四川省广安市友谊中学高中部2022-2023学年高三数学理月考试题含解析

四川省广安市友谊中学高中部2022-2023学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，四边形ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，且PC=PD=CD=2，BC=2，O，M分别为CD，BC的中点，则异面直线OM与PD所成角的余弦值为（）A．B． C．D．参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【分析】连接BD，OB，PB，则OM∥BD，∠PDB或其补角为异面直线OM与PD所成角，△PBD中，由余弦定理可得cos∠PDB．【解答】解：连接BD，OB，PB，则OM∥BD，∴∠PDB或其补角为异面直线OM与PD所成角．由条件PO⊥平面ABCD，则OB=3，PO=，BD=2，PB=2，△PBD中，由余弦定理可得cos∠PDB==，故选：C．2.已知定义在上的函数与函数的图像有唯一公共点，则实数的值为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】原题等价为有一解，即，令,确定其函数性质即可求解【详解】与函数的图像有唯一公共点，故有唯一解，即有唯一解令，所以g（x）关于x=2对称，故a=g(2)=2故选：D【点睛】本题考查函数性质及方程的根，准确构造函数判断其对称性是本题关键，是基础题3.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，A，B分别为双曲线C左、右两支上的点，且四边形ABOF（O为坐标原点）为菱形，则双曲线C的离心率为（）A． B．2 C．+1 D．2参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用四边形ABOF（O为坐标原点）为菱形，结合双曲线的对称性，求出A的坐标，代入双曲线方程然后求解离心率．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，A，B分别为双曲线C左、右两支上的点，且四边形ABOF（O为坐标原点）为菱形，不妨A在x轴上方，可知A（，），代入双曲线方程可得：．可得e4﹣8e2+4=0，e＞1，可得e2=．可得e=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，判断A的位置是解题的关键，考查计算能力．4.已知“”，则是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C因为否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词，所以由“”可得是，故选C.

5.若a∈R，则“a＞8”是“log2a＞2”的(

)A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数函数的单调性和充要条件的定义即可判断出正确选项．【解答】解：由对数函数的单调性：y=log2x在（0，+∞）上为单调增函数∴log2a＞2?log2a＞log24?a＞4．又“a＞8”?“a＞4”，反之不能．则“a＞8”是“log2a＞2”的充分但不必要条件．故选A．【点评】本题考查了利用定义判断命题充要条件的方法，对数函数的单调性和定义．6.有下列四个命题,其中正确命题的个数是①.“，”的否定是“，使”.②.已知且，则“”是“”的充要条件.③.采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，若已知学号为5,16,38,49的同学被选出，则被选出的另一个同学的学号为27.④.某学校决定从高三800名学生中利用随机数表法抽取50人进行调研，先将800人按001,002，…,800进行编号；如果从第8行第7列的数开始从左向右读，则最先抽取到的两个人的编号依次为165,538（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）84421753315724550688770474476721763350268392

6301531659169275386298215071751286735807443913263321134278641607825207443815032442997931A.1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：B7.已知圆的图象分别交于等于

A．16B．8

C．4

D．2参考答案：答案：C

8.圆x2+y2?2x?8y+13=0的圆心到直线ax+y?1=0的距离为1，则a=（A）?

（B）?

（C）

（D）2参考答案：A圆心为(1,4)，半径r=2，所以，解得，故选A.9.设为两个非零向量，则“”是“与共线”的（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充要条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：D【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2若，则，即，则，则与共线不成立，即充分性不成立．若与共线，当，，此时不成立，即必要性不成立，故““”是“与共线”的既不充分也不必要条件，故选：D．【思路点拨】根据充分条件和必要条件的定义，利用向量共线的等价条件，即可得到结论．10.设，若函数为单调递增函数，且对任意实数x，都有（e是自然对数的底数），则

A.1

B.e+1

C.3

D.e+3参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（1）﹣（﹣0.3）°+=（2）2log23+log43=．参考答案：解：（1）﹣（﹣0.3）°+=5﹣1+8=12．故答案为：12．（2）2log23+log43=2log23+log23=log23．故答案为：log23考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．专题：计算题；函数思想；函数的性质及应用．分析：直接利用有理指数幂以及对数运算法则化简求解即可．解答：解：（1）﹣（﹣0.3）°+=5﹣1+8=12．故答案为：12．（2）2log23+log43=2log23+log23=log23．故答案为：log23．点评：本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，考查计算能力12.已知x、y、z∈R,且2x＋3y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为

