1余弦定理正弦定理的应用【新教材】2022年苏教版高中数学必修同步教案（学生版教师版）

编号：019课题:§余弦定理、正弦定理的应用目标要求1、理解并掌握解三角形中的常见术语问题．2、理解并掌握测量距离、高度问题．3、理解并掌握测量角度问题．4、理解并掌握正弦定理、余弦定理的综合应用问题.学科素养目标解三角形是高中数学的重要教学内容，它涉及三角形的边、角、面积，以及三角函数、圆等知识，综合性较强.在解三角形的教学中，重点讲解如何运用正弦定理和余弦定理解三角形问题，以及判断三角形的解.做好解三角形的教学，不但可以提高学生的解题能力，而且还对学生的数学思路的发展有帮助.重点难点重点：测量距离、高度、角度问题；难点：正弦定理、余弦定理的综合应用问题．教学过程基础知识点1.解三角形中的常见术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线________时叫仰角,目标视线在水平视线______________时叫俯角.方位角从正北方向___________转到目标方向线所成的水平角,如点B的方位角为(如图所示).方位角的取值范围:0°～360°.方向角指以观测者为中心,指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,它是方位角的另一种表示形式.如图,左图中表示北偏东30°,右图中表示南偏西60°.2.本质:仰角、俯角、方位角等都是在生产、生活中为方便使用而人为定义的.方向角亦是在测量中人为设置的量.3.应用:仰角、俯角、方向角、方位角等经常用于求距离、高度和角度的题目中.选择合适的角可以简化运算,提高测量的精确度.【课前基础演练】题1.（多选）下列命题正确的是()A.若P在Q的北偏东44°方向,则Q在P的东偏北44°方向.B.方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系,其范围均是.C.方位角210°的方向与南偏西30°的方向一致.D.方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.题2.如图,为了测量隧道AB的长度,给定下列四组数据,测量时应选用数据()A. B. C. D.题3.已知两座建筑A,B与规划测量点C的距离相等,A在C的北偏东40°,B在C的南偏东60°,则A在B的 ()A.北偏东10° B.北偏西10°C.南偏东10° D.南偏西10°关键能力·合作学习类型一测量距离、高度问题(数学建模、数学运算)【题组训练】题4.如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者与A在河的同侧,在A所在的河岸边先确定一点C,测出A,C的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,可以计算出A,B两点的距离为 () 题5.已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km,船B在灯塔C北偏西65°且到C的距离为km,则A、B两船的距离为 ()A.km 题6.如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于 ()m 【解题策略】1.求距离问题时应注意的两点(1)选定或确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则先把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.2.解决测量高度问题的一般步骤(1)画图:根据已知条件画出示意图.(2)分析三角形:分析与问题有关的三角形,在高度问题中,经常用到直角三角形.(3)求解:运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解.在解题中,要综合运用平面几何知识,注意方程思想的运用.【补偿训练】题7.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A、B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,则河的宽度为 ()m m m m题8.在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°,塔基的俯角为45°,那么这座塔吊的高是 ()A.B.C.D.类型二测量角度问题(数学建模、数学运算)【典例】题9.在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A为海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/时的速度追截走私船,此时,走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.(1)问C与B相距多少海里?C在B的什么方向?(2)问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间.【解题策略】解决测量角度的常用方法与注意点(1)测量角度问题的关键是弄清题意,画出图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将结果转化为实际问题的解.(2)求角的度数时,多用余弦定理求角.因为余弦函数在上是单调递减的,而正弦函数不单调,一个正弦值可能对应两个角.若角在上时,用正、余弦定理皆可.【跟踪训练】题10.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距anmile,乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍,问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船?相遇时乙船行驶了多少nmile?【拓展延伸】1.函数与方程思想在距离问题中的应用(1)函数思想的应用将三角形中边角之间的关系问题借助余弦定理和正弦定理建立函数关系,结合有关函数的图象和性质,加以分析、转化、解决有关求取值范围、最大(小)值问题.