《金新学案》高考数学总复习 3.2等差数列 文 大纲人教

第2课时等差数列1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义如果一个数列从第

项起，每一项与它的前一项的差等于

，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的

，通常用字母

表示，定义的表达式为

.2同一个常数公差dan＋1－an＝d2．等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)若m＋n＝p＋q，则

.特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为

.(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．am＋an＝ap＋aqkd1．(2010·重庆卷)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(

)A．5

B．6C．8D．10解析：在等差数列{an}中，2a5＝a1＋a9＝10，∴a5＝5.答案：

A判断或证明数列{an}为等差数列的常见方法：(1)利用定义：an＋1－an＝d(常数)(n∈N)；(2)利用等差中项：2an＋1＝an＋an＋2；(3)利用通项公式：an＝dn＋c(d、c为常数)，d为公差．当d≠0时，通项公式an是关于n的一次函数；d＝0时为常函数，也是等差数列；(4)利用前n项和公式：Sn＝an2＋bn(a、b为常数)．若一个数列的前n项和为关于n的二次函数且不含常数项，则这个数列为公差不等于零的等差数列；若此时的a＝0，则此数列为常数列．2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．1．等差数列的单调性等差数列公差为d，若d＞0，则数列递增；若d＜0，则数列递减；若d＝0，则数列为常数列．2．等差数列的最值若{an}是等差数列，求前n项和的最值时，(3)除上面方法外，还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n∈N．已知数列{an}是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，求n；(2)若Sn＝20，S2n＝38，求S3n；(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．[变式训练]

3.在等差数列{an}中，Sn表示其前n项和．(1)若a3＋a17＝10，求S19的值；(2)若S4＝124，Sn－4＝54，Sn＝210，求项数n；(3)若S4＝1，S8＝4，求a17＋a18＋a19＋a20的值．1．等差数列的判断方法有(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数){an}是等差数列．(2)中项公式：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N){an}是等差数列．(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数){an}是等差数列．(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数){an}是等差数列．2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n项和公式，在两个公式中共五个量a1、d、n、an、Sn，已知其中三个量可求出剩余的量，而a1与d是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n项和公式．3．要注意等差数列通项公式和前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，S2n－1＝(2n－1)an等．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a，a＋d，a＋2d；②a－d，a，a＋d；③a－d，a＋d，a＋3d等，可视具体情况而定．通过对近三年高考试题的统计分析可以看出，本节内容命题的规律总结如下：1．考查热点：等差数列的性质．2．考查形式：多以选择题或填空题的形式出现，证明一个数列为等差数列常以解答题的形式出现．3．考查角度：一是对等差数列定义的考查，多以证明题的形式出现．二是对等差数列的通项公式、前n项和公式的考查，涉及到五个量a1、an、Sn、n、d，可知三求二．三是对等差数列性质的考查，需对常用的性质和结论加强记忆，全面掌握．4．命题趋势：基本量运算体现数列的通性通法，淡化特殊的运算技巧．以一次函数、二次函数为背景考查数列的最值问题是一个趋势．(12分)(2010·重庆卷)已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．(1)求通项an及Sn；(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.[阅后报告]本题考查了等差数列的基本运算，试题难度较小，但第(2)问仍有难度，要利用分组法求和，关于分组求法以后再讲．1．(2010·全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(

)A．14

B．21C．28D．35解析：∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝2