第9讲 带电粒子在电磁场中的运动（原卷版）

专题三电场与磁场第9讲带电粒子在电磁场中的运动1.（2021·全国乙卷）（多选）四个带电粒子的电荷量和质量分别、、、它们先后以相同的速度从坐标原点沿x轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与y轴平行，不计重力，下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是（）A.B.C.D.2.（2021·全国乙卷）如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为的带电粒子从圆周上的M点沿直径方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为，离开磁场时速度方向偏转；若射入磁场时的速度大小为，离开磁场时速度方向偏转，不计重力，则为（）A． B． C． D．3.（2021·广东卷）如图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能从圆b上P点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取。（1）当时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能；（2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值。4.（2021·湖南卷）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流（每个粒子的质量为、电荷量为）以初速度垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在平面内的粒子，求解以下问题。（1）如图（a），宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入圆心为、半径为的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点，求该磁场磁感应强度的大小；（2）如图（a），虚线框为边长等于的正方形，其几何中心位于。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到点的带电粒子流经过该区域后宽度变为，并沿轴正方向射出。求该磁场磁感应强度的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）；（3）如图（b），虛线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为，并沿轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。带电粒子在电场中的运动1．带电粒子在电场中的运动2．带电粒子在电场中的运动问题的解题思路(1)首先分析粒子的运动规律，区分是在电场中的直线运动还是曲线运动问题．(2)对于直线运动问题，可根据对粒子的受力分析与运动分析，从以下两种途径进行处理①如果是带电粒子在恒定电场力作用下做直线运动的问题，应用牛顿第二定律找出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度、位移等.②如果是非匀强电场中的直线运动，一般利用动能定理研究全过程中能的转化，研究带电粒子的速度变化、运动的位移等．(3)对于曲线运动问题，一般是类平抛运动模型，通常采用运动的合成与分解方法处理．通过对带电粒子的受力分析和运动规律分析，应用动力学方法或功能方法求解．3．解题途径的选择(1)求解带电粒子在匀强电场中的运动时，运动和力、功能关系两个途径都适用，选择依据是题给条件，当不涉及时间时选择功能关系，否则必须选择运动和力．(2)带电粒子在非匀强电场中运动时，加速度不断变化，只能选择功能关系求解．例题1.如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运动到N的过程()A.动能增加eq\f(1,2)mv2 B.机械能增加2mv2C.重力势能增加eq\f(3,2)mv2 D.电势能增加2mv2夯实成果练1.（多选）如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，由此可知()A.带电粒子在R点时的速度大于在Q点时的速度大小B.带电粒子在P点时的电势能比在Q点时的电势能大C.带电粒子在R点时的动能与电势能之和比在Q点时的小，比在P点时的大D.带电粒子在R点时的加速度大于在Q点时的加速度大小例题2.(多选)如图所示，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从MN连线上的P点水平向右射入电场强度大小为E、方向竖直向下的匀强电场中。已知MN与水平方向成45°角，粒子的重力可以忽略，则粒子到达MN连线上的某点时()A.所用时间为eq\f(mv0,qE)B.速度大小为3v0C.与P点的距离为eq\f(2\r(2)mveq\o\al(2,0),qE)D.速度方向与竖直方向的夹角为30°夯实成果练2.