1菱形的性质与判定同步练习（Word版含答案）

菱形的性质与判定一、选择题1、下列说法中不正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等2、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO=20°，则∠CAD的度数是（）A.20°B.25°C.30°D.40°3、已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是()A.16 B.16 C.8 D.84、已知▱ABCD,给出下列条件:①AC=BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC⊥BD,添加其中之一能使▱ABCD成为菱形的条件是()A.①③ B.②③ C.③④ D.①②③5、如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（）A．5cm B． C． D．4cm6、如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（）A．AD⊥BC B．AD为BC边上的中线 C．AD＝BD D．AD平分∠BAC7、如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.38、如图平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（）A．35° B．45° C．50° D．55°9、如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.410、如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论中，正确的结论有（）个．①EF⊥AC；②四边形ADFE是菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是()A．20B．24C．40D．4812、如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH=．13、如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AD＝CB，下面四个结论中：①AD∥CB；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC，一定正确的结论的序号是．14、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．15、如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2cm，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，EF，AF，则△AEF的周长为________16、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，BG＝5，则CF的长为．17、如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH；②可以得到无数个矩形EGFH；③可以得到无数个菱形EGFH；④至少得到一个正方形EGFH．所有正确结论的序号是．18、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E，交BD于G，过点D作DF⊥BC于F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四边形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正确的结论是．三、解答题19、如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．（1）求证：四边形AECF是菱形．（2）若AB＝6，BC＝10，F为BC中点，求四边形AECF的面积．20、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°．求AE的长．21、已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连结ME．（1）求证：四边形AEPM为菱形；（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？22、如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，点E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB＝3，BC＝5，求EF的长．23、如图，已知在△ADE中，∠ADE＝90°，点B是AE的中点，过点D作DC∥AE，DC＝AB，连结BD、CE．（1）求证：四边形BDCE是菱形；（2）若AD＝8，BD＝6，求菱形BDCE的面积．24、在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形（△CDE除外）25、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．26、如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，如图2所示，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．（答案）一、选择题1、下列说法中不正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等【解析】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；D．菱形的邻边相等；正确；故选：C．2、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO=20°，则∠CAD的度数是（）A.20°B.25°C.30°D.40°【解析】试题解析：∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴OH=OB=BD，∵∠DHO=20°，∴∠OHB=90°-∠DHO=70°，∴∠ABD=∠OHB=70°，∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°．故选A.3、已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是()A.16 B.16 C.8 D.8【详解】在菱形ABCD中，有AB=AC∵∠BAD＝120°,∴∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形,即AB=AC=BC=4作AE⊥BC于点E,∴BE=2，AE=∴S菱形ABCD=BC·AE=4×=故选C4、已知▱ABCD,给出下列条件:①AC=BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC⊥BD,添加其中之一能使▱ABCD成为菱形的条件是()A.①③ B.②③ C.③④ D.①②③试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，①若AC=BD，可得四边形ABCD是矩形，故①错误，②中∠BAD=90°，得到一矩形，不是菱形，所以②错误，③中一组邻边相等，也可得到一菱形，所以③成立，④若AC⊥BD，则可得其为菱形，④成立，故选C．5、如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（）A．5cm B． C． D．