高考数学回归课本100个问题

高考数学回归100个问区分集合中元素的形式：如{x|y=lgx}—函数的定义域；{y|y=lgx}—函数的值域在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况3n素的集合的子集个数为2n,真子集个数为2n－1;如满足{1,2}M{1,2345}集合M个。（答：7）4、CU(A∩B)=CUA∪CUB;5、A∩B=AA∪B=BABCUBCUAA∩CUB=6、注意pq的否定与它的否命题pqpq；否命题是pq；命题“pq”的否定是“┐PQp且q”的否定是“┐PQ”7、指数式、对数式man

amnmnm

，

1，loga10，logaa1，lg2lg51，logexlnxaabNlogNb(a0,a1,N0)alogaNNa①三种形式:一般式f(x)=ax2+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?);顶点f(x)=a(x-h)2+k;零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(轴?);b=0偶函数;2定义域、值域都是闭区间[2,2b]，则b （答④实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号9yc(x0)平移x

ya x

(中心为x

a0时,在(0，a],[a,0)递],[求反函数时，易忽略求反函数的定义域f1(baf(a13求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示．14、奇偶性：f(x)是偶函数f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过15、周期性yf(x)图像有两条对称轴xaxb(ab)yf(x)必是周期函数，且一周期为T2|ab|（2）f(x满足fxfax(a0)，则f(xaf(x) f

(a0)恒成立，则T2af(xa

f

(a0)恒成立，则T2a

a

2数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）yc(x0)平移x

ya x

(中心为17.反函数:①函数存在反函数的条件一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇函数③周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数④互为反函数的两函数具相同单调性⑤f(x)定义域为A,值域为B,则f[f-1(x)]=x(x∈B),f-1[f(x)]=x(x∈A题型方法总结18Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相19Ⅱ求函数解析式的常用方待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：f(x)ax2bxc；顶点式：f(xa(xm2nf(x)a(xx)(xx)。如已知f(x)为二次函数，且 2f(x2)f(x2)，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为 ,求f(x)的解析式。（答2f(x)1x22x2求fx2的解析式（答：f(x2)x42x2,x

x2

x，则函f(x1)= （答：x22x3）；（3）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x(0,)时，f(x)x(13x)，那么当x(,0)时，f(x)= （答：x(13x)）.这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即f(x)的定义域应是g(x)的值域。方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关 f(x)及另外一个函数的方程组。如（1）已f(x2f(x)3x2，求f(x的解析式（答f(x)3x2）；（2）f(x是奇函数g(x3 偶函数，且f(x)+g(x)=x1,则f(x) （答：x21）20求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义;若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定义域为[a,b]f(xx∈[a,b]g(x2 x)的定义域 （答：x x2 （2）若函数f(x21)的定义域为[2,1)，则函数f(x)的定义域 [1,5]yx22x5,x[12]的值域（答：[4,8]；②逆求法（反求法）：如y得出y的取值范围（答：（01

通过反解，用y来表示

，再由

的取值范围，通过解不等式③换元法如（1）y2sin2x3cosx1的值域为 （答：[ ]xxx（2）y2x要特别要注意新元t的范围

的值域 （ t，t0。运用换元法时④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值y2sin1的值域（(31 ⑤不等式法ab2ab(abR求函数的最值。如xa1a2y(aax,b,b,y成等比数列，则 的取值范围 .（答：(,0][4,) ⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值求yx1(1x9xysin2x ，y2x2log5x的值域 （答：(0,80)、 ,9]、0,x1sin2 ⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。如（1）已知点 在x2y21上， 及y2x的取值范围（答：

,3][

）；（2）求函数3x 3(x(xy (x(x⑧判别式法：如（1）y

1,1

（2求函数y

xx

[0,]x2x

1

22

x 如求y x 的值域（答：(,3][1,)2种方y32x(x[1,1②（yx2x3x,0x2xy x

,x

3 解应用题:审题(理顺数量关恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即f（x）＝g(x)h(x) 等）进行逻辑探究。如xRf(xf(xyff(y)，则f(x)的奇偶性 （答：奇函数若xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，则f(x)的奇偶性 （答：偶函数已知f(x是定义在(3,3)0x3时，f(xf(x)cosx0的解集 （答：

,1)(0,1) ,3) f(xRxyRfxf(xfyx1f(x0y1f()1，①求证f(x)为减函数；②解不等式f(xf(5x)2.（0,14,52 25、导数几何物理意义:k=f/(x)表示曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处切线的斜率。V＝s/(t)表示t时 导数研究单调性，极值最值的方法和步骤n1n 注意验证a是否包含在a的公式中n1nSn

