迎战2021年九年级中考数学考点强化训练-平行四边形

迎战2021中考数学考点强化训练——平行四边形1．如图，△ABC中，MN∥BD交AC于P，∠ACB、∠ACD的平分线分别交MN于E、F．（1）求证：PE＝PF；（2）当MN与AC的交点P在什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；（3）在（2）条件中，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不需要证明）2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示：AP＝；DP＝；BQ＝；CQ＝．（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？3．如图，将Rt△ABC的斜边BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，过点D作AB的垂线，交AB延长线于点E．求证：AB＝DE．4．如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，且BE＝DF．（1）请你写出图中所有的全等三角形；（2）试在上述各对全等三角形中找出一对加以证明．5．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．6．如图：△ABC绕点A逆时针方向旋转得到△ADE，其中∠B＝50°，∠C＝60°．（1）若AD平分∠BAC时，求∠BAD的度数．（2）若AC⊥DE时，AC与DE交于点F，求旋转角的度数．7．四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．（1）如图①所示，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（2）如图②所示，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．8．如图，平行四边形ABCD中，分别过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接CE，AF．（1）求证：BE＝DF；（2）若AB＝4，EF＝，∠AFE＝45°，求△ABD的面积．9．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC边上，且EF垂直平分对角线AC，垂足为O．求证：四边形AECF为菱形．10．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝20°，求∠PFE的度数．11．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1．（2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；②直接写出点B2的坐标为．12．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．（1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2；（3）连接AB2、BB2，求△ABB2的面积．13．如图，△ABC中AB＝AC，E是边AB上一点，过点E作ED∥AC，EF∥BC，在FE延长线上取点G使得BE＝BG，∠C＝30°，BD＝2．（1）求证：四边形BDEG为平行四边形；（2）求D，G两点间的距离．14．已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AE并延长至点G，使EG＝AE，连接CF、CG．（1）如图1，求证：EG＝FC；（2）如图2，连接BG、OG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．15．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，把△ADE沿DE折叠，使点A落在四边形BCED所在的平面上，点A的对应点为A'，已知∠B＝80°，∠C＝70°．（1）求∠A的度数；（2）在图①，图②，图③中，写出∠1，∠2的数量关系，并选择一种情况说明理由．16．如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角α（0°＜α＜45°），得到正方形OA1B1C1．设边B1C1与OC的延长线交于点M，边B1A1与OB交于点N，边B1A1与OA的延长线交于点E，连接MN．（1）求证：△OC1M≌△OA1E；（2）试说明：△OMN的边MN上的高为定值；（3）△MNB1的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）（1）当t＝3时，BP＝；（2）当t＝时，点P运动到∠B的角平分线上；（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．迎战2021中考数学考点强化训练——平行四边形参考答案1．如图，△ABC中，MN∥BD交AC于P，∠ACB、∠ACD的平分线分别交MN于E、F．（1）求证：PE＝PF；（2）当MN与AC的交点P在什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；（3）在（2）条件中，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不需要证明）【答案】证明：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE．∵MN∥BC，∴∠PEC＝∠BCE．∴∠ACE＝∠PEC，PE＝PC．同理：PF＝PC．∴PE＝PF．（2）当P是AC中点时四边形AECF是矩形，∵PA＝PC，PF＝PE，∴四边形AECF是平行四边形．∵PE＝PC，∴AC＝EF，四边形AECF是矩形．（3）当∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形．2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示：AP＝；DP＝；BQ＝；CQ＝．（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？【答案】解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t（2）根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．