中考数学压轴题破解策略专题9费马点

专题9《费马点》破解策略费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离.若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°,则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点..若三角形有一个内角大于等于120°,则此钝角的顶点即为该三角形的费马点如图在^ABC中，NBACN120。，求证：点A为^ABC的费马点证明：如图，在4ABC内有一点P延长BA至C,使得AC=AC,作NCAP=/CAP,并且使得AP=AP,连结PP则△APCSAPC,PC=PC因为NBACN120°所以NPAP=NCACW60所以在等腰4PAP中，APNPP所以PA+PB+PCNPP+PB+PC>BC=AB+AC所以点A为4ABC的费马点.若三角形的内角均小于120°,则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点.

如图，在△ABC中三个内角均小于120°,分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在4ABC内的交点为O,求证：点O为4ABC的费马点证明：在4ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC将4AOC绕着点A逆时针旋转60°,得到^AO，D连接OO‘则O/D=OC所以△AOO，为等边三角形，OO，=AO所以OA+OC+OB=OO/+OB+O，D则当点B、O、O，、D四点共线时，OA+OB+OC最小此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在4ABC内的交点即为点O如图，在4ABC中，若NBAC、NABC、NACB均小于120°,O为费马点，则有NAOB=NBOC=NCOA=120°,所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心

例1如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（一6,0），点B的坐标为（6,0）,点C的坐标为（6,4右），延长AC至点D使得CD=AC,过点DE作DE//AB,交BC的延长线于点E,设G为y轴上的一点，点P从直线y=—Ax+6v3与y轴的交点M出发，先沿y轴到达点G,再沿GA到达点A,若点P在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定点G的位置，使点P按照上述要求到达A所用的时间最短GMGA2GA+GMGMGA2GA+GM——+一2vv・,.当2GA+GM最小时，时间最短如图，假设在OM上存在一点G,则BG=AG...MG+2AG=MG+AG+BG把4把4乂68绕点B顺时针旋转60°,得到AM，G，B,连结GG，，MM，.•.△GG，B.AMM/B都为等边三角形则GG，=G，B=GB又・・・M，G，=MG...MG+AG+BG=M/G，+GG，+AG•・•点A、M，为定点.•.AM，与OM的交点为G,止匕时乂6+庆6+86最小・••点G的坐标为（0,2G）例2A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并是整个公路系统的总长度为最小，则应当如何修建?解：如图，将4ABP绕点N逆时针旋转60°，得到AEBM；同样，将^DCQ绕点C顺时针旋转60°，得到AFCN,连结AE、DF，则4ABE、^DCF均为等边三角形，连结PM、QN，则4BPM,△CQN均为等边三角形所以当点E,M,P,Q,N,F共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段EF的长，如图，此时点P,Q在如图，此时点P,Q在EF上，1=2=3=4=30进阶训练.如图，在ABC中， ABC=60,AB=5,BC=3,P>ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值，并确定当PA+PB+PC取得最小值时，APC的度数.

A答案：PA+PB+PC的最小值为7,此时APC=120【提示】如图，将APB绕点B逆时针旋转60，得到A'BP',连结PP',A'C.过点A'作A'EBC,交CB的延长线于点E.解RtA'EC求A'C的长，所得即为PA+PB+PC的最小值..如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN,连结AM,CM,EN.(1)当M在何处时，AM+CM的值最小？(2)当M在何处时，AM+BM+CM的值最小？请说明理由；(3)当AM+BM+CM的最小值为＜31时，求正方形的边长.案：(1)当点M落在BD的中点时，AM+CM的值最小，最小值为AC的