基础资产价格的变动随机微分方程

第九章基础资产价格的变动-------随机微分方程第一节引言第二节随机微分方程的求解第三节随机微分方程的主要形式第四节股票价格对数正态分布的特性

第一节引言随机微分方程即将随机价格的变动分解为可预测和不可预测两部分，且分解过程用到在时刻t的信息集。对于不同的市场参与者来说他拥有不同的信息集，那么随机微分方程的含义不同。如：假如一个市场参与者拥有“內幕信息”，可事先获知影响价格变动的所有随机事件，则在这种（非现实）情况下上式中的扩展项等于零。首页随机微分方程的具体形式以及误差项的定义都要依赖于信息集即维纳过程与信息集相对应。原因参与者知道将如何变化，他就能完全预测这一变量，即对任一时刻而言都有因此这类参与者的随机微分方程可写作而其他参与者的随机微分方程则是不变。表明首页随机微分方程可用于对衍生金融资产定价的原因对于标的资产的价格是如何随时间而发生变动，此方程不但给出一个规范的模型，而且其推导过程与金融市场中的交易者行为是一致的。实际上：在一个给定的交易日中，随着时间的推移，交易者总是不断地预测资产的价格并随时记录新事件的发生。这些事件中总会包含一些不可预测的部分，但过后这些不可预测部分也会被观测，此时这些事件均已成为已知事件，并变为交易者拥有的新信息集的一部分。首页随机微分方程模型一般条件即随着时间地推移，主参数和扩展参数不会发生太大幅度地变动。返回首页第二节随机微分方程的求解随机微分方程所含未知数是一个随机过程，因而求其解就是要找寻一个随机过程，使其运动轨迹及发生概率都与其它需准确测量的轨迹相关联。一、解的含义首页观察在很短的且不连续的时间间隔上的有限差若此方程的解是一个随机过程，则意味着1、如何找到一系列用ｋ来标识的随机变量，以满足上式中的增量2、能否知道满足方程的随机过程的时态函数和分布函数。3、对任一给定的和，能否找到一系列的随机数对于所有的ｋ而言都满足上面的等式。首先首页再寻求当时间间隔h趋于0时的方程的解其次如果连续的时间过程，满足下列方程则定义是随机微分方程的解。首页则随机过程：二、解的类型1．强解已知主参数，扩展参数以及随机变动项称为随机微分方程的强解。强解与一般微分方程的解是相似的注首页2．弱解其中是是一一维纳过程.求得过程已知主参数，，扩扩展参数使其满足下面面随机微分方方程则称是是随机机微分方程的的弱解。首页与的的区别相同点都是均值为0，方差等于于的的维纳过过程；密度函数的表表达式相同。。从这个意义上上来讲，这两两个随机误差差项之间不存存在什么区别别。不同点限定二者的一一系列信息集集不同。虽然基本的密密度函数是相相同的，但如如果被不同的的信息集来衡衡量，那实际际上这两个随随机过程代表表了现实生活活中根本不同同的两种现象象。说明1首页其中的扩展项项包含外生变变量，，它表示影影响价格进行行完全不可预预测变动的极极其微小的事事件。这一系系列小事件形形成的“历史史”就是ｔ时刻的信息集集。。计算强解是在在给定时时，求满足方方程的值，，也就是说为得得到强解，需需要知道集合合，强强解与与是是相相互对应的。。计算弱解时时不需要考考虑生成信息息集的的过程，但但需考虑与过过程的的相关联。。又过程可可生成另外外的信息集，，且它是是的的鞅。说明2因此，弱解需需要满足首页强解和弱解具具有相同的主主项和扩展项项，因此和和具具有相似的的统计特性。。给定均值和和方差，两解解虽然有所不不同，但我们们并不能把二二者区别开来来。若误差项已已知，则金金融分析家会会选择强解。。三、解的选择择但是在运用解解随机微分方方程的办法来来对衍生金融融产品进行定定价时，并不不能准确获悉悉过程的的实际际情况，我们们能够运用的的只有其波动动率和波动趋趋势，因而，，在这种情况况下给衍生产产品定价，应应运用弱解。。首页四、随机微分分方程解的证证明看一个特殊的的随机微分方方程：即在对看涨期期权定价之中中运用的布莱莱克——休斯斯模型。变形首先计算由于普通积分首页而虽含有一个随随机项，但的的系数数是一个不随随时间而改变变的常数。因故即随随机机微微分分方方程程的的任任何何解解都都必必须须满满足足这这一一积积分分方方程程下面面用用伊伊藤藤定定理理来来解解决决这这一一方方程程。。考察察备备选选项项：：首页页用伊伊藤藤定定理理来来计计算算随随机机微微分分即若则这这正正是是给给定定的的随随机机微微分分方方程程。。因此此，，求求得得随随机机微微分分方方程程的的强强解解为为：：首页页要求求随随机机微微分分方方程程的的强强解解，，应应考考虑虑备备选选解解法法，，即即找找出出依依赖赖于于参参数数的的函函数数，，如如然后后运运用用伊伊藤藤定定理理来来检检验验这这一一备备选选项项是是否否满满足足随随机机微微分分方方程程或或相相应应的的积积分分方方程程。。