2019-2020学年上海市长宁、嘉定、金山区高三年级一模考试数学试卷

2019-2020学年上海市嘉定区高三年级一模考试数学试卷一.填空题（本大题共有12题，，茜分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相关位置直接填写结果。.已知集合A={1,2,3,4,5},B={1,3,5,7},则Ap]B=【答案】{1,3,5}【解析】本题考察了集合的交集.方程2x=7的解为【答案】x=log27【解析】本题考察了对数的概念.行列式2—1的值为.13【答案】7 2 .1【解析】行列式的化简， =2父3-（-1父1）=713.计算:【答案】【解析】极限化简2n3limvrn,【解析】极限化简2n3limvrn,n123=lim—nn1一n二2.若圆锥的侧面面积为2n,底面面积为冗，则该圆锥的母线长为【答案】2【解析】:底面圆面积为几，,底面半径为1,底面周长为2n,且侧面面积为2n=-lR2R二2二2一2舆二2.己知向量AB=—,上',AC= ,—，则/BAC=22)I2"66【解析】向量的夹角公式cos^=f x1x2―y1y2 =--,，日=二J-xf2 2 6

7.2名女生和3名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法共有种。【答案】72【解析】女生不相邻则采用“插空法”，先排男生共P33种，共四个空位，再从中选两个空位2P4,则共有72种。8.已知点（—2,y）在角的终边上，且tan（n-豆）=2j2,则sina=。【答案】2J3【解析】因为tan（n-a）=2j2,所以tana=-272,因为点（―2,y）在角«的终边上,所以y=4j2,所以r=6,则sina=9.近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工上个月 A、B两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人作为样本，发现样本中 AB两种支付方式都没有使用过的有 5人，使用了A,B两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布情况如下支付金额（元）支、(0,1000](1000,2000]大于2000使用A18人29人23人使用B10人24人21人依据以上数据：若从1公司随机抽取 1名员工，则该员工在上个月 A、B两种支付方式都使用过的概率为, 3【答案】—10c30 3P=一二一10010且aU(b+c),bl_l(a+c),设【解析】使用过A支付方式的人有70人，使用过B支付方式的人有55c30 3P=一二一10010且aU(b+c),bl_l(a+c),设■叫10已知非零向量a.b.c两两不平行支付方式的有40人，只是使用■叫10已知非零向量a.b.c两两不平行c=才yb£x则x,R+【答案】-3【解析】由题意得b+c=ma=b+xa+yb=(1+y)b=(m—x)a;即y=—1,a+c=na=a+xa+yb=(1+x)a=(n—y)b；即x=-1，x+2y=-3

11已知数列{an}满足：a1=1,an+-an€{a1,a2,■■■,an}(nwN*),记数列{an}得前n项和为Sn,若对所有满足条件的数列 {an},S10的最大值为M.最小值为m,则M+m—【答案】1078【解析】a2-a1=4=a?=2,可知{an}一定是单调递增数列，则a〔Wan平一anWan,即1WanMan4E2an,当an*=an+1时，an=n,Sn取最小值此时c(1+10)x10"m=S10= =552当an+=2an时，an=2n",Sn取最大值此时11-210M=S1o= =1023 Mm=10781-212.已知函数f(x)=12.已知函数f(x)=f(x卢m在区间|-,31

,2x+—+a,若对任意实数a,关于x的不等式x上总有解，则实数m的取值范围为【答案】：2,3f(t)=t+a之m在twJ2,10f(t)=t+a之m在twJ2,10।上总有13」即mVtmax；t 2,13°a即mVtmax；t 2,13°a--2时,ft=ta=10f⑴min=』+a之m在, 10 4a之—2上恒成立，即：mW-0—2=—当-10<a<-2时,3ft=+ + 10ta,t -a,-1 3」时,—t—a,t匚2—a)..一..10 ,、,一.f(t)的最大值1+a或-2-a中取到r 10 4即2ftr 10 4即2ftmax--2-a10a=32ft-3,2,m<-综上3m--二23二、选择题(本大题共有4二、选择题(本大题共有4题，，菌分20分，每题答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13.已知xWR,则“x>0”是“x>1”的(5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在【A【A】充分非必要条件【C】充要条件[B]必要非充分条件【D】既非充分又非必要条件【答案】B【解析】小范围推大范围14.下列函数中，值域为（0,十吟【答案】B【解析】小范围推大范围14.下列函数中，值域为（0,十吟的是（1IA1y=2x [B]y=x2 【Qy=lnx【答案】A【D】y=cosx【解析】A的值域（0,+oo）,B的值域0,+s）,c的值域R,D的值域Ll,+ll.已知正方体ABCD—ABiCiDi,点P是棱CG的中点，设直线AB为a,直线AD1为b.对于下列两个命题： ①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有一条直线l与a、b所成的角都为451以下判断正确的是（）[A]①为真命题，②为真命题；[B]①为真命题，②为假命题；[C]①为假命题，②为真命题；[D]①为假命题，②为假命题；【答案】B【解析】异面直线夹角问题， a、b夹角为901则过点P与所有角为45二的有两条..某港口某天0时至24时的水深y（米）随时间x（时）变化曲线近似满足如下函数模型：五y=0.5sin（0nx+—）+3.24.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为36米，则该港口该天水最深的时刻不可能为 （）[A]16时 【B】17时 【C】18时 【D】19时【答案】Dn JT【解析】①y=0.5sin（^nx+—）+3.24,3=0.5sin（6nx+—）+3.24TOC\o"1-5"\h\z6 624 .,二、-0.24=0.5sin（■二x—） sin（■二x一）6 50 6②利用数形结合。三、解答题(本大题共有5题，？t分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。17、(本题满分14分，第一小题满分6分，第二小问满分8分)如图，底面为矩形的直棱柱ABCD—A1B1clD1满足：AA1=4,AD=3,CD=2。求直线AC和平面AADD所成的角的大小；设M、N分别为棱BB1、CD上的动点，求证：三棱锥N-A1AM的体积V为定值,并求出该值。2【答案】(1)0=arctan- (2)定值，V=45【解析】(1)由直棱柱知AA1.LABCD,所以AA.LCD又因为AD_LCD,所以直线CD_LAA1D1D所以/CA〔D即直线ACAA1D1D与平面的所成角e2由题意AiD-5,CD=2,所以tanu=一52所以直线AC与平面AAD1D的所成角8=arctan—5(2)记点N到平面AiAM的距离d为三角形AiAM的面积为S&am,… 1则V=Vn”1AM=-d'S/am,由已知d=3,S&am=4,所以V=4为定值18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在复平面内复数4、Z2所对应的点为Z「Z18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在复平面内复数4、Z2所对应的点为Z「Z2,O为坐标原点，i是虚数单位.14=12i,Z2=3-4i,计算4马与。乙OZ2;(2)设4=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dwR)求证：OZ1OZ2OZ2满足什么条件时取等号【答案】(1)4Z2=11+2i,OZ1OZ2=-5【解析】1Z2=12i3-4i=112iOZi=(1,2),OZ2=(3,-4),所以OZiOZ2=-5(2麻明：0乙=3,b),OZ2=(c,d),。乙OZ2=ab+cdZ1Z22=(ac-bd2+(ad-bc2,<|Z1马，并指出向量OZ1、OZ1近2=(ab+cd2乙z2-OZ1OZ2=(ab—cd)之019.（本题满分14分，第一小题如图，某城市有一矩形街心广场形水池DMN种植荷花，其中M.tan(-CDM.ADN)=-1=7=14所以OZ1OZ2W4马，当ab=cd时取等，此时OZJ/OZ26分，第二小题8分）ABCD,其中AB=4百米，BC=3百米。现将挖掘一个三角点在BC边上，N点在AB边上，要求ZMDN=:.（1）若AN=CM=2百米，判断iDMN是否符合要求，并说明理由；（2）设ZCDM二日，求iDMN的面积S关于日的表达式，并求出S的最小值。【答案】（1）不符合（2）见解析【考点】函数应用【解析】（1）21tan(/CDM)=-=-,tan(ZADN)Zmdn=一4所以^DMN不符合要求。

