山东省济南市光被中学2021年高三数学文联考试题含解析

山东省济南市光被中学2021年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，给出下列四个命题：

①若，则△ABC必是等腰三角形；

②若，则△ABC必是直角三角形；

③若，则△ABC必是钝角三角形；

④若，则△ABC必是等边三角形.

以上命题中正确的命题的个数是

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B2.已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A． B．C． D．参考答案：D【考点】椭圆的标准方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．3.设函数f（x）在R上存在导数f′（x），?x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[2，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，即g（4﹣m）≥g（m），可得4﹣m≤m，由此解得a的范围．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．4.当x∈[1，2]，函数y=x2与y=ax（a＞0）的图象有交点，则a的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[，2] D．[，]参考答案：B考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：作函数y=x2与y=ax（a＞0）在[1，2]上的图象，结合图象写出a的取值范围即可．解答：解：作函数y=x2与y=ax（a＞0）在[1，2]上的图象如下，结合图象可得，a的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题考查了函数的图象的应用，属于基础题．5.若，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：,所以，故选A.考点：指数、对数函数的性质.6.若(a、b都是实数,i为虚数单位）,则a+b=

A．1

B．-1

C．7

D．-7参考答案：B略7.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.（2016秋?天津期中）设ω∈N*且ω≤15，则使函数y=sinωx在区间[，]上不单调的ω的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：C【考点】三角函数的最值．【专题】分类讨论；分类法；三角函数的图像与性质．【分析】使函数y=sinωx在区间[，]上不单调，只需对称轴在[，]即可．【解答】解：根据正弦函数图象及性质：对称轴方程为ωx=+kπ，（k∈Z）．解得：x=+，（k∈Z）．∵函数y=sinωx在区间[，]上不单调，∴＜+＜，（k∈Z），解得：1.5+3k＜ω＜2+4k，（k∈Z）．由题意：ω∈N*且ω≤15，当k=0时，1.5＜ω＜2，此时ω没有正整数可取；当k=1时，4.5＜ω＜6，此时ω可以取：5；当k=2时，7.5＜ω＜10，此时ω可以取：8，9；当k=3时，10.5＜ω＜14，此时ω可以取：11，12，13；当k=4时，13.5＜ω＜18，此时ω可以取：14，15；∴ω∈N*且ω≤15，y=sinωx在区间[，]上不单调时，ω可以4个数，即5，8，9，11，12，13；14，15．故选：C．【点评】本题考查了正弦函数图象及性质的灵活运用，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．9.已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P(x,y)，则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：略10.已知角终边上一点，则（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

设是定义在上的偶函数,当时,(为自然对数的底数),则的值为

.参考答案：略12.若函数的定义域，则的取值范围是

。参考答案：答案：

13.比较大小：

（填“”，“”或“”）参考答案：<14.已知，若函数f(x)有5个零点，则实数a的取值范围是______．参考答案：【分析】先判断函数为偶函数，则要求函数f(x)有5个零点，只要求出当时，有2个零点即可，分别与的图象，利用导数的几何意义即可求出．【详解】解：∵，∴函数f(x)为偶函数，∵当，时，∴要求函数f(x)有5个零点，只要求出当时，f(x)有2个零点即可，分别与的图象，如图所示，设直线与相切，切点为，∴，∴，∴∴，∵当时，f(x)有2个零点即可．∴，∴，【点睛】本题考查了函数的零点问题，函数的奇偶性，导数的几何意义，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.15.设数列满足，则=_______________.参考答案：13略16.已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则?U（A∪B）=

．参考答案：{4}【分析】根据A与B求出两集合的并集，找出并集的补集即可．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴?U（A∪B）={4}．故答案为：{4}17.已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则此双曲线的离心率是____________；参考答案：因为焦点在轴上的双曲线的渐近线方程式，所以可设双曲线的方程为，整理得，所以有即所以，所以双曲线的离心率为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．（1）求函数g（x）=f（x）?f'（x）的最小值及相应的x值的集合；（2）若f（x）=2f′（x），求的值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；两角和与差的正切函数．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求出导数f′（x），表示出g（x）并化简，由余弦函数的性质可求其最小值及相应x的值的集合；（2）由f（x）=2f′（x）可求得tanx值，利用和角正切公式可求得的值；【解答】解：（1）∵f（x）=sinx+cosx，故f'（x）=cosx﹣sinx，∴g（x）=f（x）?f'（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴当2x=﹣π+2kπ（k∈Z），即时，g（x）取得最小值﹣1，相应的x值的集合为．

（2）由f（x）=2f′（x），得sinx+cosx=2cosx﹣2sinx，∴cosx=3sinx，故，∴．【点评】本题考查导数的运算法则及两角和差的正切函数，考查学生的运算求解能力．19.(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。参考答案：解：，圆ρ=2cosθ的普通方程为：，……3分直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：，…6分又圆与直线相切，所以

……9分解得：，或。……12分20.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数,,以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为若圆上的点到直线的最大距离为，求的值.参考答案：因为圆的参数方程为（为参数，），消去参数得，，所以圆心，半径为，……3分因为直线的极坐标方程为，化为普通方程为，………6分圆心到直线的距离为，……8分又因为圆上的点到直线的最大距离为3，即，所以．…10分21.设函数（其中）．（1）求函数的单调区间；（2）当时，讨论函数的零点个数．参考答案：（1）函数的定义域为，，①当时，令，解得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是，②当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减，③当时，，在上单调递增，④当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减；（2），①当时，，又在上单调递增，所以函数在上只有一个零点，在区间中，因为，取，于是，又在上单调递减，故在上也只有一个零点，所以，函数在定义域上有两个零点；②当时，在单调递增区间内，只有．而在区间内，即在此区间内无零点．所以，函数在