∴t＝15﹣2t，解得t＝5．∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；（3）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，∵AD＝12cm，BC＝15cm，∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，如图1，∵AD∥BC，∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．即：12﹣t＝2t，解得t＝4s，∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．3．如图，将Rt△ABC的斜边BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，过点D作AB的垂线，交AB延长线于点E．求证：AB＝DE．【答案】证明：∵BC绕点B顺时针旋转90°得线段BD，∴BC＝BD，∠DBC＝90°＝∠CAB，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠DBE＝90°，∴∠ACB＝∠DBE，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，在△ABC与△EDB中，，∴△ABC≌△EDB（AAS），∴AB＝DE．4．如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，且BE＝DF．（1）请你写出图中所有的全等三角形；（2）试在上述各对全等三角形中找出一对加以证明．【答案】解：（1）△ABD≌△CDB；△ABE≌△CDF；△ADE≌△CBF．（2）（以证明△ABD≌△CDB为例，证明其它结论参照给分）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠ABD＝∠CDB，又∵BD＝BD，∴△ABD≌△CDB（SAS）．5．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．【答案】（1）解：连接AD，如图1，∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝AC，∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC，∴BF＝AB，∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，∴DE＝BF，△ABF和△BCE为等边三角形，∴BE＝CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．6．如图：△ABC绕点A逆时针方向旋转得到△ADE，其中∠B＝50°，∠C＝60°．（1）若AD平分∠BAC时，求∠BAD的度数．（2）若AC⊥DE时，AC与DE交于点F，求旋转角的度数．【答案】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠BAC＝70°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝35°；（2）∵△ABC绕点A逆时针方向旋转得到△ADE，∴∠E＝∠C＝60°，旋转角为∠CAE，∵AC⊥DE，∴∠CAE＝30°，∴旋转角为30°．7．四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．（1）如图①所示，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（2）如图②所示，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．【答案】解：（1）∵BE∥AD，∴∠BEC＝∠D＝80°，∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°．又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE＝40°，∴∠C＝180°﹣∠EBC﹣∠BEC＝180°﹣40°﹣80°＝60°．（2））∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D＝360°，∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D＝360°﹣140°﹣80°＝140°．∵∠EBC＝∠ABC，∠BCE＝∠BCD，∴∠E＝180﹣∠EBC﹣∠BCE＝180°﹣（∠ABC+∠BCD）＝180°﹣×140°＝110°．8．如图，平行四边形ABCD中，分别过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接CE，AF．（1）求证：BE＝DF；（2）若AB＝4，EF＝，∠AFE＝45°，求△ABD的面积．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF；（2）解：∵AE⊥BD，∠AFE＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝EF＝，∴BE＝＝＝，由（1）得：DF＝BE＝，∴BD＝BE+EF+DF＝2+，∴△ABD的面积＝BD×AE＝×（2+）×＝+．9．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC边上，且EF垂直平分对角线AC，垂足为O．求证：四边形AECF为菱形．【答案】解：∵EF垂直平分AC，∴AO＝OC，AE＝CE，AF＝CF，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠4＝∠3，∴AF＝AE，∴AE＝EC＝CF＝FA，∴四边形AECF是菱形．10．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝20°，求∠PFE的度数．【答案】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，∴PE是△ABD的中位线，∴PE＝AD，同理，PF＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF＝20°．11．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1．