）=4．19.我们规定：对于任意实数A，若存在数列和实数，使得则称数A可以表示成进制形式，简记为：。如：.则表示A是一个2进制形式的数，且.（1）已知（其中），试将m表示成进制的简记形式.（2）若数列满足是否存在实常数和，对于任意的，总成立？若存在，求出和；若不存在，说明理由.（3）若常数满足且.求.参考答案：20.（本小题满分12分）已知向量。（1）求；（2）若，求k的值。参考答案：解：（1）（2）21.(t2分)如图，分别是三棱锥的棱的中点，过三点的平面交于。(Ⅰ)求证：四边形是平行四边形；(Ⅱ)已知，，试在棱上找一点，使平面平面，并说明理由。参考答案：解析：(Ⅰ)∵分别是的中点，∴且

……(1分)∵平面,平面∴平面

…………(2分)∵平面平面，平面∴

…………(4分)∵是的中点，∴是的中点．∴

………(5分)∴∴四边形是平行四边形

…………(6分)(Ⅱ)当时，平面平面

…(8分)在上取一点，连接当时，∵，∴

即当时，，

……(9分)∵，，∴平面

……(10分)∵∴平面

……………(11分)∵平面∴平面平面

…………………(12分)

22.已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．参考答案：【考点】两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为，k∈Z．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2