注五、、资资产产现现值值的的应应用用假设设是是某某资资产产的的价价格格，，其其价价值值的的增增加加带带有有不不确确定定性性，，即即则此此随随机机微微分分方方程程强强解解的的备备选选答答案案是是首页页且最最有有效效的的预预测测值值是是条条件件期期望望：：则资资产产的的现现价价为为：：即现现值值等等于于时时刻刻Ｔ的预预期期价价值值用用折折现现率率ｒ来进进行行折折现现。。首页页要证证明明结结论论成成立立，，需需先先计计算算由于于故求的的方方法法：：（（两两种种））（1））其中中表示示维维纳纳过过程程的的条条件件密密度度函函数数利用用维维纳纳过过程程的的密密度度函函数数直直接接求求。。（（很很难难））首页页（2））利用用伊伊藤藤定定理理间间接接来来求求。。（（简简单单））首先先，，令令其次次，，用用伊伊藤藤定定理理再次次，，考考虑虑相相应应的的积积分分方方程程最后后，，两两边边求求均均值值而首页页故若记记则有有所以以且故得得即从而而首页页即所以以首页页特别别即当当时时间间t=0时时，，资资产产价价格格等等于于预预期期将将来来的的价价格格用用折折现现率率r来来进进行行折折现现。。返回回首页页第三三节节随随机机微微分分方方程程的的主主要要形形式式本节节介介绍绍几几种种特特殊殊的的随随机机微微分分方方程程，，并并说说明明它它们们是是代代表表何何种种资资产产的的价价格格以以及及是是如如何何运运用用的的。。一、、常常系系数数线线性性随随机机微微分分方方程程形式式为为：：其中中是是变变量量t的标标准准维维纳纳过过程程随机机微微分分方方程程中中，，主主系系数数及及扩扩展展系系数数不不随随时时间间的的变变动动而而变变化化，，即即与与信信息息集集是是不不相相关关的的。。首页页方差差适用用条条件件在短短暂暂的的时时间间间间隔隔h中，，价价格格变变动动的的均均值值（1））资资产产价价格格比比较较稳稳定定；；（2））价价格格变变化化趋趋势势是是线线性性的的；；（3））波波动动项项不不是是无无限限大大；；（4））资资产产价价格格不不存存在在一一种种规规律律的的““跳跳跃跃性性””。。常系系数数的的随随机机微微分分方方程程描描述述的的是是资资产产价价格格围围绕绕线线性性趋趋势势进进行行的的一一种种波波动动。。首页页二、、几几何何随随机机微微分分方方程程布莱莱克克和和休休斯斯模模型型形式式为为：：即主主参参数数和和扩扩展展参参数数都都依依赖赖于于时时刻刻t所掌掌握握的的信信息息，，且且趋趋势势变变动动和和标标准准变变动动与与是是成成正正比比的的。。变形形即说说明明主主项项与与扩扩展展项项对对于于的的相相对对变变动动仍仍是是一一个个不不变变的的常常数数。。几何模模型描描述的的是资资产价价格价价格在在一种种指数数趋势势上的的随机机波动动。对对大多多数资资产价价格来来说，，这种种指数数趋势势似乎乎更符符合实实际。。首页三、平平方根根过程程形式为为：遵循指指数变变动趋趋势，，但标标准差差则是是的的平平方根根的函函数。。方差即方差差与成成正比比的。。在实实际情情况中中，这这会增增大了了相对对于的的变变动。。误差项项的方方差与与是是成成比例例的。。因此此，若若随随的的增大大，资资产价价格的的变动动率不不是迅迅速增增加，，运用用此模模型更更为合合适。。方差首页四、均均值调调整过过程形式为为：若比比均均值小小，则则，，这就就使得得倾倾向向于为为正数数，故故最最终终回复复到均均值。。说明均值调调整过过程有有一变变动主主趋势势，但但此趋趋势的的偏差差不是是完全全随机机的。。过程程可可与长长期趋趋势发发生较较小的的偏离离，但但最终终会回回复到到正常常趋势势，这这种偏偏离的的平均均度是是由参参数来来控控制的的，但但参数数变小小时，，偏离离的时时间会会变长长。这这时资资产的的价格格会显显示出出一些些可预预见的的周期期性，，使得得模型型与市市场的的有效效性假假设相相违背背。首页五、奥伦斯坦坦——乌伦贝贝克过程形式为：其中主项与负负相关，系数数为；；扩展项项属于常参数数类型。属于于均值调整随随机微分方程程的一个特例例。说明这个模型表示示资产价格在在0附近波动动，并且其偏偏离最终会回回到长期的0均值状态，，参数控控制这种偏偏离的时间，，越越大，回回复均值值的速度越快快。首页六、随机波动动率随机微分方程程的主参数和和扩展参数可可通过随机性性获得，这对对于衍生金融融产品而言，，更具有应用用价值。因为为波动率不仅仅随时间的变变动而变动，，而且在给定定的价格下下波波动也是随机机的。如设资产价格的的随机微分方方程：的变动遵循随随机微分方程程：其中维纳过程程，，是是相关关的首页资产波波动率率的长长期均均值为为，，但在在任一一时刻刻t，实际际的波波动率率可能能会偏偏离这这一长长期均均值，，调整整系数数为则市场场参与与者可可以根根据这这些因因素，，更好好地计计算预预期的的资产产价格格及预预期的的价格格波动动率。。运用这这种渐渐进的的随机机微分分方程程，我我们可可获得得愈来来愈复复杂的的模型型以反反映现现实生生活中中的金金融现现象。。