力学量随时间的演化与对称性讲义

1.力学量的平均值随时间的变化2.守恒量若则A称为守恒量3.守恒量的性质如果力学量A不含时间，若[A,H]=0(即为守恒量)，则无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。第4章力学量随时间的演化与对称性4.经典与量子力学中的守恒量间的关系5.守恒量与定态(1)定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。（2）在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变；而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间改变(1)与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取确定的数值.守恒量对应的量子数称为好量子数(2)量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。6.能级简并与守恒量的关系定理

设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即[F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0,则体系能级一般是简并的。推论：

如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态ΨE，则ΨE必为F的本征态。7.位力定理：

设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为r·p的平均值随时间的变化为对定态有则（定态下力学量的平均值不随时间变化）思考题：r·p并不是厄米算符，应进行厄米化这是否会影响位力定理得证明。答：从位力定理的证明可以看出，将r·p厄米化后并不能影响到定理的证明。例题1

设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即证明8.Feynman-Hellmann定理设体系的束缚态能级和归一化的能量本征态为若H中含有参数λ，则有9.全同粒子体系与波函数的交换对称性(1)两个全同粒子组成的体系(2)N个全同Femi子组成的体系三个全同Femi子：设三个无相互作用的全同Femi子，处于三个不同的单粒子态φk1,φk2,φk3上，则反对称波函数为Slater行列式