某书中有如图所示的图，用来表示横截面是“<”形导体右侧的电场线和等势面，其中a、b是同一条实线上的两点，c是另一条实线上的一点，d是导体尖角右侧表面附近的一点．下列说法正确的是()A．实线表示电场线B．离d点最近的导体表面电荷密度最大C．“<”形导体右侧表面附近电场强度方向均相同D．电荷从a点到c点再到b点电场力做功一定为零带电粒子在有界磁场中的运动1．基本思路(1)画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹．(2)找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间和周期相联系．(3)用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式．2．临界问题(1)解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系．(2)粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切．例题3.如图，在0≤x≤h，－∞<y<＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调，方向不变。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力。(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm；(2)如果磁感应强度大小为eq\f(Bm,2)，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离。夯实成果练3.如图甲所示，有界匀强磁场Ⅰ的宽度与图乙所示圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一不计重力的粒子从左边界的M点以一定初速度水平向右垂直射入磁场Ⅰ，从右边界射出时速度方向偏转了θ角；该粒子以同样的初速度沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了2θ角．已知磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小分别为B1、B2，则B1与B2的比值为 ()A．2cosθ B．sinθC．cosθ D．tanθ例题4.（多选）如图所示，等腰直角三角形abc区域内（包含边界）有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，在bc的中点O处有一粒子源，可沿与ba平行的方向发射大量速率不同的同种粒子，这些粒子带负电，质量为m，电荷量为q，已知这些粒子都能从ab边离开abc区域，ab=2l，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用。关于这些粒子，下列说法正确的是A．速度的最大值为B．速度的最小值为C．在磁场中运动的最短时间为D．在磁场中运动的最长时间为夯实成果练4.（多选）如图所示，正方形abcd区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，甲、乙两带电粒子从a点沿与ab成30°角的方向垂直射入磁场．甲粒子垂直于bc边离开磁场，乙粒子从ad边的中点离开磁场．已知甲、乙两a带电粒子的电荷量之比为1:2，质量之比为1:2，不计粒子重力．以下判断正确的是A．甲粒子带负电，乙粒子带正电B．甲粒子的动能是乙粒子动能的16倍C．甲粒子所受洛伦兹力是乙粒子所受洛伦兹力的2倍D．甲粒子在磁场中的运动时间是乙粒子在磁场中运动时间的倍带电粒子（体）在复合场中的运动1．受力分析，关注几场叠加：(1)磁场、重力场并存，受重力和洛伦兹力；(2)电场、磁场并存(不计重力的微观粒子)，受电场力和洛伦兹力；(3)电场、磁场、重力场并存，受电场力、洛伦兹力和重力．2．运动分析，典型运动模型构建：带电体受力平衡，做匀速直线运动；带电体受力恒定，做匀变速直线运动；带电体受力大小恒定且方向指向圆心，做匀速圆周运动，带电体受力方向变化复杂，做曲线运动等．3．选用规律，两种观点解题：(1)带电体做匀速直线运动，则用平衡条件求解(即二力或三力平衡)；(2)带电体做匀速圆周运动，应用向心力公式或匀速圆周运动的规律求解；(3)带电体做匀变速直线或曲线运动，应用牛顿运动定律和运动学公式求解；(4)带电体做复杂的曲线运动，应用能量守恒定律或动能定理求解．例题5.(多选)如图所示，竖直平行金属板M、N上加有电压U，N板的右侧有正交的匀强电场和匀强磁场，匀强电场方向竖直向下、电场强度大小为E，匀强磁场方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B。在M板附近有一粒子源，释放初速度为零的带电粒子，这些粒子经电场加速后进入正交的电、磁场中，都恰能做匀速直线运动，不计粒子的重力和粒子间的相互影响，下列判断正确的是()A.粒子做匀速运动的速度大小为eq\f(B,E)B.所有粒子的电荷量一定相同C.所有粒子的比荷一定相同D.将N板向左平移一些，粒子在电、磁场中仍能做直线运动夯实成果练5.在如图所示的平面直角坐标系xOy中，第一象限有竖直向下的匀强电场，第三、四象限有垂直于纸面向外、磁感应强度大小不同的匀强磁场．