增量对对变变动率率有不不可预预测的的冲击击，它它与对对资产产价格格的的冲冲击是是不相相关的的。返回首页下面应应用伊伊托定定理来来推导导变变化化所遵遵循的的随机机过程程。第四节节股股票票价格格对数数正态态分布布的特特性如果股股票价价格S遵循循几何何布朗朗运动动，即即定义由于所以有有伊托托公式式可得得，函函数G所遵循循的过过程为为首页页由于于和和是是常常数数，，所所以以上上式式表表明明G遵遵循循的的是是推推广广的维维纳纳过过程程。。它它具具有有常常数数漂漂移移率率和和常常数数方方差差率率。。从而表明明，从时时间t到到T期间间，的的变化化呈正态态分布特特征，其其均值为为方差为若令S表示现在在时间t的股票票价格，，表表示在未未来某时时T的股股票价格格，则在在时间区区间中中的变化就就是首页即有其中表表示示均值为为m，标准差差为n的正态分分布。根据正态态分布的的特征，，则下式式也成立立：这表明服服从正态态分布，，其标准准差与成成比例，，也就是是说股票票价格对对数变化化的不确确定性是是以标准准差来估估算的，，且与估估算的时时间长短短的平方方根成比比例。首页例6设有某种种股票，，其初始始价格为为40美美元，年年预期收收益率为为16%，年波波动性为为20%。六个个月后，，该股票票价格的的概率分分布是什什么？计计算该分分布的均均值和标标准差（（95%的置信信区间））。解在六个月月后，股股票价格格的的随随机分布布服从对对数正态态分布，，即有故由于一个个正态变变量，位位于均值值的标准准差为1.96范围以以内的概概率为95%，，所以的的置信区区间为首页故即是说，，在六个个月之后后股票价价格在32.55和56.56之间间的概率率为95%。由于服服从正正态分布布，从而而具具有对对数正态态分布的的特征，，因此可可以得到到的的期望值值和方差差：首页例7假设某某种股股票当当前的的价格格为20美美元，，每年年的预预期收收益率率为20%，每每年的的波动动率为为40%，，则在在一年年后股股票价价格的的均值值和方方差是是多少少？解一年后后股票票价格格服从从正态态分布布，其其均值值为方差为为首页9、静静夜夜四四无无邻邻，，荒荒居居旧旧业业贫贫。。。。1月月-231月月-23Thursday,January5,202310、雨中中黄叶叶树，，灯下下白头头人。。。20:35:1520:35:1520:351/5/20238:35:15PM11、以我独独沈久，，愧君相相见频。。。1月-2320:35:1520:35Jan-2305-Jan-2312、故人江海海别，几度度隔山川。。。20:35:1620:35:1620:35Thursday,January5,202313、乍见翻翻疑梦，，相悲各各问年。。。1月-231月-2320:35:1620:35:16January5,202314、他乡生白白发，旧国国见青山。。。05一月月20238:35:16下下午20:35:161月-2315、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。一月238:35下下午午1月-2320:35January5,202316、行行动动出出成成果果，，工工作作出出财财富富。。。。2023/1/520:35:1620:35:1605January202317、做前，，能够环环视四周周；做时时，你只只能或者者最好沿沿着以脚脚为起点点的射线线向前。。。8:35:16下午午8:35下午午20:35:161月-239、没有失失败，只只有暂时时停止成成功！。。1月-231月-23Thursday,January5,202310、很多多事情情努力力了未未必有有结果果，但但是不不努力力却什什么改改变也也没有有。。。20:35:1620:35:1620:351/5/20238:35:16PM11、成功就就是日复复一日那那一点点点小小努努力的积积累。。。1月-2320:35:1620:35Jan-2305-Jan-2312、世世间间成成事事，，不不求求其其绝绝对对圆圆满满，，留留一一份份不不足足，，可可得得无无限限完完美美。。。。20:35:1620:35:1620:35Thursday,January5,202313、不知香积积寺，数里里入云峰。。。1月-231月-2320:35:1620:35:16January5,202314、意志坚强强的人能把把世界放在在手中像泥泥块一样任任意揉捏。。05一月月20238:35:16下下午20:35:161月-2315、楚塞三三湘接，，荆门九九派通。。。。一月238:35下午午1月-2320:35January5,202316、少年十五五二十时，，步行夺得得胡马骑。。。2023/1/520:35:1620:35:1605January202317、空空山山新新雨雨后后，，天天气