山东省泰安市体育中学2023年高三数学理期末试卷含解析

山东省泰安市体育中学2023年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是公差为的等差数列，为的前项和，若，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.已知集合A={y|y=log2x，0＜x＜1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则（?RA）∩B=（）A．（0，） B．（0，1） C．（，1） D．?参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中y=log2x，0＜x＜1，得到y＜0，即A=（﹣∞，0），∴?RA=[0，+∞），由B中y=（）x，x＞1，得到0＜y＜，即B=（0，），则（?RA）∩B=（0，），故选：A．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3.球的球面上有四点，其中四点共面，是边长为2的正三角形，面面，则棱锥的体积的最大值为（

）A．

B．

C．

D．4参考答案：A考点：几何体的外接球等有关知识的运用.【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是高中数学中题的重要题型,也高考和各级各类考试的难点内容.本题将三棱锥与球外接整合在一起考查三棱锥的体积的最大值无疑是加大了试题的难度.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先确定球心的位置是三角形的外心,再求外接球的半径并确定当为三棱锥的高时,该三棱锥的体积最大并算出其最大值为.4.的展开式中的系数等于的系数的4倍，则n等于

A．7

B．8

C．9

D．10参考答案：B5.执行如右图所示的程序框图，输出的的值为A．5

B．6

C．7

D．8参考答案：C6.定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间内是A.减函数且 B.减函数且C.增函数且 D.增函数且参考答案：B本题主要考查函数的奇偶性和单调性。由此可知函数的周期为2，根据复合函数判断可知函数利用函数和周期性可知B正确.7.已知函数，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和,则＝

(

)

A．45

B．55

C．

D．参考答案：A略8.已知α，β为不重合的两个平面，直线m?α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的(

)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】应用题；数形结合；数形结合法；简易逻辑．【分析】利用平面垂直的判定定理得到前者能推出后者；容易判断出后者推不出前者；利用各种条件的定义得到选项．【解答】解：∵平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直∴直线m?α，那么“m⊥β”成立时，一定有“α⊥β”成立反之，直线m?α，若“α⊥β”不一定有“m⊥β”成立所以直线m?α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查平面垂直的判定定理、考查各种条件的定义并利用定义如何判定一个命题是另一个命题的什么条件．9.已知数列{an}满足a1=1，an=2an﹣1+1（n≥2），则a2=（）A．1 B．3 C．5 D．7参考答案：B【考点】数列递推式．【分析】由a1=1，an=2an﹣1+1（n≥2），可得an+1=2（an﹣1+1），即{an+1}为首项是2，公比为2的等比数列，从而可求得a2【解答】解：∵an=2an﹣1+1（n≥2），∴an+1=2（an﹣1+1）（n≥2），∴=2，又a1=1，∴a1+1=2，∴{an+1}为首项是2，公比为2的等比数列，∴an+1=2?2n﹣1=2n，∴an=2n﹣1．∴a2=3．故选B．10.数列{an}前n项和为Sn，a1=1，a2=3，且an+2=|an+1﹣an|（n∈N*），则S2015=（）A．1342 B．1344 C．1346 D．1348参考答案：D【考点】数列的求和．【分析】a1=1，a2=3，且an+2=|an+1﹣an|（n∈N*），可得a3=|a2﹣a1|=2，a4=1，a5=1，a6=0，a7=1，a8=1，a9=0，…，可得：从第4项开始为周期数列，其周期T=3．即可得出．【解答】解：∵a1=1，a2=3，且an+2=|an+1﹣an|（n∈N*），∴a3=|a2﹣a1|=2，a4=|a3﹣a2|=1，a5=|a4﹣a3|=1，a6=|a5﹣a4|=0，a7=|a6﹣a5|=1，a8=1，a9=0，…，可得：从第4项开始为周期数列，其周期T=3．∴S2015=a1+a2+a3+（a4+a5+a6）×670+a4+a5=6+2×670+2=1348．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数

▲

．参考答案：12.一个正方体消去一个角所得的几何体的三视图如图所示（图中三个四边形都是边长为3的正方形），则该几何体外接球的表面积为．参考答案：27π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图，可得：该几何体是一个正方体消去一个角，其外接球，即棱长为3的正方体的外接球，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个正方体消去一个角，其外接球，即棱长为3的正方体的外接球，故该几何体外接球的表面积S=3?32π=27π，故答案为：27π13.数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，且，则这个数列前n项和公式Sn=

.参考答案：∵，∴，化简得，，两边同除以得，所以是公差为2的等差数列，其首项，所以，，故答案为.