4cm【解析】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR＝AS，∵AR•BC＝AS•CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOB中，∵OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，故选：A．6、如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（）A．AD⊥BC B．AD为BC边上的中线 C．AD＝BD D．AD平分∠BAC【解析】解：添加AD平分∠BAC可判定四边形AEDF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠ADE，∴∠DAB＝∠ADE，∴AE＝DE，∴平行四边形AEDF是菱形，故选：D．7、如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【详解】∵由已知和平移的性质，△ABC、△DCE都是是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD,∴∠ACD=180°－∠ACB－∠DCE=60°.∴△ACD是等边三角形.∴AD=AC=BC.故①正确；由①可得AD=BC，∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形.∴BD、AC互相平分，故②正确.由①可得AD=AC=CE=DE，故四边形ACED是菱形，即③正确.综上可得①②③正确，共3个.故选D8、如图平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（）A．35° B．45° C．50° D．55°【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD＝DC，∴四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝55°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°，故选：A．9、如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选C．10、如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论中，正确的结论有（）个．①EF⊥AC；②四边形ADFE是菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①如图，连接CF，∵∠ACB＝90°，F为AB中点，∴CFAB＝AF，∴点F在AC的垂直平分线上，∵△ACE是等边三角形，∴AE＝CE，∴点E在AC的垂直平分线上，∴EF⊥AC，①正确；②∵△ABD是等边三角形，F是AB中点，∴DF⊥AB，∴AD＞DF，∴四边形ADFE不可能是菱形，②不正确；③∵△ABD是等边三角形，∴AB＝AD＝BD，∠DAB＝60°，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠DAB＝∠ABC＝60°，∴AD∥BC，∵AC⊥EF，∠ACB＝90°，∴EF∥AD，∴AD∥EF，∵△ACE是等边三角形，EF⊥AC，∴∠AEC＝∠CAE＝60°，∠AEF＝30°，∴EF＝2AF＝AB，∴AD＝EF，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AG=AF=AB=AD，∴AD＝4AG，③正确；④∵四边形ADFE是平行四边形，∴AE＝DF，AD＝FE，∵AD＝BD，∴BD＝FE，又∵AF＝FB，∴△DBF≌△EFA（SSS），④正确；正确的结论有3个，故选：C．二、填空题11、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是()A．20B．24C．40D．48[解析]由菱形对角线性质知，AO＝eq\f(1,2)AC＝3，BO＝eq\f(1,2)BD＝4，且AO⊥BO，则AB＝eq\r(AO2＋BO2)＝5，故这个菱形的周长＝4AB＝20.12、如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH=．试题分析：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵AC=8，BD=6，∴OA=AC=×8=4，OB=BD=×6=3，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=5，∵DH⊥AB，∴菱形ABCD的面积=AC•BD=AB•DH，即×6×8=5•DH，解得DH=．13、如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AD＝CB，下面四个结论中：①AD∥CB；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC，一定正确的结论的序号是．【解答】解：∵直线l是四边形ABCD的对称轴，∴AD＝AB，CD＝CB，∵AD＝BC，∴AD＝CD＝AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴①AD∥CB，正确；②AC⊥BD，正确；③AO＝OC，正确；④AB不一定垂直于BC，错误．故正确的是①②③．故答案为：①②③．14、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．解：条件是AD＝BC．∵EH、GF分别是△ABC、△BCD的中位线，∴EH∥＝BC，GF∥＝BC，∴EH∥＝GF，∴四边形EFGH是平行四边形．要使四边形EFGH是菱形，则要使AD＝BC，这样，GH＝AD，∴GH＝GF，∴四边形EFGH是菱形．15、如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2cm，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，EF，AF，则△AEF的周长为________[解析]由“边角边”可证明△ABE≌△ADF，则AE＝AF，故△AEF为等腰三角形．根据菱形的性质与∠B＝60°，AB＝2cm，可得∠BAE＝∠DAF＝30°，所以∠EAF＝60°，AE＝eq\r(3)cm，所以△AEF为等边三角形且边长为eq\r(3)cm，所以其周长为3eq\r(3)cm.16、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，BG＝5，则CF的长为．【解答】解：∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD＝DF=AC，∴四边形BGFD是菱形，∴GF＝BG＝5，则AF＝13﹣5＝8，AC＝2×5＝10，∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，∴AF2+CF2＝AC2，即82+CF2＝102，解得：CF＝6．故答案是：6．17、如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH；②可以得到无数个矩形EGFH；③可以得到无数个菱形EGFH；④至少得到一个正方形EGFH．所有正确结论的序号是．