2023数学二轮基本内容十大攻略第01讲-集合的概念与运算技巧

第一讲集合的概念与运算技巧【命题趋向】1．高考试题通过选择题和填空题，以及大题的解集，全面考查集合与简易逻辑的知识，题型新，分值稳定．一般占5---10分．2．简易逻辑一局部的内容在近两年的高考试题有所出现，应引起注意．【考点透视】1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.2．了解空集和全集的意义.3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.5．注意空集的特殊性，在解题中，假设未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,那么有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论.【例题解析】题型1．正确理解和运用集合概念理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.例1.集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，那么M∩N=〔〕A．〔0，1〕，〔1，2〕B．{〔0，1〕，〔1，2〕}C．{y|y=1,或y=2}D．{y|y≥1}思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D．点评：①此题求M∩N，经常发生解方程组从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而无视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．例2.假设P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，那么P∩Q等于〔〕A．PB．QC．D．不知道思路启迪：类似上题知P集合是y=x2〔x∈R〕的值域集合，同样Q集合是y=x2＋1〔x∈R〕的值域集合，这样P∩Q意义就明确了．解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y=x2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知QP，即P∩Q=Q．∴应选B．例3.假设P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，那么必有〔〕A．P∩Q=B．PQC．P=QD．PQ思路启迪：有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物．解：正确解法应为：P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此P∩Q=．∴应选A．例4〔2007年安徽卷文〕假设，那么= 〔〕A．{3} B．{1} C． D．{－1}思路启迪：解：应选D．点评：解此类题应先确定集合．题型2．集合元素的互异性集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．例5.假设A={2，4,3－22－＋7},B={1,＋1,2－2＋2,－(2－3－8),3＋2＋3＋7}，且A∩B={2，5}，那么实数的值是________．解答启迪：∵A∩B={2，5}，∴3－22－＋7=5,由此求得=2或=±1．A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．当=1时，2－2＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1．当=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去=－1．当=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．故=2为所求．例6.集合A={,＋b,＋2b}，B={,c,c2}．假设A=B，那么c的值是______．思路启迪：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素确实定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．〔1〕假设＋b=c且＋2b=c2，消去b得：＋c2－2c=0，=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．〔2〕假设＋b=c2且＋2b=c，消去b得：2c2－c－=0，∵≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正．例7.集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－x＋－1=0}，且A∪B=A，那么的值为______．思路启迪：由A∪B=A而推出B有四种可能，进而求出的值．解：∵A∪B=A，∵A={1，2}，∴B=或B={1}或B={2}或B={1，2}．假设B=，那么令△<0得∈；假设B={1}，那么令△=0得=2，此时1是方程的根；假设B={2}，那么令△=0得=2，此时2不是方程的根，∴∈；假设B={1，2}那么令△>0得∈R且≠2，把x=1代入方程得∈R，把x=2代入方程得=3．综上的值为2或3．点评：此题不能直接写出B={1，－1}，因为－1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．题型3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明〔判断〕两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．例8.设集合A={|=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，那么集合A、B的关系是________．解：任设∈A，那么=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)，∴n∈Z,∴n＋1∈Z.∴∈B,故．①又任设b∈B，那么b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z),∵k∈Z,∴k－1∈Z.∴b∈A，故②由①、②知A=B．点评：这里说明∈B或b∈A的过程中，关键是先要变〔或凑〕出形式，然后再推理．例9〔2006年江苏卷〕假设A、B、C为三个集合，，那么一定有〔〕A.B.C.D.[考查目的]此题主要考查集合间关系的运算.解：由知，，应选A.〔2007年福建卷文〕全集，且，，那么等于〔C〕 A．{2} B．{5} C．{3，4} D．{2，3，4，5}例10．〔2006年辽宁卷〕设集合,那么满足的集合B的个数是〔〕A.1B.3C.4D.8[考查目的]此题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想.解：，，那么集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个.应选C.例11．〔2007年北京卷文〕记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．〔=1\*ROMANI〕假设，求；〔=2\*ROMANII〕假设，求正数的取值范围．思路启迪：先解不等式求得集合和．解：〔=1\*ROMANI〕由，得．〔=2\*ROMANII〕．由，得，又，所以，即的取值范围是．题型4.要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被无视的，从而引发解题失误．例12.A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x－2=0}且A∪B=A，那么实数组成的集合C是________．解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，=2，当x=2时，=1．