14.设函数是定义在R上的偶函数，且对于任意的恒有，已知当时,.则

①2是的周期；

②函数在(2，3)上是增函数；

③函数的最大值为l，最小值为0；

④直线x=2是函数图象的一条对称轴．

其中所有正确命题的序号是____________________________.参考答案：略15.甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是

.参考答案：乙16.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是___________参考答案：略17.对于二次函数，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则.其中一定正确的命题是______________.（写出所有正确命题的序号）参考答案：②③三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数为偶函数，且其图象上相邻最高点、最低点间的距离为（1）求函数的表达式（2）若已知，求的值参考答案：解：（1）因为函数为偶函数，所以，设最小正周期为，由题可的得，所以，，所以（2）因为，所以

所以原式=

略19.（14分）已知函数f（x）=（a、b∈R，a、b为常数），且y=f（x）在x=1处切线方程为y=x﹣1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设函数g（x）=f（ex），（i）求g（x）的单调区间；（ii）设h（x）=，k（x）=2h′（x）x2，求证：当x＞0时，k（x）＜+．参考答案：【考点】：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：计算题；证明题；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）先求导f′（x）=；从而由f（1）=ln（1+a）+b=0，f′（1）=﹣[ln（1+a）+b]=1组成方程组求解即可；（Ⅱ）（i）化简g（x）=f（ex）=，再求导g′（x）=，从而由导数确定函数的单调区间；（ii）化简h（x）==，求导h′（x）=，从而化简k（x）=2h′（x）x2=；分别判断与1﹣2xlnx﹣2x的最大值即可证明．解：（Ⅰ）由题意知，f′（x）=；故f（1）=ln（1+a）+b=0，f′（1）=﹣[ln（1+a）+b]=1，解得，a=b=0．（Ⅱ）（i）g（x）=f（ex）=，g′（x）=，则当x＞1时，g′（x）＜0，当x＜1时，g′（x）＞0；故g（x）的单调增区间是（﹣∞，1]，单调减区间是（1，+∞）．（ii）证明：h（x）==，h′（x）=，k（x）=2h′（x）x2=；由（i）知，当x＞0时，∈（0，]，设m（x）=1﹣2xlnx﹣2x，m′（x）=﹣2lnx﹣4=﹣2（lnx+2），故m（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，故mmax（x）=m（）=1+且g（x）与m（x）不于同一点取等号，故k（x）＜（1+）=+．【点评】：本题考查了导数的综合应用及函数的最大值的求法，属于中档题．20.（本小题满分16分）设数列，对任意都有，(其中、、是常数).（1）当，，时，求；（2）当，，时，若，，求数列的通项公式；（3）若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当，，时，设是数列的前项和，，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意，都有，且．若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由．参考答案：21.（本小题满分13分）已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x－)－cos2x(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(Ⅱ)若函数f(x)的图像向左平移m(m>0)个单位后，得到函数g(x)的图像关于y轴对称，求实数m的最小值．参考答案：22.已知函数f（x）=|x2﹣2x+a﹣1|﹣a2﹣2a．（1）当a=3时，求f（x）≥﹣10的解集；（2）若f（x）≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】5B：分段函数的应用；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求出a=3时，f（x）的解析式，去掉绝对值，运用二次不等式的解法，即可得到所求解集；（2）由题意可得|x2﹣2x+a﹣1|﹣a2﹣2a≥0对x∈R恒成立，即有|（x﹣1）2+a﹣2|﹣a2﹣2a≥0对x∈R恒成立．再讨论a﹣2≤0和a﹣2＞0，可得a的不等式，解不等式求交集，即可得到所求a的范围．【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=|x2﹣2x+2|﹣15，由x2﹣2x+2＞0恒成立，则f（x）=x2﹣2x﹣13，