(n2,n27 ｛an｝等差anan1d(常数)2anan1an1(n2,nN*中项ananb(一次snAn2Bn(常数项为0的二次a,bABa2 (n2,n ｛a}等比 n- nq(定n anana1qn1snmmqn;m28、首项正的递减或首项负的递增等差数列前n项和最大(或最小)问题,转化为解不等式an0(或an0),或用二次函数处理;(等比前n项积?)，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗 29aan-1)d;Snan(n1)dnan(n

d aaq

1 1 m p m p如：公比为-1S4S8S4S12S8、…不成等比数列求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结求

a (nns,求通项a，可利用公式:

(n递推式为an＋1＝an＋f(n)(采用累加法)；an＋1＝an×f(n)(采用累积法)（4）构造法 n aka b、aka bn（k,b为常数）的递推数列如①已知a11,an3a n 涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下3ana＝（a－a）+(a－a)+……＋（a－a）＋a；a nan－1a2an a n- n- a 倒数法形如a 的递推数列都可以用倒数法求通项

n11 n 如①已知a1,a1 n

，求a（答：a

3n1②已知数列满足a ，求a 34、常见和 123n1n(n2

，1222n21n(n1)(2n 6132333n3[n(n235、终边相同(β=2kπ+α)弧长公式l||RS1lR1||R2，1 (1rad)57.336、函yAsin(xb（0A0①五点法作图②振幅?相位?初相?周期

,频率?φ=kπ时奇函数

时偶函数2③对称轴处y取最值,对称中心处值为0;余弦④变换:φ正左移负右移；b正上移负下移左或右平移 横坐标伸缩到原来的1|横坐标伸缩到原来的1 左或右平移|37、正弦定理

sin

sin

=sin

b2c2;余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,cosA 38、内切圆半径r=2S ab 39、诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视为锐角40、重要公式：sin21cos2cos21

tan

1

41如222等 42、辅助角公式中辅助角的确定：asinxbcosx a2b2sinx(其中tanbbaaba43

ababa44、向量ba方向上的投影︱b︱cos＝aa 、1–46、在ABC中，PG3(PAPBPC)G为ABCPAPBPC0P为ABC47PAPBPBPCPCPAP为ABC48、向量 )(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线|AB |AC|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC49、两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒 即ａ＞ｂ＞ｏ ，ａ＜ｂ＜ｏ 50分式不f(x)

a,(a¹ 的一般解题思路是什么？（移项通分、零点分段a22ab a22

1 、、cRa2b2c2abbcca（abc时，取等号 bab0,m0

（糖水的浓度问题 a②积定和最小,和定积最大。常用的方法为：拆、凑、平方53、如：①函

y4x 2

(x12的最小 （答2②若若x2y1，则2x4y的最小值 （答： 211x

1的最小值 （答：3 2y254ababab55、不等式证明之放缩kkk1 kkk1 2 1Ⅱ 1

1

1

（程度大1k k(k1

k

k k(k

k1Ⅲ 1k

k2

(k1)(k

12

k

1k

（程度小56、不等式证明之换元法：常用的换元有三角换元和代数换元。如：已知x2y2a2，可设xaos,yain；x2y21xrcosyrsin0rx y已a bx y

1，可设 acos, b 已 a b

1，可设 asec, b 57、解绝对值不等式①几何②定义法(零点分③两边平④公式法：|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)orf(x)<-|f(x)|<g(x)-位置和符①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证a∥α、a∩α=Aaα)aα③平面与平面:α∥β、常用定理