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，∴GH过点O，GH⊥EF，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，∴△AHO≌△CGO（AAS），∴HO＝GO，∴四边形EGFH是平行四边形，∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形，∵点E是AB上的一个动点，∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，故①③正确；若四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°；∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°∴∠BOG＝∠COF；在△BOG和△COF中，∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG＝OF，同理可得：EO＝OH，∴GH＝EF；∴四边形EGFH是正方形，∵点E是AB上的一个动点，∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，故答案为：①③④．18、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E，交BD于G，过点D作DF⊥BC于F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四边形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正确的结论是．【解答】解：①∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∵AE⊥BC，∴∠C+∠CAE＝90°，∴∠BAE＝∠C，①正确；②作AM∥BD交CB的延长线于M，如图所示：则∠M＝∠CBD，∠BAM＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠M＝∠BAM，∴AB＝BM，∵AM∥BD，∴AG：GE＝BM：BE，∴AG：GE＝AB：BE，∵S△ABG：S△EBG＝AG：GE，∴S△ABG：S△EBG＝AB：BE；②正确；④∵∠AGD＝∠ABD+∠BAE，∠ADG＝∠CBD+∠C，∠BAE＝∠C，∠CBD＝∠ABD，∴∠AGD＝∠ADG，∴AG＝AD，∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC．DF⊥BC，∴AD＝DF，∴AG＝DF，∵AE⊥BC，∴AG∥DF，∴四边形AGFD是平行四边形，又∵AG＝AD，∴四边形AGFD是菱形；④正确；⑤∵四边形AGFD是菱形；∴∠AGD＝∠FGD，GF＝DF，∠ADB＝∠FDB，∴∠AGB＝∠FGB，在△ABG和△FBG中，，∴△ABG≌△FBG（AAS），∴∠BAE＝∠BFG，∵∠BAE＝∠C，∴∠BFG＝∠C，∴GF∥CH，∵GH∥BC，∴四边形GFCH是平行四边形，∴GF＝CH，∴CH＝DF，⑤正确；③∵∠ADF＝2∠ADB，当∠C＝30°，∠CDF＝60°，则∠ADF＝120°，∴∠ADF＝2∠CDF；③不正确；故答案为：①②④⑤．三、解答题19、如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．（1）求证：四边形AECF是菱形．（2）若AB＝6，BC＝10，F为BC中点，求四边形AECF的面积．【解答】证明：（1）如图，∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝BC，且AD∥BC，DE＝BF，∴AE＝CF，且AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF为菱形；（2）∵四边形AECF是菱形，∴AO＝CO，∵F为BC中点，∴FO∥AB，FOAB＝3，∴∠BAC＝∠FOC＝90°，EF＝6，∵AB＝6，BC＝10，∴AC＝8，∴S菱形AECF＝24．20、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°．求AE的长．【解析】（1）证明：在菱形ABCD中，OCAC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．∴在矩形OCED中，CE＝OD．在Rt△ACE中，AE．21、已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连结ME．（1）求证：四边形AEPM为菱形；（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？（1）证明：因为EF∥AB，PM∥AC，所以四边形AEPM为平行四边形． 因为AB＝AC，AD平分∠CAB，所以∠CAD＝∠BAD，所以AD⊥BC因为∠BAD＝∠EPA，所以∠CAD＝∠EPA， 因为EA＝EP，所以四边形AEPM为菱形．（2）解：P为EF中点时，．∵四边形AEPM为菱形，∴AD⊥EM，∵AD⊥BC，∴EM∥BC，又EF∥AB，∴四边形EFBM为平行四边形．作EN⊥AB于N，则22、如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，点E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB＝3，BC＝5，求EF的长．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，∴AE＝CE＝BC，∴四边形AECD是菱形；（2）解：过A作AH⊥BC于点H，如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝＝＝4，∵S△ABC＝BC•AH＝AB•AC，∴AH＝＝＝，∵点E是BC的中点，BC＝5，四边形AECD是菱形，∴CD＝CE＝，∵S▱AECD＝CE•AH＝CD•EF，∴EF＝AH＝．23、如图，已知在△ADE中，∠ADE＝90°，点B是AE的中点，过点D作DC∥AE，DC＝AB，连结BD、CE．（1）求证：四边形BDCE是菱形；（2）若AD＝8，BD＝6，求菱形BDCE的面积．【解答】（1）证明：在Rt△ADB中，∵∠ADB＝90°，AB＝BE，∴DBAB＝AB＝BE，∵DC∥BE，DC＝AB＝BE，∴四边形BECD是平行四边形，∵BD＝BE，∴四边形BECD是菱形．（2）解：连接BC交DE于O．∵四边形DBEC是菱形，∴BC⊥DE，∴BO∥AD，∵AB＝BE，∴DO＝OE，∴OBAD＝4，OD2，∴BC＝8，DE＝4，∴S菱形BDCE•BC•DE＝16．24、在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形（△CDE除外）【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，∴AB＝AD，设AC、BD相交于点O，又∵AC平分∠BAD，∴BO＝DO，AC⊥BD，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵DE⊥BD，AC⊥BD，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，∴图中所有与△CDE面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．25、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．解：（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE．∴△AOF≌△COE．∴AF＝EC（3）四边形BEDF可以是菱形．理由：如图，连接BF，DE，由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，∴EF与BD互相平分．∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．在Rt△ABC