一质量为m、电量为＋q的带电粒子沿x轴正向以初速度v0从A(0，1.5l)点射入第一象限，偏转后打到x轴上的C(eq\r(3)l，0)点．已知第四象限匀强磁场的磁感应强度大小为eq\f(mv0,ql)，不计粒子重力．(1)求第一象限匀强电场的电场强度大小；(2)若第三象限匀强磁场的磁感应强度大小为eq\f(2mv0,ql)，求粒子从C点运动到P(0，－3l)点所用的时间；(3)为使从C点射入磁场的粒子经过第三象限偏转后直接回到A点，求第三象限磁场的磁感应强度大小．例题6.如图所示，一个带正电的小球沿光滑的水平绝缘桌面向右运动，速度的方向垂直于水平方向的匀强磁场，小球飞离桌子边缘进入磁场，最后落到地板上，设其飞行时间为t1，水平射程为s1，落地动能为Ek1，落地速率为v1。撤去磁场，其余条件不变，小球飞行时间为t2，水平射程为s2，落地动能为Ek2，落地速率为v2。不计空起阻力，则（）A．t1＜t2 B．s1＞s2C．v1＜v2 D．Ek1＞Ek2夯实成果练6.（多选）如图所示，在y>0的区域内存在两个匀强磁场。以坐标原点O为圆心，半径为R的半圆形区域内磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B2；其余区域的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小B1。一比荷为k的带电粒子在加速电场的下极板处无初速释放，经加速后从坐标为（-2R，0）的a点进入磁场，又从坐标为（2R，0）的b点离开磁场，且粒子经过各磁场边界时的速度方向均与该边界线垂直。不计粒子的重力，且不用考虑粒子多次进入B2磁场的情况，则加速电场的电压大小可能为（）A． B．C． D．电磁场与现代科技速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、回旋加速器、霍尔效应这些都是带电粒子在复合场中的运动实例，这类问题模型成熟固定，要求熟悉这几种模型的特点和规律，解答时只要抓住各种模型的特点即可，如以下几种常见实例．1．质谱仪：(1)用途：测量带电粒子的质量和分析同位素．(2)原理：由粒子源S发出的速度几乎为零的粒子经过加速电场U加速后，以速度v＝eq\r(\f(2qU,m))进入偏转磁场中做匀速圆周运动，运动半径为r＝eq\f(1,B)eq\r(\f(2mU,q))，粒子经过半个圆周运动后打到照相底片D上，通过测量D与入口间的距离d，进而求出粒子的比荷eq\f(q,m)＝eq\f(8U,B2d2)或粒子的质量m＝eq\f(qB2d2,8U).2．速度选择器：带电粒子束射入正交的匀强电场和匀强磁场组成的区域中，满足平衡条件qE＝qvB的带电粒子可以沿直线通过速度选择器．速度选择器只对粒子的速度大小和方向做出选择，而对粒子的电性、电荷量不能进行选择性通过．3．回旋加速器：(1)用途：加速带电粒子．(2)原理：带电粒子在电场中加速，在磁场中偏转，交变电压的周期与带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相同．(3)粒子获得的最大动能Ek＝eq\f(q2B2r\o\al(2,n),2m)，其中rn表示D形盒的最大半径．例题7.如图所示装置叫质谱仪，最初是由阿斯顿设计的，是一种测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具。其工作原理如下：一个质量为m、电荷量为q的离子，从容器A下方的小孔S1飘入电势差为U的加速电场，其初速度几乎为0，然后经过S3沿着与磁场垂直的方向，进入磁感应强度大小为B的匀强磁场中，最后打到照相的底片D上。不计离子重力。则()A.离子进入磁场时的速率为v＝eq\r(\f(2mU,q))B.离子在磁场中运动的轨道半径为r＝eq\f(1,B)eq\r(\f(2qU,m))C.离子在磁场中运动的轨道半径为r＝eq\f(1,B)eq\r(\f(2mU,q))D.若a、b是两种同位素的原子核，从底片上获知a、b在磁场中运动轨迹的直径之比是1.08∶1，则a、b的质量之比为1.08∶1夯实成果练7.（多选）（2020届广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研）回旋加速器的工作原理如图所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，A处粒子源产生质量为m、电荷量为+q的粒子，在加速电压为U的加速电场中被加速，所加磁场的磁感应强度、加速电场的频率可调，磁场的磁感应强度最大值为Bm和加速电场频率的最大值fm。则下列说法正确的是（）A．粒子获得的最大动能与加速电压无关B．粒子第n次和第n+1次进入磁场的半径之比为C．粒子从静止开始加速到出口处所需的时间为D．若，则粒子获得的最大动能为例题8.（多选）按照十八大“五位一体”的总体布局，全国各省市启动“263”专项行动，打响碧水蓝天保卫战，暗访组在某化工厂的排污管末端安装了如图所示的流量计，测量管由绝缘材料制成，水平放置，其长为L、直径为D，左右两端开口，匀强磁场方向竖直向上，在前后两个内侧面a、c固定有金属板作为电极，污水充满管口从左向右流经测量管时，a、c两端电压为U，显示仪器显示污水流量为Q（单位时间内排出的污水体积）。则下列说法不正确的是（）A．a侧电势比c侧电势低B．若污水中正离子较多，则a侧电势比c侧电势高；若污水中负离子较多，则a侧电势比e侧电势低C．污水中离子浓度越高，显示仪器的示数将越大D．污水流量Q与U成正比，与L无关夯实成果练8.（多选）(多选)为了测量某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的流量计，该装置由绝缘材料制成，长、宽、高分别为a＝1m、b＝0.2m、c＝0.2m，左、右两端开口，在垂直于前、后面的方向加磁感应强度为B＝1.25T的匀强磁场，在上、下两个面的内侧固定有金属板M、N作为电极，污水充满装置以某一速度从左向右匀速流经该装置时，测得两个电极间的电压U＝1V．且污水流过该装置时受到阻力作用，阻力f＝kLv，其中比例系数k＝15N·s/m2，L为污水沿流速方向的长度，v为污水的流速．下列说法中正确的是()A．金属板M的电势不一定高于金属板N的电势，因为污水中负离子较多B．污水中离子浓度的高低对电压表的示数也有一定影响C．污水的流量(单位时间内流出的污水体积)Q＝0.16m3/sD．为使污水匀速通过该装置，左、右两侧管口应施加的压强差为Δp＝1500Pa1.如图所示，从混合放射源射出的正离子a、b、c分别从O点水平射入竖直向下的匀强电场中，a、b打到倾斜的绝缘板A上不同的点，c打在水平绝缘板B上，不计重力，则()A．c的初速度一定大于a的初速度B．c从O到B板的时间一定大于a从O到A板的时间C．c打在B板时的速度方向一定与b打在A板时的速度方向不平行D．a、b打在A板上的速度方向可能不平行2.(多选)如图，直角三角形OAC区域内有垂直于纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，∠A＝30°、OC边长为L，在C点有放射源S，可以向磁场内各个方向发射速率为v0的同种带正电的粒子，粒子的比荷为K.S发射的粒子有eq\f(2,3)可以穿过OA边界，OA含在边界以内，不计重力及粒子之间的相互影响．则()A．磁感应强度大小为eq\f(v0,2KL)B．磁感应强度大小为eq\f(v0,KL)C．OA上粒子出射区域长度为LD．OA上粒子出射区域长度为eq\f(L,2)3.(多选)如图所示，空间存在相邻匀强磁场区域，磁场Ⅰ方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，磁场Ⅱ方向垂直纸面向外，宽度为eq\f(d,2)。现让质量为m、电荷量为q的带正电粒子以水平速率v垂直磁场Ⅰ从O点射入，当粒子从磁场Ⅱ边缘C处射出时，速度也恰好水平。已知粒子在磁场Ⅰ中运动时间是磁场Ⅱ中运动时间的2倍，不计粒子重力，则()A．磁场Ⅱ的磁感应强度大小为BB．磁场Ⅱ的磁感应强度大小为2BC．磁场Ⅰ的宽度为2dD．磁场Ⅰ的宽度为d4.如图所示，在第一象限内，存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于xOy平面向外，在x轴上的A点放置一放射源，可以不断地沿xOy平面内的不同方向以大小不等的速度放射出质量为m、电荷量为－q的同种粒子，这些粒子都打到y轴上的D点，已知OA＝eq\r(3)L，OD＝L，不计粒子间的相互作用，则()A.粒子运动的最大速度为eq\f(qBL,m)，方向与x轴正向成60°B.粒子在磁场中运动的最短时间为eq\f(πm,3qB)C.要使粒子有最长运动时间，须沿x轴正向射入磁场D.若粒子与x轴正向成30°角射入磁场，则轨道半径为eq\f(2\r(3),3)L5.(多选)如图，足够长的荧光屏OA的上方区域存在匀强磁场，边界MN左侧区域的磁场方向垂直纸面向里，右侧区域的磁场方向垂直纸面向外，两区域的磁感应强度大小均为B。荧光屏上方有一粒子源紧挨着O点，可沿OA方向不断射出质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子。粒子打在荧光屏上时，荧光屏相应位置会发光。已知粒子的速率可取从零到某最大值之间的各种数值，速率最大的粒子恰好垂直打在荧光屏上，OM之间的距离为a，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则()A.粒子的最大速率为eq\f(2\r(3)qBa,3m)B.荧光屏上的发光长度(eq\f(2\r(3),3)＋1)aC.打中荧光屏的粒子运动时间的最大值为eq\f(3πm,2qB)D.打中荧光屏的粒子运动时间的最小值为eq\f(7πm,6qB)6.如图所示，平面直角坐标系xOy的第Ⅱ、Ⅲ象限内有场强大小为E、沿y轴负方向的匀强电场；第Ⅰ、Ⅳ象限内有方向垂直于坐标平面向里的圆形有界匀强磁场，磁感应强度B＝eq\f(2\r(3)E,3v0)，磁场的半径为2L、边界与y轴相切于O点。一带电粒子从P(－2L，eq\r(3)L)点以速度v0沿x轴正方向射出，粒子经电场偏转后从O点离开电场进入磁场，最后从某点离开磁场。不考虑粒子的重力，求：(1)粒子的比荷；(2)粒子离开电场时速度的大小及方向；(3)粒子在磁场中运动的时间。7.空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点。从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B。A不带电，B的电荷量为