函数y=Asin(ωx+φ)-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修一同步讲义

PAGE5.6函数知识梳理知识梳理1、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x－eq\f(φ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02、函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ3、函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径4、注意（1）由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移eq\f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度.（2）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标.知识典例知识典例题型一三角函数平移例1将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得.故选C．巩固练习巩固练习要得到函数的图象，只需将的图象（）A．向左平移长度 B．向右平移长度C．向左平移长度 D．向右平移长度【答案】D【分析】根据三角函数的平移原则，由题中条件，可直接得出结果.【详解】因为，因此要得到函数的图象，只需将的图象向右平移单位.故选：D.题型二三角函数解析式求解例2函数的部分图象如图所示．则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由图象可知，周期,即可求出，再代入点即可求出.【详解】由图象可知，，当时，函数取得最大值，所以，，因为，所以．故选：A．巩固练习巩固练习已知函数的部分图象如图所示，若，则（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由图象结合三角函数的性质可得，即可得，再代入特殊点即可得.【详解】由图象可得函数的最小正周期满足，所以该函数图象在y轴右侧的第一个对称轴，又，所以该函数图象在y轴右侧的第二个对称轴，且，所以函数的最小正周期满足即，所以，，所以，所以，又，所以.故选：C.题型三三角函数图象变换例3为了得到函数的图象，只需把函数，的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）【答案】C【分析】按照平移变换和周期变换的结论，分别求出四个选项中得到的函数解析式可得答案.【详解】对于，把函数，的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故不正确；对于，把函数，的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故不正确；对于，把函数，的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故正确；对于，把函数，的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故不正确.故选：C.巩固练习巩固练习（多选）已知曲线：，：，则下面结论正确的是（）A．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到曲线B．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线C．把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D．把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】AD【分析】先利用诱导公式把化简得，，然后利用三角函数图像变换规律求解即可【详解】解：，所以将曲线：向左平移个单位长度，得，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到曲线；或将曲线：上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，故选：AD题型四三角函数例4（多选）函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A． B．C．是函数的一条对称轴 D．是函数的对称轴心【答案】ACD【分析】根据函数图象先求出的表达式，再对选项进行逐一判断，即可得到答案.【详解】由函数的图象有,则，即，所以，则A正确.由图象可得，，所以，即,由，所以，即,所以B不正确.所以函数的对称轴为：，即当时，是函数的一条对称轴，所以C正确.所以函数的对称中心满足：，即所以函数的对称轴心为，，所以D正确.故选：ACD巩固练习巩固练习下图是函数（其中，，）的部分图象，下列结论正确的是（）A．函数的图象关于原点对称B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递增D．方程在区间上的所有实根之和为【答案】ABD【分析】根据函数图象求出的解析式，根据正弦型函数的性质判断选项正误.【详解】由已知，，，因此，∴，所以，过点，因此，，又，所以，∴，对A，图象关于原点对称，故A正确；对B，当时，，故B正确；对C，由，有，故C不正确；对D，当时，，所以与函数有4个交点令横坐标为，，，，，故D正确.故选：ABD.巩固提升巩固提升1、要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位【答案】D【分析】直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；【详解】解：函数，要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位．故选：D．2、将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为()A． B． C． D．【答案】B【解析】得到的偶函数解析式为，显然3、将函数图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，则所得函数图象的解析式为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的伸缩变换原则，可直接得出结果.【详解】函数图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得函数图像的解析式为.故选：D．4、若函数的部分图象如图，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵由题中图象可知.∴.∴.∴.故选B.5、函数的部分图象如图所示，已知，函数的图象可由图象向右平移个单位长度而得到，则函数的解析式为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据图象可得周期，根据周期可得，根据可得在时取最小值，由此可求得，根据图象过点，可得，再根据平移变换可得结果.【详解】由图象可知最小正周期：，∴，又∵在时取最小值，∴，∴.又∵，∴，∴.又∵图象过点，∴，∴.∴，把图象向右平移个单位后得到函数，∴.故选：A.6、函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位【答案】A【分析】先看图得到的解析式，再利用平移得到结果即可.【详解】看图可知周期满足，故，，又时取得最小值-1，故，，即，所以将向右平移个单位，得到.故选：A.7、将函数（，）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则________.【答案】【分析】根据函数的图象变换规律，求得的解析式，可得的值．【详解】解：将函数，）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得的图象，再向右平移个单位长度得到的图象，，且，，解得，，函数，，故答案为：8、先将函数的图象上每一点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移个单位，则可得变换后图象的函数解析式为______________________.【答案】【分析】利用三角函数的平移变换和伸缩变换，即可得出答案.【详解】将函数的图象上每一点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象，再将所得图象向右平移个单位，得出的图象故答案为：9、（多选）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，则下列结论正确的是（）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数在上单调递减D．函数在上恰有4个极值点【答案】AD【分析】先根据图象变换得，再根据余弦函数性质研究对称性、单调性以及极值点，即可作出选择.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得因为，所以函数的图象关于直线对称，即A正确；因为，所以函数的图象不关于点对称，即B错误；因为，所以函数单调递增，即C错误；因为，所以当时函数取得极值，即函数在上恰有4个极值点，D正确；故选：AD10、（多选）将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则下列结论正确的是（）A． B．最小正周期为C．的图象关于对称 D．在区间上单调递增【答案】BCD【分析】由题意，利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【详解】将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，对A，函数，故A错误；对B，最小正周期为，故B正确；对C，当，求得为最小值，故的图象关于直线对称，故C正确；在区间上，单调递增，故D正确，故选：BCD．11、已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式及对称中心坐标；（2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间和最值.【答案】（1）；对称中心为，；（2）减区间是：；有最大值，有最小值.【分析】（1）根据最大值可得，根据周期得，根据最高点得，从而可得解析式；根据余弦函数的对称中心可得的对称中心；（2）根据图象变换的结论可得的解析式，根据余弦函数的递增区间可得在上的单调减区间，根据余弦函数的图象可得在上的最值.【详解】（1）由所给图象知：；，，，，∴，把点代入得