2012信号与系统讲义-课件第11章

第11章线性系统的状态变量分析法1掌握状态变量及状态方程的定义;2熟练掌握从电路和输入-输出方程编写状态方程3状态方程复频域解法及稳定性判别输入-输出方程或转移函数状态方程重点内容1、IO法：描述系统输入、输出之间的关系。其结果往往是单变量（高阶）微分或差分方程。1）单输入单输出系统（SISO）2）多输入多输出系统（MIMO）用IO法描述系统，比较简单、直观，方程求解简单；但是无法了解系统内部状态，而且在求解MIMO系统时不方便。§11-1引言2、状态变量法：将系统用状态（转移）方程（多个一阶微分或差分构成的方程组）和输出方程描述。1）可以了解系统内部各个部分的情况；2）有利于MIMO系统分析；3）

方程的构成和求解比较规则，有利于计算机辅助分析4）可以推广到非线性系统。§11-2系统的状态变量描述法一、状态(state)和状态变量(statevariable)

描述系统在某时刻的内部状态所必须的一组最少的物理量（或函数）称为系统的状态变量。状态变量在某时刻的值称为系统在该时刻的状态。

利用这些状态和激励信号在该时刻的值以及系统模型可以唯一地确定系统中其它的物理量或函数。若已知电容上的电压值及激励，就可以知道电路中的任意变量。1、系统的状态一般和系统的储能有关。

2、状态变量的个数等于系统的阶数。例如，电系统中的状态一般是电容上的电压和电感上的电流。3、状态变量的选择并不唯一。

状态矢量在某个时刻的取值可以用一个多维空间的点表示，这些点构成的多维空间被称为状态空间。称为状态矢量构成一个随时间变化的向量用状态变量系统的输出矢量：激励矢量二状态变量的选取

便于测量及状态方程的编写，选取电路中独立的电容C的电压，独立的电感的电流为状态变量对于线性系统而言，状态方程是一组一阶线性微分（或差分）方程组。其一般形式可以用矩阵表示为：由系统的状态变量、激励和系统参数构成的、决定系统状态随时间（或空间等其他变量）变化规律的一组一阶微分（或差分）方程组。三、

状态方程选uC,iL为状态变量列微分方程三、

状态方程四输出方程选uC,iL

为状态变量若uL,ic,uR,iR作为输出y=Cx+De描述系统的输出与状态变量、激励之间关系的一组方程。线性方程（或方程组）例1：(P3+8p2+19p+12)y(t)=(4P+10)e(t)1直接模拟法§11-3由输入-输出方程求状态方程x

(t)y(t)∫∑-8q′∫q″-19∑410q(t)∫-12q(3)取q,q'和q''为状态变量，并设q=x1,q'=x2,q''=x3取q,q'和q''为状态变量，并设q=x1,q'=x2,q''=x3r(t)=10x1+4x2这种状态变量称为相变量状态方程：输出方程：r(t)=10x1+4x2相变量：取q,q'和q''为状态变量状态方程：输出方程：ABCD矩阵与输入-输出方程系数的对应关系一目了然，可以推广到任意微分方程。在微分方程转移算子分子的次数m小于分母的次数n的条件下，根据微分方程可以直接写出状态方程。m<nx1x2xnx

(t)y(t)∫∑-an-1q(n-1)∫q(n)-an-2∫q′∫q″…-a1-a0bn-1b1b0∑bn-2……q(t)=x11:取q(t)及qk(t)(k=1,…,n-1)作为状态变量[x1,x2…xn]2:写状态方程m<n3:写输出方程m<n状态方程取相变量为状态变量输出方程A矩阵：其第n行的元素即为转移函数分母中次序颠倒过来的系数的负数-a0,-a1,….-an-1

，其它各行除了对角线右边的元素均为1外，别的元素全为0；B矩阵：其第n行的元素均为1，其余为0；相变量状态方程m<nm=nC矩阵：为行矩阵，前m+1个元素即为转移函数分子中次序颠倒过来的系数b0,b1,….bm，其余n-m+1个元素均为0；D=0m=n2并联模拟x'(t)=-ax(t)+e(t)一阶模拟图r(t)=x1+x2-2x3x1'(t)=-x1+e(t)x2'(t)=-3x2+e(t)x3'(t)=-4x3+e(t)e