N个全同Bose子组成的体系其中P是指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成的置换，这样的置换数为§4.3Schrödinger图像和Heisenberg图像1.Schrödinger图像力学量不随时间变化，而波函数随时间变化。力学量的平均值波函数随时间演化方程---Schrödinger方程力学量平均值随时间的变化波函数随时间演化可写成称为时间演化算算符。(4)代代入(2)得到则积分得可以证明：：是幺正算符。。2.Heishenberg图像像波函数不变变，算符随随时间变化化算符的演化化方程----Heisenberg方程程利用U的幺正性，，及U+HU=H则上式称为Heisenberg方程。利用U的幺正性，，及U+HU=H则上式称为Heisenberg方程。例题1自由粒子p为守恒量，，则p(t)=p(0)=p则例题2一维谐振子子而则其解为则根据初始条条件则例题3求一维谐振振子在态Ψn下的动能和和势能的平平均值解：一维谐振子子的能量本本征值为由位力定理理知:则所以例题4判断下列说说法的正误误在非定态下下，力学量量的平均值值随时间变变化(错)(2)设设体系处在在定态，则则不含时力力学量测值值的概率不不随时间变变化(对)(3)设哈哈密顿量为为守恒量，，则体系处处在定态（错）(4)中中心力场中中的粒子处处于定态，，则角动量量取确定的的数值（错）(5)自自由粒子处处于定态，，则动量取取确定值（错）（能级是二重重简并的）(6)一维粒粒子的能量本本征态无简并并（错）（一维束缚态粒粒子的能量本本征态无简并并）证明：对于属于能量量E的任何两两个束缚态波波函数有则两边同时积分分得例题5N=3Bose子体系，，设三个单粒粒子态分别是是解：(a)n1=n2=n3=1（只有1个）(b)n1=2,n2=1,n3=0（共有6个）(c)n1=3,n2=0,n3=0（共3个个）例题6(4.2)解：(a)两全同波色子子单粒子态200020002011101110分布(b)两个全同费米子单粒子态011101110分布（c)两个个不同粒子单粒子态200020002011101110分布例题7（4.3）解：设粒子的总数数为n，量子态的总总数为k.首先对n个粒子进行编编号(1)粒子可可以分辨每个粒子占据据量子态的方方式有k种，，则n个粒子子占据量子态态的方式（量子态态数目）有若k=3,n=2,则则有若k=3,n=3,则则有(2)粒子子不可分辨，，每个量子态态上的粒子数数不受限制，，波函数对称称1234量子态总数若k=3,n=2,则则有若k=3,n=3,则则有(3)粒子子不可分辨，，每个量子态态上只能有一一个粒子（k>n）若k=3,n=2,则则有若k=3,n=3,则则有量子态总数例题8.三个不计自旋旋及相互作用用的波色体系系，其中单粒粒子可能的态态是ψ1,ψ2,试求出体体系的归一化化波函数。解：例题9现有3个全同的波色色子，可以分分布在4个不同的量子子态上，则该体系可能能的状态数目目有几种？答：由统计物理学学的知识知：：3个粒子4个个量子态例题10两个无相互作作用的粒子置置于一维无限限深势阱中，，对下列两种情况写出出两粒子体系系可具有的两两个最低总能能量值:两个自旋为1/2的可区分粒子子(2)两个个自旋为1/2的全同粒子解：(1)对两个自旋为为1/2的可区分粒子子，波函数不不必对称化。。其基态总能量量为2E1,波函数为为四重简并第一激发态总总能量是E1+E2,波函数是是八重简并(2)对两个个自旋为1/2的全同粒粒子，波函数数必须是反对对称的其基态总能量量为2E1，波函数为非简并第一激发态总总能量是E1+E2，波函数是四重简并其中例题11对于无限深势势阱中运动的的粒子（见图图）证明并证明当n→∞时上述结果与与经典结论一一致。证明：归一化的波函函数是则在经典力学的的一维无限深深势阱问题中中，因粒子局局限在（0，a）范围中运动，，各点的几率率密度看作相相同，由于总总几率是1，几率密度故当时二者相一致致。例题12计算解：则而上式中第一项项分部积分两两次后为零，，第二项可写写为所以例题13设归一化的波波函数|ψ>满足薛定谔方方程定义密度算符符（矩阵）为为(1)证明任意力学学量F在态|ψ>下的平均值值是(2)求出ρ的本征值(3)导出ρ随时间演化方方程证明：(1)(2)则其本征值是是0,1(3)由薛定谔方程程得利用上述两式式得即例题14粒子在势场V(x)中运动并处于于束缚定态ψn(x)中，证证明粒子所受势场作用用力的平均值值为零。证明：粒子所所受势场的作作用力为则例题15设某一体系的的哈密顿算符符为其中x是位置算符，，p为其共轭动量量算符，m是粒子的质量量，写出p随时间的演化化方程解：例题16.t=0时刻体体系处于力学学量A的某一本征态态上，如在其其后任何时刻都处处在该态上，，A需要满足什么么条件？答：A是守恒量，，即[A,H]=0,两两者有共同同的本征态。。演化后的波波函数是17对于一个不含含时间的厄米米算符F而言言，在含时间间的状态|ψ(t)>,(t≠≠0)上，它它的取值概率率是W(t)、平均值是是F(t),在哪两种种情况下W(t)与F(t)皆与时间间无关。解:(1)F是守恒量，，即(2)|ψ(t)>是是定态18.对于α是常数，下下列哪些量是是守恒量答：守恒量量是18.电荷为q，质量为m的无自旋粒子子在磁场B中运动，其哈哈密顿算符可近似写写成(1)指出(不必证明)下列各物理理量中的守恒恒量(2)任选一一个非守恒量量，写出其海海森堡运动方方程(3)写出ω的构造式(用m,q…表示)及B的方向。解：（1）守守恒量是(2)19.单粒子在一维维δ势阱中运动动，(1)在坐标标表象中求体体系束缚定态态的能量与相相应的归一化化波函数。(2)在动量量表象中求体体系束缚定态态的能量与相相应的归一化化波函数。解：(2)薛定谔方程程在动量表象中中有即其中代入薛定谔方方程得(1)两边对p求导数得解得(2)其中A是归一一化常数。