（2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；②直接写出点B2的坐标为．【答案】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）①画如图，△A2B2C2为所作；②点B2的坐标为（﹣3，3）．故答案为（﹣3，3）．12．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．（1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2；（3）连接AB2、BB2，求△ABB2的面积．【答案】解：（1）线段A1B1如图所示；（2）线段A1B2如图所示；（3）S＝4×4﹣×2×2﹣×2×4﹣×2×4＝6．13．如图，△ABC中AB＝AC，E是边AB上一点，过点E作ED∥AC，EF∥BC，在FE延长线上取点G使得BE＝BG，∠C＝30°，BD＝2．（1）求证：四边形BDEG为平行四边形；（2）求D，G两点间的距离．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵EF∥BC，ED∥AC，∴∠G+∠GBD＝180°，∠BEG＝∠ABC，∠EDB＝∠C，∴∠BEG＝∠EDB＝∠ABC，又∵BE＝BG，∴∠G＝∠BEG，∴∠G＝∠EDB，∴∠EDB+∠GBD＝180°，∴BG∥DE，又∵EF∥BC，∴四边形BDEG为平行四边形；（2）解：过E作EM⊥BC于M，过G作GH⊥BC于H，连接DG，如图所示：由（1）得：∠EDB＝∠ABC＝∠C＝30°，∴BE＝DE，∵EM⊥BC，∴BM＝DM＝BD＝1，EM＝BM＝，BE＝2EM＝，∵BG＝BE，∴BG＝，∵BG∥DE，∴∠GBH＝∠EDB＝30°，∵GH⊥BC，∴GH＝BG＝，BH＝GH＝1，∴DH＝BD+BH＝3，∴DG＝＝＝，即D，G两点间的距离为．14．已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AE并延长至点G，使EG＝AE，连接CF、CG．（1）如图1，求证：EG＝FC；（2）如图2，连接BG、OG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝FC，∵EG＝AE，∴EG＝FC；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，AB＝CD，S四边形ABCD＝4S△ABO，∵EG＝AE，点E为OB的中点，∴AG、OB互相平分，∴四边形ABGO是平行四边形，∴S△ABO＝S△BGO，∴S四边形ABGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，∵OA＝OC，EG＝AE，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∵四边形ABGO是平行四边形，∴BG∥AC，∴四边形BOCG是平行四边形，∴S四边形BGCO＝2S△BGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，∵四边形ABGO是平行四边形，∴GO∥AB，GO＝AB，∵AB∥CD，∴GO∥CD，GO＝CD，∴四边形CDOG是平行四边形，∴S四边形CDOG＝2S△CDO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴EF＝BD＝OD，∵四边形CDOG是平行四边形，∴CG∥EF，CG＝OD，∴EF＝CG，∴四边形EFCG是平行四边形，∴S四边形EFCG＝S四边形CDOG＝S四边形ABCD，∴图中的平行四边形ABGO、平行四边形BOCG、平行四边形CDOG、平行四边形EFCG四个平行四边形，每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．15．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，把△ADE沿DE折叠，使点A落在四边形BCED所在的平面上，点A的对应点为A'，已知∠B＝80°，∠C＝70°．（1）求∠A的度数；（2）在图①，图②，图③中，写出∠1，∠2的数量关系，并选择一种情况说明理由．【答案】解：（1）∵∠B＝80°，∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣（80°+70°）＝30°；（2）如图①，∵把△ADE沿DE折叠，使点A落在四边形BCED所在的平面上，点A的对应点为A'，∴∠A′＝∠A＝30°，∴∠3＝180°﹣∠A′﹣∠2＝150°﹣∠2，∵∠1+∠3+∠B+∠C＝360°，∴∠1+150°﹣∠2+80°+70°＝360°，∴∠1﹣∠2＝60°；如图②，∵把△ADE沿DE折叠，使点A落在四边形BCED所在的平面上，点A的对应点为A'，∴∠A′＝∠A＝30°，∴∠AEA′+∠ADA′＝360°﹣∠A﹣∠A′＝300°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠AEA′﹣∠ADA′＝60°；如图③，方法同①，∠2﹣∠1＝60°．16．如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角α（0°＜α＜45°），得到正方形OA1B1C1．设边B1C1与OC的延长线交于点M，边B1A1与OB交于点N，边B1A1与OA的延长线交于点E，连接MN．（1）求证：△OC1M≌△OA1E；（2）试说明：△OMN的边MN上的高为定值；（3）△MNB1的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．【答案】（1）证明：∵正方形OABC，∴∠A1OE+∠A1OM＝∠C1OM+∠A1OM＝90°，∴∠A1OE＝∠C1OM，在△OC1M和△OA1E中，，∴△OC1M≌△OA1E（ASA）；（2）解：∵△OC1M≌△OA1E（已证），∴OE＝OM，在△EON和△MON中，，∴△EON≌△MON（SAS），∴EN＝MN，∴△OMN的边MN上的高等于△OEN边EN上的高，即OA1的长a，为定值；（3）p不会发生变化，是定值2a．理由如下：根据（1）（2），△OC1M≌△OA1E，△EON≌△MON，∴MN＝EN，A1E＝C1M，∴△MNB1的周长p＝MN+NB1+MB1，＝EN+NB1+MB1，＝EB1+MB1，＝A1E+A1B1+MB1，＝C1M+A1B1+MB1，＝A1B1+B1C1，∵正方形OABC的边长为a，∴A1B1＝B1C1＝a，∴p＝2a，是定值．17．如图，在四边形AB