河北省衡水中学2023届高三第二次模拟考试数学理答案

2023～2023学年度高三年级二模考试数学试卷（理科）4.【考察目标】考察向量的概念、向量的几何意义，以及平面向量的线性运算和向量的数量积的运算及其几何意义，考察学生运用平面向量处理有关长度、角度问题的能力，考察数形结合的数学思想。【解题思路】解法1：，解法2：数形结合方法【答案】B5.【考察目标】本题考查双曲线的概念，标准方程和几何性质，综合考察运算求解能力。【解题思路】解法1：设，则解法2：,根据双曲线的定义知，【答案】A6．【考察目标】考察学生运用二项式定理解决与二项展开式系数有关问题的能力【解题思路】解：因为(x＋)n展开式的二项式系数之和为64，即为2n=64,n=6,那么展开式中常数项就是x的幂指数为0的项，即为20.【答案】B7.【考察目标】考察分类计数原理和分步计数原理，以及运用其解决简单的实际问题的能力，设置A为四元素集，减少分类的类型，把两个原理的考察放在了中心位置。【解题思路】解法1：当时，则都可以，共4种；当时，则即，则，，共2种；当时，则即，则，共2种当时，则即，则，共1种；【答案】C8.【考察目标】考查定积分的基本思想和微积分的基本定理的含义，考察考生运用数学知识解决实际问题的能力。【解题思路】.以O为圆心，以OD为y轴建立直角坐标系，抛物线的方程为，.【答案】C9.【考察目标】考察三角函数的图像和性质，了解三角函数的周期性。【解题思路】将y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后为，所以有=2k,即，又因为，所以k≥1,故≥，【答案】C10.【考察目标】考察抛物线的概念，标准方程和几何性质，考察数形结合思想，考察圆锥曲线的简单运用。【解题思路】解法一：点P在抛物线上，设,则有=，化简得,当时,符合题意；当时，∆=0,有,，则。解法二：由题意有点P在抛物线上，B在直线y=2上,当时,B为直线y=2与准线的交点，符合题意；当时，B为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，【答案】D11.【考察目标】考察学生对空间结合体的结构特征，考察考生空间想象能力。【解题思路】过圆心做一个平面和三条线相交于三点M，N，K，则P-MNK构成了一个正四面体。设PM=a,则，，在中，运用面积法，可得,故，故，故【答案】B12.【考察目标】考察学生运用函数的图像分析函数图像和性质的能力，考察数形结合的能力。【解题思路】解：的图象为椭圆上半部分，的图象为两条线段根据的周期T=4可知其图象，由方程恰有5个实数解，则有两解即有两解，所以解得；无解即无解，所以解得。故【答案】B13.【考察目标】考察二倍角公式，同角基本关系式，考查恒等变形的能力【解答过程】=【答案】14.【考察目标】本试题主要考查了线性规划的最优解问题的运用。【解题思路】根据已知线性约束条件可知，不等式组表示的平面区域为下图所示，线性目标函数，那么过点（1,1）取得最大值为10，因此只要满足且；因此可以为。【答案】（若为线性目标函数，只要满足且15.【考察目标】考察考察简单组合体的结构特征，考察三视图的概念和识别三视图所表示的结合体的方法，考察学生空间想象能力。【解答过程】由三视图可知原图是一个四棱锥。【答案】16.【考察目标】考察等差数列概念，通项公式，前n项和公式，考察错位想减求和。【解题思路】解法1：运用线性规划的知识可得整数点，解法2：运用不等式的知识可得，解法3：猜测也可以【答案】17.解（Ⅰ）由分组内的频数是，频率是知，，所以.………………1分因为频数之和为，所以，.………………2分.………………3分因为是对应分组的频率与组距的商，所以.……………4分（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人.………6分（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，设在区间内的人为，在区间内的人为.则任选人共有，15种情况，而两人都在内只能是一种，………………8分所以所求概率为.（约为）………………10分18.解：⑴又∵为锐角∴∴…………5分（2）∵，∴∵∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列。可得，∴，…………9分∴…………12分19.【方法一】（1）证明：由题意知则（4分）（2）∵∥，又平面.∴平面平面.过作//交于过点作交于,则∠为直线与平面所成的角.在Rt△中，∠，∴，∴∠.即直线与平面所成角为（8分）（3）连结，∵∥，∴∥平面.又∵∥平面，∴平面∥平面，∴∥.又∵∴∴，即（12分）【方法二】如图，在平面ABCD内过D作直线DF//AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.（1）设，则，∵，∴（4分）（2）由（1）知.由条件知A（1，0，0），B（1，，0），.设则即直线为.（8分）（3）由（2）知C（－3，，0），记P（0，0，a），则，，，，而，所以，=设为平面PAB的法向量，则，即，即.进而得，由,得∴（12分）20.解：（Ⅰ）解法1：由抛物线方程，得焦点，………1分故①又椭圆经过点，∴②由①②消去并整理，得，，解得，或（舍去），从而．故椭圆的方程为．……………4分解法2：由抛物线方程，得焦点，故椭圆的方程为．……………4分,所以，……………8分由得显然，该方程有两个不等的实数根．设，.,由抛物线的定义，得……………10分综上，当直线l垂直于轴时，取得最大值.……………12分21.解：（Ⅰ），椭圆方程为……2分准圆方程为。…………3分（Ⅱ）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，当方程为时，此时与准圆交于点，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），即为（或），显然直线垂直；同理可证方程为时，直线垂直.…………6分②当都有斜率时，设点，其中.设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，则消去，得.由化简整理得：.…………8分因为，所以有.设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，所以满足上述方程，所以，即垂直.