(2)方程思想的应用余弦定理和正弦定理涉及三个边和三个角共六个量,只要知道其中三个独立的量(必须有边)就能求出其余三个量.因此,解三角形的实际应用问题中,直接求相关量较难时,通常将问题的数量关系运用这两个定理转化为数学模型(方程、方程组)加以解决.【拓展训练】题11.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值.类型三余弦定理、正弦定理的综合应用(数学建模)角度1余弦定理、正弦定理在立体几何中的应用【典例】题12.如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200米,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.角度2余弦定理、正弦定理在三角形中的应用【典例】题13.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.【解题策略】在复杂图形中利用正弦定理、余弦定理解题的方法(1)分析复杂图形,找准需要解决的问题所在的三角形,找出该三角形与其他三角形之间的关系.(2)根据题目给出的条件,适当选用正弦定理或余弦定理解题.【题组训练】题14.瑞云塔是福清著名的历史文化古迹.如图,一研究小组同学为了估测塔的高度,在塔底D和A,B(与塔底D同一水平面)处进行测量,在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为45°,30°,且A,B两点相距91m,由点D看A,B的张角为150°,则瑞云塔的高度CD= ()mB.mC.mD.m题15.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援,则________.【补偿训练】题16.某海域的东西方向上分别有A,B两个观测点(如图),它们相距海里.现有一艘轮船在D点发出求救信号,经探测得知D点位于A点北偏东45°,B点北偏西60°,这时,位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点有一救援船,其航行速度为30海里/小时.(1)求B点到D点的距离BD;(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救,求该救援船到达D点需要的时间.题17.如图,某公园内有两条道路AB,AP,现计划在AP上选择一点C,新建道路BC,并把△ABC所在区域改造成绿化区域,已知km.(1)若绿化区域△ABC的面积为1km2,求道路BC的长度;(2)绿化区域△ABC每平方千米的改造费用与新建道路BC每千米修建费用都是∠ACB的函数,其中绿化区域△ABC改造费用为(单位:万元/平方千米),新建道路BC新建费用为(单位:万元/千米),设,某工程队承包了该公园的绿化区域改造与新道路修建,已知绿化区域改造费与道路新建费用越高,则工程队所获利润也越高,试问当为何值时,该工程队获得最高利润?课堂检测·素养达标题18.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的 ()A.北偏东10° B.北偏西10°C.南偏东80° D.南偏西80°题19.一海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是 ()A.海里 B.海里C.海里 D.海里题20.如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为 ()A.m B.mC.m D.m题21.一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B,又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C,若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C,则此船沿________方向行驶________海里至海岛C.题22.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为海里;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°,距离为海里;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在南偏东60°,求:(1)A处与D处之间的距离;(2)灯塔C与D处之间的距离.编号：019课题:§余弦定理、正弦定理的应用目标要求1、理解并掌握解三角形中的常见术语问题．2、理解并掌握测量距离、高度问题．3、理解并掌握测量角度问题．4、理解并掌握正弦定理、余弦定理的综合应用问题.学科素养目标解三角形是高中数学的重要教学内容，它涉及三角形的边、角、面积，以及三角函数、圆等知识，综合性较强.在解三角形的教学中，重点讲解如何运用正弦定理和余弦定理解三角形问题，以及判断三角形的解.做好解三角形的教学，不但可以提高学生的解题能力，而且还对学生的数学思路的发展有帮助.重点难点重点：测量距离、高度、角度问题；难点：正弦定理、余弦定理的综合应用问题．教学过程基础知识点1.解三角形中的常见术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线___上方__时叫仰角,目标视线在水平视线__下午___时叫俯角.方位角从正北方向___顺时针____转到目标方向线所成的水平角,如点B的方位角为(如图所示).方位角的取值范围:0°～360°.方向角指以观测者为中心,指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,它是方位角的另一种表示形式.如图,左图中表示北偏东30°,右图中表示南偏西60°.2.本质:仰角、俯角、方位角等都是在生产、生活中为方便使用而人为定义的.方向角亦是在测量中人为设置的量.3.应用:仰角、俯角、方向角、方位角等经常用于求距离、高度和角度的题目中.选择合适的角可以简化运算,提高测量的精确度.【课前基础演练】题1.（多选）下列命题正确的是()A.若P在Q的北偏东44°方向,则Q在P的东偏北44°方向.B.方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系,其范围均是.C.