这个结果是不完整的，上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A，当=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．例13．〔2007年北京卷理〕集合，．假设，那么实数的取值范围是．思路启迪：先确定集合A和B．解：故实数的取值范围是．例14.集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，假设A∩=，那么实数m的取值范围是_________．思路启迪：从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围．解：由A∩=又方程x2＋(m＋2)x＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，或△=(m＋2)2－4<0．解得m≥0或－4<m<0，即m>－4．点评：此题容易发生的错误是由A∩=只片面地推出方程只有两个负根〔因为两根之积为1，因为方程无零根〕，而把A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言．例15.集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．假设BA，那么实数p的取值范围是________．解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．欲使BA，只须∴p的取值范围是－3≤p≤3．上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．应有：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2．由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴2≤p≤3.②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2．由①、②得：p≤3．点评：从以上解容许看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易无视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．题型5．要注意利用数形结合解集合问题集合问题大都比拟抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．例16.设全集U={x|0<x<10,x∈N*}，假设A∩B={3}，A∩CUB={1，5，7}，CUA∩CUB={9}，那么集合A、B是________．思路启迪：此题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出．解：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．例17.集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B．解：∵A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3，或x>0}．如下图，∴A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R．A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或0<x≤1}．点评：此题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果．例18.设A={x|－2<x<－1，或x>1}，B={x|x2＋x＋b≤0}，A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1<x≤3}，求、b的值．思路启迪：可在数轴上画出图形，利用图形分析解答．解：如下图，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1<x<3}，才能使A∪B={x|x>－2}，且A∩B={x|1<x≤3}．根据二次不等式与二次方程的关系，可知－1与3是方程x2＋x＋b=0的两根，∴=－(－1＋3)=－2，b=(－1)×3=－3．点评：类似此题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果．【专题训练与高考预测】一.选择题:1．设M={x|x2+x+2=0}，=lg(lg10)，那么{}与M的关系是〔〕A、{}=M B、M{}C、{}M D、M{}2．全集=R，A={x|x-|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=，那么的取值范围是〔〕[0，2] B、〔-2，2〕 C、〔0，2] D、〔0，2〕3．集合M={x|x=2-3+2，∈R}，N={x|x=b2-b，b∈R}，那么M，N的关系是〔〕MNB、MNC、M=N D、不确定4．设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，那么A∪B中的元素个数是〔〕A、11B、10C、16 D、155．集合M={1，2，3，4，5}的子集是〔〕A、15B、16C、31 D、326集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=,k∈Z},那么()AM=N BMN CMN DM∩N=7.集合A={x|x2－4mx＋2m＋6=0,x∈R}，假设A∩R－≠，求实数m的取值范围．8．命题甲：方程x2＋mx＋1=0有两个相异负根；命题乙：方程4x2＋4(m－2)x＋1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m的取值范围．9集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m－1}且B≠,假设A∪B=A，那么()A－3≤m≤4 B－3<m<4C2<m<4 D2<m≤410．集合M=，且.那么实数a的取值范围是()A.a-1B.a1C.a-1D.a111．满足｛，b｝M=｛，b，c，d｝的所有集合M的个数是〔〕A.7B.6C.5D.412．假设命题P：xAB，那么P是〔〕A.xABB.xA或xBC.xA且xBD.xAB13．集合M=｛,｝.P=｛-,2-1｝；假设card(MP)=3，那么MP=()A.｛-1｝B.｛1｝C.｛0｝D.｛3｝14．设集合P=｛3,4,5｝.Q=｛4,5,6,7｝.令P*Q=，那么P*Q中元素的个数是()A.3B.7C.10D.12二．填空题：15．M={}，N={x|，那么M∩N=__________.16．非空集合p满足以下两个条件：〔1〕p{1，2，3，4，5}，〔2〕假设元素∈p，那么6-∈p，那么集合p个数是__________.17．设A=｛1，2｝，B=｛x｜xA｝假设用列举法表示，那么集合B是.18．含有三个实数的集合可表示为，那么．三．解答题：19．设集合A={(x，y)|y=x+1}，B={(x，y)|y=|x|}，假设A∩B是单元素集合，求取值范围.20.设A={x|x2+px+q=0}≠，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，假设A∩M=，A∩N=A，求p、q的值.21．集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N．22．集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围．23．全集=R，且，求.24．集合,且，，求,b的值.【参考答案】1．C2.A3.C4.C5.D6.C解析对M将k分成两类k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z},对N将k分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}7．解：设全集={m|△=(－4m)2－4(2m＋6)≥0}={m|m≤－1或m≥}．假设方