2019届高考数学(新课标)二轮专题复习作业18三角函数2

三角函数专练(二)·作业(十八)1．(2019·吉林实验中学)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝(cosA，3sinA)，n＝(2cosA，－2cosA)，m·n＝－1.(1)若a＝23，c＝2，求△ABC的面积；(2)求b－2c的值．πacos（3＋C）π剖析(1)因为m·n＝2cos2A－3sin2A＝cos2A－3sin2A＋1＝2cos(2A＋3)＋1＝－1，所以cos(2A＋π＝－又π＋ππ2A＋ππ3)3<2Aπ＋3，所以3＝π，A＝由121.3<23.ππ＝4＋b2－2×2×b×cos，得b＝4(舍负值)．所以△ABC的面积为1×2×4×sin3＝3223.(2)b－2c＝sinB－2sinC＝sin（A＋C）－2sinC（π（π3π＋C）＋C）＋C）acos3sinAcos32cos（333π＝2cosC－2sinC3cos（3＋C）＝2.3π＝3π（3＋C）3＋C）2cos2cos（π2．(2019·福建质检)在△ABC中，B＝3，点D在边AB上，BD＝1，且DA＝DC.(1)若△BCD的面积为3，求CD；(2)若AC＝3，求∠DCA.1剖析(1)因为S△BCD＝3，即2BC·BD·sinB＝3，π又B＝3，BD＝1，所以BC＝4.在△BDC中，由余弦定理得，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB，即CD2＝16＋1－2×4×1×12＝13，解得CD＝13.(2)在△ACD中，DA＝DC，可设∠A＝∠DCA＝θ，则∠ADC＝π－2θ，又AC＝3，ACCD由正弦定理，有sin2θ＝sinθ，3所以CD＝2cosθ.2π在△BDC中，∠BDC＝2θ，∠BCD＝3－2θ，3由正弦定理得，CD＝BD，即2cosθ＝1，sinB∠π2πsinBCDsin3sin（3－2θ）2π化简得cosθ＝sin(3－2θ)，π2π于是sin(2－θ)＝sin(3－2θ)．ππππ2π2π因为0<θ<，所以0<2－θ<，－3<3－2θ<，223π2ππ2π所以2－θ＝3－2θ或2－θ＋3－2θ＝π，ππππ解得θ＝6或θ＝18，故∠DCA＝6或∠DCA＝18.3．(2019·河北七校)设△ABC的内角A，，C的对边分别是2＋b2Ba，b，c，且(ac2)sinA＝ab(sinC＋2sinB)，a＝1.(1)求角A的大小；(2)求△ABC的周长的取值范围．剖析(1)由(a2＋b2－c2)sinA＝ab(sinC＋2sinB)，结合余弦定理可得2abcosCsinA＝ab(sinC＋2sinB)，即2cosCsinA＝sinC＋2sin(A＋C)，化简得sinC(1＋2cosA)＝0.1因为sinC≠0，所以cosA＝－2，2π又A∈(0，π)，所以A＝3.2π(2)因为A＝3，a＝1，由正弦定理可得asinB2323b＝sinA＝3sinB，c＝3sinC，所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝1＋23＋23＝＋23＋π[sinBsin(3－B)]3sinB3sinC13231323π＝1＋3(2sinB＋2cosB)＝1＋3sin(B＋3)．πππ2π因为B∈(0，3)，所以(B＋3)∈(3，3)，3则sin(B＋3)∈(2，1]，3则l＝a＋b＋c＝1＋3sin(B＋3)∈(2，1＋3].23π14．已知函数f(x)＝(3sinωx－cosωx)·cosωx＋2(其中ω>0)，若f(x)的一条对称轴π离近来的对称中心的距离为4.(1)求y＝f(x)的单调递加区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足(2b－a)cosC＝c·cosA，且f(B)正是f(x)的最大值，试判断△ABC的形状．剖析(1)f(x)＝3sinωx·cosωx－cos2ωx＋12312＝2sin2ωx－2(2cosωx－1)31π＝2sin2ωx－2cos2ωx＝sin(2ωx－6)．因为函数f(x)的一条对称轴离近来的对称中心的距离为π4，2π所以T＝π，所以2ω＝π，所以ω＝1.π所以f(x)＝sin(2x－6)．πππ由－2＋2kπ≤2x－6≤2＋2kπ(k∈Z)，ππ得－6＋kπ≤x≤3＋kπ(k∈Z)．ππ所以函数f(x)的单调递加区间为[－6＋kπ，3＋kπ](k∈Z)．(2)因为(2b－a)cosC＝c·cosA，由正弦定理，得(2sinB－sinA)cosC＝sinC·cosA，即2sinBcosC＝sinAcosC＋sinCcosAsin(A＋C)＝sinB，因为

sinB≠0，所以

1cosC＝2，所以

πC＝3.所以

0<B<

2π，0<2B<3

4πππ，－<2B－<366

7π.6依照正弦函数的图像，可以看出

f(x)的最大值为

f(B)＝1，ππ

π

π此时2B－6＝2，即B＝3，所以A＝3，所以△ABC为等边三角形．π25．(2019·山西四校)已知f(x)＝cosx(λsinx－cosx)＋cos(2－x)＋1(λ>0)的最大值为3.(1)求函数f(x)的对称轴；(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝a，若不等cosB2c－b式f(B)<m恒成立，求实数m的取值范围．π剖析(1)f(x)＝cosx(λsinx－cosx)＋cos2(2－x)＋1＝λsinxcosx－cos2x＋sin2x＋1＝12λsin2x－cos2x＋1.2λ≤4＋1＋1，2λ由题意知：4＋1＋1＝3，λ2＝12，∵λ>0，∴λ＝23.πf(x)＝3sin2x－cos2x＋1＝2sin(2x－6)＋1.ππkππ令2x－6＝2＋kπ，解得x＝2＋3，(k∈Z)．kππ∴函数

f(x)的对称轴为

x＝

2

＋3(k∈Z)．cosAa(2)∵cosB＝2c－b，由正弦定理，

cosAsinAcosB＝2sinC－sinB可变形得，

sin(A＋B)＝2cosAsinC，即sinC＝2c