(t)x(t)∫∑-ax′状态方程输出方程r(t)=x1+x2-2x3x1'(t)=-x1+e(t)x2'(t)=-3x2+e(t)x3'(t)=-4x3+e(t)规律：A:矩阵A是对角线矩阵，其对角上元素的值就是转移函数的各极点；B:列矩阵B的元素均为1；C:输出方程中的行矩阵C的各元素即依次为部分分式系数；所以这种状态变量称为对角线变量。对角线变量m<n,且没有重根1xnx2x状态方程输出方程例2:(2p2+14p+24)e(t)=(6p+20)e(t)1:取相变量为状态变量2:写状态方程3:输出方程1:取对角线变量为状态变量2:写状态方程3:输出方程相变量状态方程输出方程状态方程输出方程对角线变量例题11-1图示一反馈系统，写出其状态方程和输出方程。

解：先求出该系统的转移函数。为此，可由图写出频域中输入、输出函数间的关系系统的转移函数为

用相变量直接写出状态方程和输出方程分别为

E

(s)Y

(s)已知求其输入输出方程例2:解:相变量状态方程输出方程复习m<nm=n状态方程输出方程对角线变量输出方程：3、离散时间系统的状态方程状态方程：可以得到最后一个状态方程定义状态变量x为根据这就直接得到了n-1个状态方程，离散时间系统的状态方程

当m<n,输出方程

离散时间系统的状态方程

当m=n,输出方程

例1:已知某线性非移变的离散时间系统的初始条件为

yzi(0)=3,yzi(1)=2;当激励e(k)=(k)时，系统的全响应为y(k)=[2k+1+3(0.5)k](k)

求（1）h(k)；（2）系统的框图；（3）列出相变量状态方程的系数矩阵A、B、C、D；（4）判断该系统稳定情况。解：v1=1,v2=0.5yzi(k)=C1+C20.5kyzi(k)=(1+2·0.5k)(k)yzs(k)=y(k)-yzi(k)=(2k+0.5k)(k)临界稳定例1:已知某线性非移变的离散时间系统的初始条件为

yzi(0)=3,yzi(1)=2;当激励e(k)=(k)时，系统的全响应为y(k)=[2k+1+3(0.5)k](k)

求（1）h(k)；（2）系统的框图；（3）列出相变量状态方程的系数矩阵A、B、C、D；解：yzs(k)=(2k+0.5k)(k)h(k)=2(k-1)+0.5k(k)-0.5k-1(k-1)h(k)=(2-0.5k)

(k)例1:已知某线性非移变的离散时间系统的初始条件为

yzi(0)=3,yzi(1)=2;当激励e(k)=(k)时，系统的全响应为y(k)=[2k+1+3(0.5)k](k)

求（1）h(k)；（2）系统的框图；（3）列出相变量状态方程的系数矩阵A、B、C、D；解：h(k)=(2-0.5k)

(k)例1:已知某线性非移变的离散时间系统的初始条件为

yzi(0)=3,yzi(1)=2;当激励e(k)=(k)时，系统的全响应为y(k)=[2k+1+3(0.5)k](k)

求（1）h(k)；（2）系统的框图；（3）列出相变量状态方程的系数矩阵A、B、C、D；解：X

(z)Y(z)z-1∑1.5z-1-0.5例1:已知某线性非移变的离散时间系统的初始条件为

yzi(0)=3,yzi(1)=2;当激励e(k)=(k)时，系统的全响应为y(k)=[2k+1+3(0.5)k](k)（3）列出相变量状态方程的系数矩阵A、B、C、D；解：x1(k+1)=x2(k)x2(k+1)=1.5x2(k)-0.5x1(k)+e(k)y(k+2)-1.5y(k+1)+0.5y(k)=e(k+2)q(k+2)-1.5q(k+1)+0.5q(k)=e(k)y(k)=q(k+2)x1(k)=q(k)x2(k)=q(k+1)例1:已知某线性非移变的离散时间系统的初始条件为

yzi(0)=3,yzi(1)=2;当激励e(k)=(k)时，系统的全响应为y(k)=[2k+1+3(0.5)k](k)（3）列出相变量状态方程的系数矩阵A、B、C、D；解：x1(k+1)=x2(k)x2(k+1)=1.5x2(k)-0.5x1(k)+e(k)y(k+2)-1.5y(k+1)+0.5y(k)=e(k+2)q(k+2)-1.5q(k+1)+0.5q(k)=e(k)y(k)=q(k+2)x1(k)=q(k)x2(k)=q(k+1)y(k)=q(k+2)=x2(k+1)=1.5x2(k)-0.5x1(k)+e(k)y(k)=1.5x2(k)-0.5x1(k)+e(k)C=[-0.51.5]D=1已知连续线性系统状态方程的系数矩阵为D=0求使系统稳定的k值范围。例2：s313s22ks(6-k)/201k00<k<6解：例3：已知某连续时间系统的系统函数为:

