固体物理计算题

固体物理计算题第一页，共七十二页，2022年，8月28日第一章晶体结构通过本章学习重点内容：晶体结构中的一些常用术语晶格类型几种晶体结构第二页，共七十二页，2022年，8月28日TermsaboutCrystalStructuresLattice晶格BravaisLattice布喇菲格子Latticepoint格点Basis基元LatticeTranslationVector格矢

li为整数。TranslationVector基矢PrimitiveCell原胞conventionalcell晶胞(nonprimitivecell非初基单胞)第三页，共七十二页，2022年，8月28日§1-2常见的晶体结构及其

原胞、晶胞

简单晶体的简单立方(simplecubic,sc)，例如氧、硫固体

简单立方堆积

简单立方结构单元第四页，共七十二页，2022年，8月28日简单立方其特点有:三个基矢互相垂直（）,重复间距相等,为a,亦称晶格常数；其晶胞=原胞;体积=;配位数(第一近邻数)=6。

第五页，共七十二页，2022年，8月28日简单晶体的体心立方

(body-centeredcubicbcc)，例如，Li，K

体心立方堆积

体心立方结构单元

第六页，共七十二页，2022年，8月28日体心立方其特点有：晶胞基矢,并且其原胞基矢由从一顶点指向另外三个体心点的矢量构成:其体积为;配位数=8。第七页，共七十二页，2022年，8月28日简单立方晶胞

体心立方晶胞与惯用原胞

第八页，共七十二页，2022年，8月28日3)体心立方晶格由立方体的中心到三个顶点引三个基矢——原胞中只包含一个原子基矢原胞体积第九页，共七十二页，2022年，8月28日面心立方

(face-centeredcubic;fcc),例如，Cu等。面心立方结构(晶胞) 面心立方惯用原胞

第十页，共七十二页，2022年，8月28日面心立方晶胞基矢，并且每面中心有一格点,其原胞基矢由从一顶点指向另外三个面心点的矢量构成:其体积=;配位数=12。

第十一页，共七十二页，2022年，8月28日第十二页，共七十二页，2022年，8月28日找出在单胞轴a，b，c上，以点阵常数量度的截距，这些轴可以是初基的或是非初基的。取这些截距的倒数，然后划成与之具有同样比率的三个整数，一般是化成三个最小的整数。将结果括在括号里(hkl)。第十三页，共七十二页，2022年，8月28日Planeperpendiculartoycutsat,1,(010)planeThisdiagonalcutsat1,1,(110)plane第十四页，共七十二页，2022年，8月28日Findinterceptsona,b,c:1/4,2/3,1/2Takereciprocals4,3/2,2Multiplyuptointegers:(834)

[ifnecessary]第十五页，共七十二页，2022年，8月28日倒易点阵、倒格矢、波失(倒)空间

证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方

倒格子定义体心立方格子原胞基矢第十六页，共七十二页，2022年，8月28日倒格子基矢同理可见由为基矢构成的格子为面心立方格子

第十七页，共七十二页，2022年，8月28日1.5证明：倒格子矢量垂直于密勒指数为的晶面系

因为容易证明与晶面系正交第十八页，共七十二页，2022年，8月28日晶体宏观对称性7大晶系、14种布拉伐格子、32种点群第十九页，共七十二页，2022年，8月28日第二章晶体的结合负电性。四种结合—离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯键、（氢键）每种结合的特点第二十页，共七十二页，2022年，8月28日第三章晶格振动与晶体的热学特性第二十一页，共七十二页，2022年，8月28日1.讨论晶格振动时的物理框架是牛顿力学还是量子力学？答：牛顿力学＋量子力学修正，所以又可称为半经典理论。

2.讨论晶格振动时采用了哪些近似条件？答：采用了近邻近似和简谐近似。

3.什幺是近邻近似和简谐近似？近邻近似：在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用；简谐近似：在原子的互作用势能展开式中，只取到二阶项。

4.晶体中一个原胞中有n个原子组成，有3支声学波和3n－3支光学波第二十二页，共七十二页，2022年，8月28日

一维晶格振动格波第二十三页，共七十二页，2022年，8月28日一维晶格振动格波考虑第n个粒子的受力情况,它只受最近邻粒子的相互作用,即分别受到来自第n-1个粒子及第n+1个粒子的弹性力:合力:（3-1）第二十四页，共七十二页，2022年，8月28日一维晶格振动格波在列出(3-1)式时已假设晶格中足够长,忽略边界,故以试探解（行波）代入(3-1)式,利用，和，有:，即：（3-2）第二十五页，共七十二页，2022年，8月28日一维晶格振动格波由此看出,格波的波速一般是波长的函数。(3-2)式代表一维布喇菲格子的色散关系.它正是我们所寻求的结果。如图示:第二十六页，共七十二页，2022年，8月28日一维晶格振动格波第二十七页，共七十二页，2022年，8月28日一维双原子晶格