将(2)代入入(1)得由此可得束缚缚态的能量是是(3)将(3)代入入(2)可得得归一化波函数数20在p表象中计计算一维谐振振子的定态能能量和定态波波函数解：薛定谔方方程为在动量量表象象中有有即其中代入薛薛定谔谔方程程得以后的的求解解见陈陈<量量子力力学习习题与与解答答>p9721.t=0时刻刻自由由粒子子的波波函数数是求此时时粒子子动量量的可可能取取值、、概率率和平平均值值解：22设|n,l,m>是氢氢原子子H,L2,Lz的共共同本本征函函数，，r是是半径径，求求解：库仑势势是即势是是r的的-1次齐齐次函函数，，由位位力定定理得得则所以径向波波函数数满足足的等等效一一维问问题中中由Feynman-Hellmann定理理得23一个质质量为为m的的粒子子在中中心力力场V(r)中中运动动，试试证明明其中E代表表能级级，ψ是相相应的的束缚缚定态态波函函数，，λ是是H中中的参参量(2)对于确确定节节点（（即nr相同））的状状态，，若轨轨道角角动量量越大大（即l越大）），则则其能能量越越高。。证明:(1)由于则(2)在中中心力力场中中势能能项是是则由F-H定理理得显然即E随l的增大大而升升高。。2012年年山东东大学学研究究生入入学考考试《《量子子力学学》试试题一、填填空题题(25分分)量子力力学中中的力力学量量必须须是(),这这是是为了了使力力学量量的本本征值值是(_),测测量量力学学量所所得的的值一一定是是该力力学量量的(),只只有有当粒子处处于力力学量量的()时时，才才能具具有确确定的的测量量值。。测测量力力学量的不不确定定来源源于()，两两个力力学量量同时时具有有确定定值的的条件件是()2.力力学学量H有两两个本本征态态|n1>，|n2>,对应的的本征征值是是E1和E2，，则在该该力学学量表表象中中H可可以表表示为为(),体体系系可能能处的的状态态是(),可可能能的测测值是是(),相相应应的测测量几几率是是().二、计计算题题(25分分)一个质质量为为m的的粒子子处于于势场场中，且且t=0时时粒子子处于于态求任意意时刻刻t的的波函函数。。三、计计算题题(25分分)处于宽宽度为为a的的一维维无限限深方方势阱阱(0<x<a)中中的粒粒子受受到微微扰，，求粒子子基态态能量量的一一级修修正值值。四计计算题题(25分分)t=0时，，氢原原子的的波函函数是是其中下下标分分别是是量子子数n,l,m的的值。。求：(1)什什么是是能量量的期期望值值？(2)任意意时刻刻t体体系处处于l=1,m=1态的的几率率(3)电电子距离质质子10-10cm以内的的概率(求求近似解)五计算题题(25分分)在某自旋态态|λ>测量力学学量sz得得到ћ/2的概概率是1/3,测测量力学学量Sx得到ћћ/2的概概率是1/6.求；；(1)自自旋态|λ>；(2)<λ|sy|λ>六计算题题(25分分)设在绝对零零度时，一一维线性谐谐振子势中有10个个自旋为1/2，质质量为m的的全同粒子子组成的体体系。忽略略粒子之间的的相互作用用，已知这这10个粒粒子的平均均能量5eV.试回答：(1)什么么是全同性性原理？费费米统计计与玻色统统计的区别别？全同性原理理对费米子子和玻色子子有什么不不同?(2)如果果同样温度度下该势场场中有20个上述全全同粒子，，则体系的平均能量量是？(3)如果果同样温度度下该势场场中有20个自旋为为0，质量量为m的全同粒子，，那么体系系的平均能能量又是多多少？9、静夜四无邻邻，荒居旧业业贫。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中黄叶叶树，灯下下白头人。。。21:06:4021:06:4021:061/6/20239:06:40PM11、以我独沈久久，愧君相见见频。。1月-2321:06:4021:06Jan-2306-Jan-2312、故人江海海别，几度度隔山川。。。21:06:4121:06:4121:06Friday,January6,202313、乍见翻翻疑梦，，相悲各各问年。。。1月-231月-2321:06:4121:06:41January6,202314、他乡生白发发，旧国见青青山。。06一月20239:06:41下午21:06:411月-2315、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。一月239:06下下午1月-2321:06January6,202316、行动出出成果，，工作出出财富。。。2023/1/621:06:4121:06:4106January202317、做前，，能够环环视四周周；做时时，你只只能或者者最好沿沿着以脚脚为起点点的射线线向前。。。9:06:41下午午9:06下午午21:06:411月-239、没有有失败败，只只有暂暂时停停止成成功！！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事事情努力力了未必必有结果果，但是是不努力力却什么么改变也也没有。。。21:06:4121:06:4121:061/6/20239:06:41PM11、成功功就是是日复复一日日那一一点点点小小小努力力的积积累。。。1月-2321:06:4121:06Jan-2306-Jan-2312、世间成事事，不求其其绝对圆满满，留一份份不足，可可得无限完完美。。21:06:4121:06:4121:06Friday,January6,202313、不知香积寺寺，数里入云云峰。。1月-231月-2321:06:4121:06:41January6,202314、意志志坚强强的人人能把把世界界放在在手中中像泥泥块一一样任任意揉揉捏。。06一一月月20239:06:41下下午21:06:411月-2315、楚塞三三湘接，，荆门九九派通。。。。一月239:06下午午1月-2321:06January6,202316、少年十五五二十时，，步行夺得得胡马骑。。。2023/1/621:06:4121:06:4106January202317