试给出该系统的状态方程。

解：系统的微分方程为

取原来的辅助变量q(t)及其各阶导数为状态变量并分别表示为

状态方程：

输出方程：

4、已知系统的输入输出方程为：试求出其状态方程和输出方程。解：§11-4电系统的状态方程的建立状态方程的建立一般分为三个步骤：1、确定状态变量；2、建立状态方程；3、建立输出方程。1、系统的状态一般与其储能有关。在电系统中，储能元件有电感L、电容C和互感M。2、状态变量必须在电路的L、C、M中选取，一般取电感L和互感M上的电流和电容C上的电压。3、电系统状态变量可以取全部独立的iL、iM

和uC

。电系统状态变量的个数（系统的阶数）等于其独立的电感、互感和电容数目之和。4、不独立的iL、iM

和uC

的情况主要有：串联电感、并联电容、纯电感节点、纯电容回路。一、状态变量的选取1)选状态变量:独立的储能元件：通常uC,iL

为状态变量2）写状态方程例1：写下图所示电路的状态方程对于一个电路而言，选择状态变量最常用的方法是取全部独立的电感电流和独立的电容电压。线性系统的阶数等于状态变量的个数，对于电系统而言，也就等于系统中独立的电感和电容的总个数。二、建立状态方程

1、状态方程的形式：等式左边为状态变量的一阶导数；等式右边为包含状态变量、激励的线性方程。2、从电路列状态方程的方法：找出每个含有iL、iM

和uC的一阶导数的方程（组）。1）电感或互感:列含有电感或互感的回路KVL；列含有电容的节点KCL；2）电容:3）整理方程，使其满足状态方程的标准形式;3）整理方程，使其满足状态方程的标准形式：a、每一个方程中只能在左边含有一个状态变量的导数，如果多了必须设法消去；b、每个方程中只能含有状态变量和激励，不能含有非状态变量。如果有，也必须设法消去；uC,iL选uC,iL

为状态变量例1：特点：(1)联立一阶微分方程组；(2)左端为状态变量的一阶导数；(3)右端仅含状态变量和输入量；状态方程矩阵形式一般形式[X]=[x1

x2xn]T式中\nn\nr选uC,iL

为状态变量例1：这个电路中有一个仅由三个电容组成的回路，只有两个独立电容电压，所以可从三个电容电压中任取其二作为状态变量。1、用含有状态变量和激励的方程计算出其它的非状态变量。2、对线性系统而言，输出方程是一阶线性方程组，可以用矩阵形式记为：y(t)=Cx(t)+De(t)

3、对于电系统而言，可以将iL、iM

和uC

等效为理想电流和电压源，通过叠加原理得到各个非状态变量。三、建立输出方程：输出方程特点：(1)代数方程；

(2)输出量用状态变量和输入量表示。一般形式[Y]=[C][x]+[D][e](2)一般选择uC和

iL为状态变量，也常选

和

q为状态变量。(3)状态变量的选择不唯一。上例中也可选uC和duC/dt为状态变量小结：(1)状态变量和储能元件有联系，状态变量的个数等于

独立的储能元件个数。

一般对系统并不需要所有的非状态变量，只要知道某些需要的变量即可。总结：状态方程：x(t)=Ax(t)+Be(t)

输出方程：y(t)=Cx(t)+De(t)

通过状态方程，可以得到状态变量的时间函数；通过输出方程，可以得到系统内部任意物理量的时间函数，从而可以得到系统任意处的响应。只要知道了A、B、C、D矩阵，就可以描述系统。这种表示方法对于计算机而言特别有效。·状态方程的列写举例选uC,i1,

i2为状态变量含duC/dt

电容节点列KCL含diL/dt电感回路列KVL例1.R1+uSCuCiSiRR2i2L2L1

+i1

解标准矩阵形式：例2.选u1,u2,i3,

i4为状态变量消去非状态量i5,i6i5=(u2u1)/R5i6=i4i3代入上式，整理L3i3uSR6R5C2C1L4+i5i6i4++u1u2列写图示电路的状态方程。解例3图示一小信号谐振放大器的等效电路状态方程标准形式为其中为A、B、C、D常数矩阵，x、