山东省临沂市第三十一中学2022年高三数学文上学期期末试卷含解析

山东省临沂市第三十一中学2022年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为

(

)A．

B.

C.

D.参考答案：A2.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A.若，则B.若，则C.若，且，则D.若，且，则参考答案：D【分析】根据空间中直线和平面的位置关系分别去判断各个选项，均可举出反例；可证明得出.【详解】若，，则或与异面或与相交，故选项错误；若，，则与可能相交，故选项错误；若直线不相交，则平面不一定平行，故选项错误；，

或，又

，故选项正确.本题正确选项：【点睛】本题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断，考查学生的空间想象能力和对定理的掌握程度.3.已知向量为单位向量，且，则的值为（

）A.1

B.2

C.

3

D.参考答案：Ａ4.若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是A．4

B. C.2

D.参考答案：D略5.直线被圆截得的弦长等于（

）A． B． C． D．参考答案：D连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB的中点，,根据（x+2）2+（y-2）2=2得到圆心坐标为（-2，2），半径为，圆心O到直线AB的距离OD=而半径OB=，则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD=，所以AB=2BD=故选D

6.已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B的连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（

）A． B. C. D.参考答案：D7.已知集合，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B={x|-1＜x≤1}，={x|则故选B

8.命题“”的否定是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略9.设函数的导函数是且是奇函数，若曲线的一条切线的斜率是则切点的横坐标为（

）(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：C.设切点为，则，解得（舍去），10.函数的图象为，①图象关于直线对称；②函数在区间内是增函数；③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象，以上三个论断中，正确论断的个数是

（

）A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则

。参考答案：12.对于抛物线C，设直线l过C的焦点F，且l与C的对称轴的夹角为．若l被C所截得的弦长为4，则抛物线C的焦点到顶点的距离为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】设抛物线方程为y2=2px（p＞0），得出直线l的方程，联立方程组得出根与系数的关系，利用弦长公式列方程解出p．则焦点到顶点的距离为．【解答】解：不妨设抛物线方程为y2=2px（p＞0），则抛物线的焦点F（，0），则直线l的方程为y=x﹣．联立方程组，消元得y2﹣2py﹣p2=0．∴y1+y2=2p，y1y2=﹣p2．∴直线l被抛物线解得弦长为=4．∴=4，解得p=1．∴F（，0）．即抛物线C的焦点到顶点的距离为．故答案为：．13.函数对于总有≥0成立，则的取值集合为

．参考答案：{4}14.已知，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)=f(α-x)对一切实数x恒成立，则α=___________．参考答案：略15.已知点、分别为的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若，则的值为

．参考答案：．另解：注意到题中的形状不确定，因此可取特殊情形，则点即为点，由此可迅速得到答案.16.已知圆O过椭圆的两焦点且关于直线x﹣y+1=0对称，则圆O的方程为

．参考答案：x2+（y﹣1）2=5【考点】椭圆的简单性质；圆的标准方程．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆的两焦点，圆心O（a，a+1），利用圆O过椭圆的两焦点且关于直线x﹣y+1=0对称，求出圆心与半径，即可求出圆O的方程．【解答】解：椭圆的两焦点为（2，0），（﹣2，0）．由题意设圆心O（a，a+1），则∵圆O过椭圆的两焦点且关于直线x﹣y+1=0对称，∴a=0，∴圆心为（0，1），半径为，∴圆O的方程为x2+（y﹣1）2=5．故答案为：x2+（y﹣1）2=5．【点评】本题考查椭圆的性质，考查圆的方程，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．17.在△ABC中，A、B、C所对的边为a、b、c,,则△ABC面积的最大值为

．参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)＝－．(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在－3,6上的最大值与最小值．参考答案：(1)令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，从而f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0.即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(2)证明：设x1，x2∈R，且x1>x2，则x1－x2>0，于是f(x1－x2)<0，从而f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)＋x2－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)<0.∴f(x)为减函数．(3)由(2)知，所求函数的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．f(－3)＝－f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－2f(1)－f(1)＝－3f(1)＝2，f(6)＝－f(－6)＝－f(－3)＋f(－3)＝－2f(－3)＝－4.于是f(x)在－3,6上的最大值为2，最小值为－4.19.已知函数，（其中且），记.（1）求函数的定义域，判断的奇偶性，并说明理由；（2）若，求使成立的的集合.参考答案：解:(1)由题意故的定义域为：显然的定义域关于原点对称故是定义域上的奇函数（2）由得由得于是，解得：故所求的的集合是略20.（2017?四川模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cosC+ccosB=0（Ⅰ）求角C的大小．（Ⅱ）若c=6，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理将（2a+b）cosC+ccosB=0化简，可得角C的大小．c=6，利用余弦定理，构造基本不等式，即可求解△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据（2a+b）cosC+ccosB=0，由正弦定理可得：2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0．即2sinAcosC=﹣sinA，∵0＜A＜π，sinA≠0，∴cosC=﹣∵0＜C＜π∴C=．（Ⅱ）∵c=6，C=．由余弦定理：可得即36=a2+b2+ab，∵a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）∴3ab≤36，即ab≤12．故得△ABC面积S=absinC．即△ABC面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的化简计算能力，和基本不等式求最值的运用．属于基础题．21.已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）当a=﹣4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．（3）若a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有，求实数a的取值范围．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；不等式的证明．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=﹣4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义[1，e]分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在[1，e]上的最大值及相应的x值；（2）把原函数f（x）=alnx+x2求导，分a≥0和a＜0讨论打哦函数的单调性，特别是当a＜0时，求出函数f（x）在[1，e]上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和F（e）的值的符号讨论在x∈[1，e]时，方程f（x）=0根的个数；（3）a＞0判出函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，在规定x1＜x2后把转化为f（x2）+＜f（x1）+，构造辅助函数G（x）=f（x）+，由该辅助函数是减函数得其导函数小于等于0恒成立，分离a后利用函数单调性求a的范围．解答： 解：（1）当a=﹣4时，f（x）=﹣4lnx+x2，函数的定义域为（0，+∞）．．当x∈时，f′（x）0，所以函数f（x）在上为减函数，在上为增函数，由f（1）=﹣4ln1+12=1，f（e）=﹣4lne+e2=e2﹣4，所以函数f（x）在[1，e]上的最大值为e2﹣4，相应的x值为e；（2）由f（x）=alnx+x2，得．若a≥0，则在[1，e]上f′（x）＞0，函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；若a＜0，由f′（x）=0，得x=（舍），或x=．若，即﹣2≤a＜0，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；若，即a≤﹣2e2，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为减函数，由f（1）=1，f（e）=alne+e2=e2+a≤﹣e2＜0，所以方程f（x）=0在[1，e]上有1个实数根；若，即﹣2e2＜a＜﹣2，f（x）在上为减函数，在上为增函数，由f（1）=1＞0，f（e）=e2+a．=．当，即﹣2e＜a＜﹣2时，，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是0．当a=﹣2e时，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1．当﹣e2≤a＜﹣2e时，，f（e）=a+e2≥0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是2．当﹣2e2＜a＜﹣e2时，，f（e）=a+e2＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1；（3）若a＞0，由（2）知函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，不妨设x1＜x2，则变为f（x2）+＜f（x1）+，由此说明函数G（x）=f（x）+在[1，e]单调递减，所以G′（x）=≤0对x∈[1，e]恒成立，即a对x∈[1，e]恒成立，而在[1，e]单调递减，所以a．所以，满足a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有成立的实数a的取值范围不存在．点评：本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了根的存在性及