河北省2023年中考数学总复习-精讲试题-第一编教材知识梳理篇第2章方程组与不等式组第3节分式方程及应用

第三节分式方程及应用河北五年中考命题规律年份题号考查点考查内容分值总分202313分式方程用分式方程的形式考查分式计算22202312列分式方程以选择题的形式考查学生根据实际问题列出分式方程的能力222023、2023年未考查20237分式方程的实际应用以修路为背景、考查分式方程的应用33命题规律纵观河北近五年中考、分式方程的解法考查了1次、分式方程的应用考查了2次、在分式方程及应用考点中、最多设1道题、分值2～8分．题型有选择、解答题两种、难度不大.河北五年中考真题及模拟解分式方程1．(2023河北中考)若eq\f(3－2x,x－1)＝________＋eq\f(1,x－1)、则________中的数是(B)A．－1B．－2C．－3D分式方程的实际应用2．(2023河北中考)在求3x的倒数的值时、嘉淇同学将3x看成了8x、她求得的值比正确答案小5.依上述情形、所列关系式成立的是(B)A.eq\f(1,3x)＝eq\f(1,8x)－5B.eq\f(1,3x)＝eq\f(1,8x)＋5C.eq\f(1,3x)＝8x－5D.eq\f(1,3x)＝8x＋53．(2023河北中考)甲队修路120m与乙队修路100m所用天数相同、已知甲队比乙队每天多修10m、设甲队每天修路xm．依题意、下面所列方程正确的是(A)A.eq\f(120,x)＝eq\f(100,x－10)B.eq\f(120,x)＝eq\f(100,x＋10)C.eq\f(120,x－10)＝eq\f(100,x)D.eq\f(120,x＋10)＝eq\f(100,x)4．(2023邯郸二十五中模拟)端午节前夕、小东的父母准备购买若干个粽子和咸鸭蛋(每个粽子的价格相同、每个咸鸭蛋的价格相同)．已知粽子的价格比咸鸭蛋的价格贵1.8元、花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同．粽子与咸鸭蛋的价格各是多少？解：设咸鸭蛋的价格是x元、则粽子的价格是(x＋1.8)元．依题意、得eq\f(30,x＋1.8)＝eq\f(12,x).解得x＝1.2、经检验、x＝1.2是原方程的解．∴x＋1.8＝3.答：粽子与咸鸭蛋的价格分别是3元和1.2元．,中考考点清单分式方程的概念1．分母中含有__未知数__的方程叫做分式方程．【温馨提示】“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别、也是判断一个方程是否为分式方程的依据．分式方程的解法2．解法步骤：(1)去分母：将方程两边都乘以__最简公分母__、把它化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)__检验__．【温馨提示】找最简公分母的方法：(1)取各分式的分母中各项系数的最小公倍数；(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；(3)利用字母(或因式)的幂取指数最大的；(4)所得的系数的最小公倍数与各个字母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．3．检验方法：(1)利用方程的解的概念进行检验；(2)将解得的整式方程的根代入__最简公分母__、看计算结果__是否为0__、不为0就是原方程的根；若为0、则为增根、必须舍去；(3)增根：当分母的值为0时、分式方程__无解__、这样的根叫做分式方程的__增根__．【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一个概念、分式方程无解、可能是解为增根、也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根、也是使分式方程的分母为0的根．分式方程的应用4．列分式方程解应用题的六个步骤：(1)审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系；(2)设：设未知数、根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；(3)列：根据等量关系、列出方程；(4)解：求出所列方程的解；(5)验：双检验．①检验是否是分式方程的解；②检验解是否符合题意；(6)答：写出答案．5．常见关系：分式方程的应用题主要涉及工作量问题、行程问题等、每个问题中涉及三个量的关系．如：工作时间＝__eq\f(工作量,工作效率)__、时间＝__eq\f(路程,速度)__．【方法点拨】列分式方程解应用题时、要验根作答、不但要检验是否为方程的增根、还要检验是否符合题意、即“双重验根”．,中考重难点突破分式方程的解法【例1】小明解方程eq\f(1,x)－eq\f(x－2,x)＝1的过程如图．解：方程两边同乘x、得1－(x－2)＝1.①去括号、得1－x－2＝1.②合并同类项、得－x－1＝1.③移项、得－x＝2.④解得x＝－2.⑤∴原方程的解为x＝－2.⑥请指出他解答过程中的错误．并写出正确的解答过程．【解析】本题考查了分式方程的解法、注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”、把分式方程转化为整式方程求解、注意、去分母时切勿漏乘；(2)解分式方程一定要验根．【答案】解：小明的解法有三处错误．