参考答案：13.已知样本2，3，x，7，8的平均数为5，则样本的方差S2为_________;

参考答案：略14.设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”为真命题的序号有．（把所有的真命题全填上）①x为直线，y，z为平面；②x，y，z都为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y，z都为直线；⑤x，y为平面，z为直线．参考答案：①③⑤略15.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7π，则此三棱柱的体积为

．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【专题】空间位置关系与距离．【分析】通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得a，然后由棱柱的体积公式得答案．【解答】解：如图，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，再设球的半径为r，由球O的表面积为7π，得4πr2=7π，∴r=．设三棱柱的底面边长为a，则上底面所在圆的半径为a，且球心O到上底面中心H的距离OH=，∴r2=（）2+（a）2，即r=a，∴a=．则三棱柱的底面积为S==．∴==．故答案为：．【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．16.设满足约束条件，则的最大值为______.参考答案：略17.设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn+an=n2+2n+2，n∈N*，数列{bn}满足bn=an﹣n（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求log3b3+log3b5+…+log3b2n+1．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由，得，两式相减得3an+1﹣an=2n+3，又bn=an﹣n，可得3bn+1=bn，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）得，可得，可得，再利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）由，得，两式相减得3an+1﹣an=2n+3…∵bn=an﹣n，∴an=bn+n，an+1=bn+1+n+1∴3bn+1=bn…..又n=1时，由得，∴，∴{bn}是以为首项，为公比的等比数列∴…．（2）由（1）得，∴，∴，∴log3b3+log3b5+…+log3b2n+1=log32﹣3+log32﹣5+…+log32﹣（2n+1）==nlog32﹣n（n+2）．19.（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为，．（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．参考答案：【考点】：数列递推式；用数学归纳法证明不等式．【专题】：计算题．【分析】：（1）此问根据通项公式计算出前n项的和．当n=1时，f（1）=s2；当n=2时，f（2）=s4﹣s1=a2+a3；当n=3时，f（3）=s6﹣s2．（2）当n=1时，≥1．当n≥2时，f（n）中没有a1，因此都小于1．解：（Ⅰ）由已知，，；（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（1）＞1，f（2）＞1；当n≥3时，猜想：f（n）＜1．（4分）下面用数学归纳法证明：（1）由（Ⅰ）当n=3时，f（n）＜1；（5分）（2）假设n=k（k≥3）时，f（n）＜1，即，那么===，所以当n=k+1时，f（n）＜1也成立．由（1）和（2）知，当n≥3时，f（n）＜1．（9分）所以当n=1，和n=2时，f（n）＞1；当n≥3时，f（n）＜1．（10分）【点评】：此题主要考查数列递推式及相关计算．20.设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0． （Ⅰ）当b=时，判断函数f（x）在定义域上的单调性； （Ⅱ）当b＜时，求函数f（x）的极值点 （Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立． 参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）将b的值代入，求出函数的表达式、导数，从而求出函数的单调区间； （Ⅱ）通过讨论b的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点； （Ⅲ）将b=﹣1代入函数的表达式，求出函数f（x）的表达式，令h（x）=x3﹣f（x），求出h（x）的导数，得到ln（x+1）＞x2﹣x3，从而证出结论． 【解答】解（Ⅰ）当，f（x）=x2+ln（x+1），（x＞﹣1）， f′（x）=2x+=2（x+1）+﹣2≥2﹣2≥0， 当且仅当x=﹣时，“=”成立， ∴函数f（x）在定义域（﹣1，+∞）上单调递增． （Ⅱ）

当时，解f′（x）=0得两个不同解： 当b＜0时， ∴x1∈（﹣∞，﹣1），x2∈（﹣1，+∞）， 此时f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点 当时，x1，x2∈（﹣1，+∞）f′（x）在（﹣1，x1），（x2，+∞）都大于0，f′（x）在（x1，x2）上小于0， 此时f（x）有一个极大值点和一个极小值点 综上可知，时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点， b＜0，时，f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点； （Ⅲ）当b=﹣1时，f（x）=x2﹣ln（x+1）， 令上恒正， ∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0， 即当x∈（0，+∞）时，有x3﹣x2+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x2﹣x3， 对任意正整数n，取． 【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，考察分类讨论思想，运用转化思想是解答第三问的关键，本题是一道难题． 21.已知函数，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函