RtMCD中，DM3TTcos(_一f4S」21.S=—2DNDMsin—43、2212.2sin(2，一)一1RtMCD中，DM3TTcos(_一f4S」21.S=—2DNDMsin—43、2212.2sin(2，一)一1412当9——时，Smin—8 ' U2+1二12、2-1220.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)已知数2an2成等差数列.⑴写出a1、a2>a32an2成等差数列.(2)证明彳^在(1)中猜想的结论;......_.—•一 一一…… -.*・・(3)设bn=tan-1(t>0),Tn为数列｛bn｝的前n项和.若对于任意n=N，者B有Tn『｛bm|muN｝,求实数t的值.* . . 1【答案】(1)a1=1,a2=2,a3=3,猜想an=n,nuN(2)证明他(3)t=—2【解析】(1)：an，Sn，an2成等差数列二烝+a"夕Sn1al,a[=2sl=2a分别令n=1,2,3,有伯2+a22=2S2=2(a1+a2) 又｛烝｝各项均为正数2 一，. . 、a3+a3=20=2(a1+a2*a3)J解得a1=1, a2=2, a3=3 因此猜想｛an｝的通项公式为an=n,n=N(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的结论：①当n=1时，a1=1符合结论；②假设当n=k,kwN时，有ak=k，则Sk —如"2k(k1)则ak1ak12=2Sk1=2(Skakd)=k(k1)-2akk(k1)即(ak++k)[ak+—(k+1)]=0又｛an｝各项均为正数 二a#=k+1即当n=k+1时也满足结论综上所述，(1)中猜想的结论｛an｝的通项公式为an=n,neN成立⑶依题意得：bn=tn-1(t>0)一(t-1tn-1)n则Tn=( )-=tm-1=bm对于任意nwN都有mwN使其成立化简彳导:m二的….上12tnn(n1)n*mN*n-1N.1ZTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 t又m至1当n=1时，m=1成立；当n至2时，有n(n+1)_tll312t2 2 1 1化简彳导:t 又，2-在n=2时取得最大值1 -t>1n2n2 2 21 1 1又-wz/"=—或1经检验得：t=—或1都符合条件t 2 221.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)已知函数f(x)=xx—a,其中a为常数.(1)当a=1时，解不等式f(x)父2;(2)已知g(x)是以为2为周期的偶函数，且当0£乂〈1时，有9J)="*).若2<0,且,3、 5一一 g(-)=-,求函数y=g(x)(xw[1,2])的反函数；2 4*、(3)若在[0,2]上存在n个不同的点xi(i=1,2,|||,n,n>4,n-N),x〔ex?<111<xn,使得f(xj—f(x2)+|f(x2)-f(x3)|+IH+|.f(xn_L)-f(xn)=8,求实数a的取值范围.【答案】(1)(-二，-2)(2)y=3-、xi(x[0,3]) (3)(-二—二)【解析】(1)依题意得：xx—1|<2当x之1时，x2-x-2<0,即1Mx<2当x<1时，x2—x+2>0,即x<1综上，该不等式的解集为(-二，-2)(2)当0MxW1时，g(x)=xx—a又g(x)是以为2为周期的偶函数3 1 111 5 八…八，:g(一)=g(——)=g(—)=———a=一又a<0贝“a=-2”'2' 2"'2'22 4二f(X1)-f(X2)+f(X2)—f(X3