方位角210°的方向与南偏西30°的方向一致.D.方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.【答案】选CD提示:A×.因为若P在Q的北偏东44°方向,则Q应在P的南偏西44°方向.B×.因为方向角的范围为0°～90°,而方位角的范围为0°～360°.C√.由方位角与方向角的定义知正确.D√.方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角，这是方位角的定义.题2.如图,为了测量隧道AB的长度,给定下列四组数据,测量时应选用数据()A. B. C. D.【解析】选C.选择a,b,γ可直接利用余弦定理求解,而无法测量得到,故排除A,B,D.选C.题3.已知两座建筑A,B与规划测量点C的距离相等,A在C的北偏东40°,B在C的南偏东60°,则A在B的 ()A.北偏东10° B.北偏西10°C.南偏东10° D.南偏西10°【解析】选B.如图,由题意可知△ABC为等腰三角形,∠ACB=80°,所以∠CBA=(180°-80°)=50°,又60°-50°=10°.所以A在B的北偏西10°.关键能力·合作学习类型一测量距离、高度问题(数学建模、数学运算)【题组训练】题4.如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者与A在河的同侧,在A所在的河岸边先确定一点C,测出A,C的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,可以计算出A,B两点的距离为 () 【解析】选A.∠ABC=180°-45°-105°=30°,在△ABC中由，得(m).题5.已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km,船B在灯塔C北偏西65°且到C的距离为km,则A、B两船的距离为 ()A.km 【解析】选D.如图可知∠ACB=85°+65°=150°,AC=2km,BC=km,所以,所以AB=km.题6.如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于 ()m 【解析】选D.方法一:设AB=xm,则BC=xm.所以BD=(10+x)m.所以，解.所以A点离地面的高AB等于m.方法二:因为∠ACB=45°,所以∠ACD=135°,所以∠CAD=180°-135°-30°=15°.由正弦定理,得(m),所以AB=ACsin45°m.【解题策略】1.求距离问题时应注意的两点(1)选定或确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则先把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.2.解决测量高度问题的一般步骤(1)画图:根据已知条件画出示意图.(2)分析三角形:分析与问题有关的三角形,在高度问题中,经常用到直角三角形.(3)求解:运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解.在解题中,要综合运用平面几何知识,注意方程思想的运用.【补偿训练】题7.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A、B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,则河的宽度为 ()m m m m【解析】选D.在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°,所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC.所以AC=AB=120m.如图,作CD⊥AB,垂足为D,则CD即为河的宽度.在Rt△ACD中,由正弦定理,得，所以，所以CD=60,所以河的宽度为60m.题8.在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°,塔基的俯角为45°,那么这座塔吊的高是 ()A.B.C.D.【解析】选B.如图,由条件知四边形ABCD为正方形,所以AB=CD=BC=AD=20m.在△DCE中,∠EDC=60°,∠DCE=90°,CD=20m,所以EC=CD·tan60°=20(m),所以BE=BC+CE=(20+20)=20(1+)m.类型二测量角度问题(数学建模、数学运算)【典例】题9.在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A为海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/时的速度追截走私船,此时,走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.(1)问C与B相距多少海里?C在B的什么方向?(2)问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间.【解题策略】解决测量角度的常用方法与注意点(1)测量角度问题的关键是弄清题意,画出图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将结果转化为实际问题的解.(2)求角的度数时,多用余弦定理求角.因为余弦函数在上是单调递减的,而正弦函数不单调,一个正弦值可能对应两个角.若角在上时,用正、余弦定理皆可.【跟踪训练】题10.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距anmile,乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍,问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船?相遇时乙船行驶了多少nmile?【解析】如图所示,设两船在C处相遇,并设∠CAB=,乙船行驶距离BC为xnmile,则AC=x,由正弦定理得，而,所以,所以∠ACB=30°,BC=AB=a.所以甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船,两船相遇时乙船行驶了anmile.