步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥少检验．正确解法为：方程两边同乘x、得1－(x－2)＝x.去括号、得1－x＋2＝x.移项、得－x－x＝－1－2.合并同类项、得－2x＝－3.系数化为1、得x＝eq\f(3,2).经检验、x＝eq\f(3,2)是分式方程的解．1．(2023陕西中考)分式方程eq\f(1,x＋1)＝eq\f(1,2x)的解是(A)A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－22．分式方程eq\f(4,x)＝eq\f(3,x－1)的解是__x＝4__．含参数的分式方程【例2】(巴中中考)若分式方程eq\f(x,x－1)－eq\f(m,1－x)＝2有增根、则这个增根是________．【解析】本题主要考查了增根的概念：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根、由分母x－1＝0、得x＝1、这就是方程的增根．(1)增根的求法：令最简公分母为0得到关于未知数的一元一次方程、解方程求得的解即为增根；(2)求有增根的分式方程中参数的值、应先求出可能的增根、再将其代入化简后的整式方程、求解关于参数的方程即可．【答案】x＝13．(2023济宁中考)若关于x的分式方程eq\f(2,x－3)＋eq\f(x＋m,3－x)＝2有增根、则m的值是(A)A．m＝－1B．m＝0C．m＝3D．m＝0或m＝34．(2023石家庄新华模拟)若关于x的分式方程eq\f(m＋2,x－1)＝1的解为正数、则m的取值范围是(D)A．m>3B．m≠－2C．m>－3且m≠1D．m>－3且m≠－25．已知方程eq\f(1,x－1)＝1的解是k、求关于x的方程x2＋kx＝0的解．解：由eq\f(1,x－1)＝1、解得x＝2、经检验x＝2是原方程的解、∴k＝2、∴x2＋2x＝0、解得x1＝0、x2＝－2.6．已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))是二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx＋ny＝8，,nx－my＝1))的解、求方程eq\f(m,2x－4)－eq\f(x,x－2)＝eq\f(1,n)的解．解：将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))代入方程组、得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝8，,2n－m＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝2，))将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝2，))代入所求方程、得eq\f(3,2x－4)－eq\f(x,x－2)＝eq\f(1,2)、去分母、得3－2x＝x－2、解得x＝eq\f(5,3)、经检验、x＝eq\f(5,3)是原分式方程的解．分式方程的应用【例3】(2023丹东中考)从甲市到乙市乘坐高速列车的路程为180km、乘坐普通列车的路程为240km.高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍．高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2h【解析】抓住等量关系t高速＝t普－2用代数式表达好相应的量即可．【答案】解：设高速列车平均速度为3xkm/h、普通列车平均速度为xkm/h.依题意、得eq\f(240,x)－2＝eq\f(180,3x)、去分母、得240－2x＝60、解得x＝90、∴3x＝90×3＝270.答：高速列车的平均速度是每小时270km7．(2023石家庄四十三中一模)甲种污水处理器处理25t的污水与乙种污水处理器处理35t的污水所用时间相同、已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20t的污水、求两种污水处理器的污水处理效率．设甲种污水处理器的污水处理效率为xt/h、依题意列方程正确的是(B)A.eq\f(25,x)＝eq\f(35,x－20)B.eq\f(25,x)＝eq\f(35,x＋20)C.eq\f(25,x－20)＝eq\f(35,x)D.eq\f(25,x＋20)＝eq\f(35,x)8．(2023沧州中考模拟)甲、乙两人做某种机器零件．已知甲每小时比乙多做6个、甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做多少个．设甲每小时做x个零件、则列出的方程为__eq\f(90,x)＝eq\f(60,x－6)__．9．甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗、甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等、甲、乙每小时各做多少面彩旗？解：设乙每小时做x面彩旗、则甲每小时做(x＋5)面彩旗．依题意、得eq\f(60,x＋5)＝eq\f(50,x)、解得x＝25.经检验、x＝25是原方程的解．x＋5＝25＋5＝30.答：甲每小时做30面彩旗、乙每小时做25面彩旗．10．“