//

①线面平行ba a//;a a a a②线线

a

b

a//cb b ab③面面平行aab

//

a

//

a//,b//

a b

PO aa a

a//b la,lb a,a

aba a 求空间角之异面直线所成角的求法（1）范围 2求法：平移以及补形法、向量法63、求空间角之直线和平面所成的角：（1）范围[090]；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。求法：作垂线找射影或求点线距 （向量法 求空间角之二面角：二面角的求法：定义法、三垂 S射＝S原cos、转化空间距离①异面直线间距离:找公垂线nn③点到线距离:用三垂线定理作垂线后再从点O引射线OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则A在平面BOC的射影在∠BOC平分线上;若AOBOC距离相等,则ABOC的射影在∠BOC平分线上；常用转化思想①构造四边形、三角形把问题化为平面问②将空间图展开为平面③割补④等体积转⑤线线平行线面平行⑥线线垂直线面垂直⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化a2b269AB和平面所成角是θ,AB在平面影为AO,AC在平面内,设∠CAO=α,∠BAC=β,则cosβ=cosθcosα;长方体:对角线长l ;若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成角分别为α,β,γ,则有cos2α+cos2β+cos2γ=1;体对角线与过同顶点的三侧面所成角分别为α,β,γ,则cos2α+o2+o2=2体a2b270、求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解71、直线Ax+By+C=0的方向向量a=(A,-72、两直线平行和垂直的判73、lltanθ=k2k1tanθ=|k2k1|d=|Ax0By0C| A21 1A274、圆:标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2;一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-xar参数方

yb

77、过圆x2+y2=r2上点P(x,y)的切线为:x 过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直ｘ轴78x2y2(a>b>0);参数方程xaa ya |PF|=e<1|PF|+|PFd d③e=ca

1a④长轴长为2a1aPF1=a+exPF2=a-exAB2ae(xAxBAB2ae(xAxB ⑦焦点三角形问题常要结合正余弦定义和椭圆定义①方程x

y2a2

②定义:|PF| ||PF|-|PFd d1a③e=c 1aa④四点坐标？x,y范围?实虚轴、渐进线交点为中⑤焦半径、焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右焦点不同);到焦点距离常化为到准线距x=a22b2p=b 80、抛物准①方程 ②定义准③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y范围?轴？焦点F(p,0),准线x=-p 1 1 ⑤通径2p,焦准距81、求最优解注意 ①目标函数值≠截 ②目标函数斜率与区域边界斜率的关系82.对①点(ａ,ｂ)关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x、y=-x、y=x+m、y=-x+m的对称点分别是(ａ,-ｂ),②点(ａ,ｂ)关于直线Ax+By+C=0对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上83、曲线f(x,y)=0关于点(a,b)对称曲线为f(2a-x,2b-y)=0;关于y=x对称曲线为关于轴y=a对称曲线方程为:f(x,2a-y)=0;可用于折叠(反射)问题84、相交弦问①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式、定理、弦长公式;注意二次项系数为0的讨AB

xx yy 1k1k 1a

(a,b>0A(xy、B(xy中点M(xy(1k2)|(1k2)|1(1 k|ayKK

b2y2=2px(p≠0)K＝ABOM a y185、轨迹方程:直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、几何法、代入法(动点P(x,y)依赖86、运用假设技巧以简化计算.如:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设 Ax2+Bx2＝1; 渐进线ya

xxa

(≠0);抛物y2px上点可设为(0,y0);线的另一种假设为x=my+a;解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义

u1kum给出OAOBAB相交,等于已知OAOBAB的中点PMPN0PMN给出APAQBPBQ,等于已知ABPQ的中点三点共线（5）给出以下情形之一：①ABAC使ABAC,且1使OCOAOB,等于已知ABC三点共线OA给出OP

1MAMB0MAMB,即AMBMAMBm0AMBMAMBm0,等于已知AMB（8）给出

MBMPMP是AMBABCD中，给出ABADABAD0ABCDABCD中，给出|ABAD||ABAD|ABCD在ABC中，给出OA2OB2OC2，等于已知O 是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；在ABC中，给出OAOBOC0，等于已知O是ABC的重心（三角形的重心是三角；在ABC中，给出OAOBOBOCOCOAO是ABC的垂心（

在ABC中，给出OPOA()( )等于已知AP通过ABC的内心|AB |AC在ABCaOAbOBcOC0等于已知O是ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点； 在ABCAD2

ABACAD是ABCBC 88、计数原理：分类相加；分步相乘；有序排列，无序组合89、排列数公式:Am=n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)= (n0!=1;An=n!;n.n!=(n+1)!-n!;AmnAm1;AmAm 90、组合数公式： n(n1)(nm （m≤n）,C01;CmCnm;CrCr1CrCn

m(m1)(m2)32 m!(nm 91、主要解题方法：①优先法②法③插空法④间接扣除法⑤隔板法⑥先选后排,先分再排(注意等92、二项式定理(ab)nC0anC1an1bC2an2b2CranrbrC 特别地：(1+x)n=1+C1x+C2x2+…+Crx r 93T=Cran－rr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。要注意区别二项式系数与项的系数 ①对称性:与首末两端等距的二项式系数相等.Cm=C ②中间项二项式系数最大:n为偶数,中间一项;