【拓展延伸】1.函数与方程思想在距离问题中的应用(1)函数思想的应用将三角形中边角之间的关系问题借助余弦定理和正弦定理建立函数关系,结合有关函数的图象和性质,加以分析、转化、解决有关求取值范围、最大(小)值问题.(2)方程思想的应用余弦定理和正弦定理涉及三个边和三个角共六个量,只要知道其中三个独立的量(必须有边)就能求出其余三个量.因此,解三角形的实际应用问题中,直接求相关量较难时,通常将问题的数量关系运用这两个定理转化为数学模型(方程、方程组)加以解决.【拓展训练】题11.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值.【思路导引】(1)设相遇时小艇的航行距离为S海里,根据余弦定理可得S关于t的表达式为,进而可知当时,S有最小值为,进而求得此时的速度v.(2)设小艇与轮船在B处相遇.根据余弦定理可得v关于t的表达式,再根据t的范围及二次函数的单调性求得v的最小值及此时t的值.【解析】(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里,则.故当时,(海里/小时).即小艇以海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B处相遇,如图所示.由题意可得:,化简得，由于,即,所以当时v取得最小值,即小艇航行速度的最小值为海里/小时.类型三余弦定理、正弦定理的综合应用(数学建模)角度1余弦定理、正弦定理在立体几何中的应用【典例】题12.如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200米,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.【思路导引】设AB=h.表示出BC=h,BD=h,然后在△BCD中利用余弦定理求解.【解析】在Rt△ABC中,∠ACB=45°,若设AB=h,则BC=h.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,则BD=h.在△BCD中,由余弦定理可得,即,所以,解得h=200(h=-200舍去),即塔高AB=200米.角度2余弦定理、正弦定理在三角形中的应用【典例】题13.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.【思路导引】(1)根据PB,BC的值及∠BPC求出∠PBC的值,再在△ABP中,求出∠PBA,利用余弦定理求出PA的长.(2)根据∠PBA+∠PAB=30°,用∠PBA表示∠PAB,再利用正弦定理求出tan∠PBA.【解析】(1)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°,在△ABP中,由余弦定理得,所以(负值舍去).(2)设∠PBA=,所以∠PCB=,PB=sin.在△PBA中,由正弦定理得,，化简得，所以，即.【解题策略】在复杂图形中利用正弦定理、余弦定理解题的方法(1)分析复杂图形,找准需要解决的问题所在的三角形,找出该三角形与其他三角形之间的关系.(2)根据题目给出的条件,适当选用正弦定理或余弦定理解题.【题组训练】题14.瑞云塔是福清著名的历史文化古迹.如图,一研究小组同学为了估测塔的高度,在塔底D和A,B(与塔底D同一水平面)处进行测量,在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为45°,30°,且A,B两点相距91m,由点D看A,B的张角为150°,则瑞云塔的高度CD= ()mB.mC.mD.m【解析】选C.设CD=h,因为在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为45°,30°,所以BD=h,AD=h,因为,所以,即(负值舍去).题15.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援,则________.【解析】在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理知.由正弦定理,则∠ACB为锐角,.由∠ACB+30°,则cos=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACB·cos30°-sin∠ACB·sin30°=.答案:【补偿训练】题16.某海域的东西方向上分别有A,B两个观测点(如图),它们相距海里.现有一艘轮船在D点发出求救信号,经探测得知D点位于A点北偏东45°,B点北偏西60°,这时,位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点有一救援船,其航行速度为30海里/小时.(1)求B点到D点的距离BD;(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救,求该救援船到达D点需要的时间.【解析】(1)由题意知海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,在△DAB中,由正弦定理得，(2)在△DBC中,∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC(海里),由余弦定理得,所以CD=30(海里),则需要的时间(小时).答:救援船到达D点需要1小时.题17.如图,某公园内有两条道路AB,AP,现计划在AP上选择一点C,新建道路BC,并把△ABC所在区域改造成绿化区域,已知km.(1)若绿化区域△ABC的面积为1km2,求道路BC的长度;(2)绿化区域△ABC每平方千米的改造费用与新建道路BC每千米修建费用都是∠ACB的函数,其中绿化区域△ABC改造费用为(单位:万元/平方千米),新建道路BC新建费用为(单位:万元/千米),设,某工程队承包了该公园的绿化区域改造与新道路修建,已知绿化区域改造费与道路新建费用越高,则工程队所获利润也越高,试问当为何值时,该工程队获得最高利润?【解析】(1)因为绿化区域△ABC的面积为1km2,所以.因为,所以,得AC=2,由余弦定理得,所以即BC的长度为.(2)设绿化区域改造费与道路新建费用之和为y万元.因为,所以,由正弦定理，得，则由题