在光学支与声学支之间存在一间隙,即晶格不能传播这样的波,因此,双原子晶格起到带通机械滤波器的作用。第二十八页，共七十二页，2022年，8月28日一维双原子晶格第二十九页，共七十二页，2022年，8月28日求：一维单原子点振动的声子谱密度，并作图。解：一维单原子点振动的色散曲线如下图所示格波的态密度函数格波的态密度函数g()，又称为模式密度数，其定义为在附近单位频率间隔内的格波总数第三十页，共七十二页，2022年，8月28日由色散曲线的对称性可以看出，区间对应两个同样大小的波失区间。区间对应个振动模式，单位波失区间对应有个振动模式。则范围内包含个振动模式。单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度，根据这一定义可得模式密度为由色散关系得：代入上式可得模式密度第三十一页，共七十二页，2022年，8月28日

晶格振动的量子化、声子声子与光子非常相类，不同的是:声子具有纵向振动模。可以证明,与光子一样,声子服从玻色统计分布,为玻色子。它既可以产生,也可以消灭。晶格振动能量是量子化的:第三十二页，共七十二页，2022年，8月28日晶格振动的量子化、声子第三十三页，共七十二页，2022年，8月28日晶格热容的量子理论模型杜隆－珀替定律爱因斯坦模型德拜模型假设每个简振的平均能量KBT，固体N个原子有3N个简振模晶格振动相互独立，晶体中所有原子都以相同的频率振动，共3N个同频振动晶格当作弹性介质，频率有分布能量3NKBT热容3NKB高温近似常数近似常数近似常数低温NOTT3law第三十四页，共七十二页，2022年，8月28日第四章能带理论晶格周期性函数根据布洛赫定理电子的波函数——布洛赫函数第三十五页，共七十二页，2022年，8月28日4.1一维周期场中电子的波函数满足Bloch定理，若晶格常数为a的电子波函数为：(a)(b)(c)试求电子在这些态的波失。解：根据Bloch定理可得：(a)第三十六页，共七十二页，2022年，8月28日所以电子的波失为(b)所以电子的波失为(c)所以电子的波失为若只取第一布里渊区则若只取第一布里渊区则则若只取第一布里渊区第三十七页，共七十二页，2022年，8月28日近自由电子近似模型——金属

能带及一般性质自由电子的能谱是抛物线型——晶体弱周期性势场的微扰，电子能谱在布里渊边界产生了宽度的禁带——发生能量跃变——在远离布里渊区边界，近自由电子的能谱和自由电子的能谱相近第三十八页，共七十二页，2022年，8月28日

禁带的宽度——取决于金属中势场的形式第三十九页，共七十二页，2022年，8月28日第一能带位于简约布里渊区，其它能带可以通过倒格矢移到简约布里渊区——每一个能带在简约布里渊区都有各自的图像，得到所有能带在简约布里渊区的图像——简约波矢的取值被限制在简约布里渊区，要标志一个状态需要表明：1)

它属于哪一个能带（能带标号）2)

它的简约波矢是什么？第四十页，共七十二页，2022年，8月28日电子波矢k和简约波矢的关系第四十一页，共七十二页，2022年，8月28日3.能带的3种表示图式

1)扩展能区图式

第一能带第二能带第四十二页，共七十二页，2022年，8月28日2)简约能区图式

——对于同一个能带来说能量在k空间具有周期性——每一个能带在简约布里渊区都有各自的图像i)它属于哪一个能带ii)它的简约波矢是什么——简约布里渊区标志一个状态第四十三页，共七十二页，2022年，8月28日3)周期能区图式

——对于同一个能带而言能量是波矢周期性函数——将任意一条能量曲线通过倒格子矢量从一个布里渊区移到其它布里渊区，在每一个布里渊区画出所有能带，构成k空间中能量分布的完整图像第四十四页，共七十二页，2022年，8月28日且是常数用近自由电子近似求势能的平均值，求第一第二禁带的宽度4.4电子在周期场中的势能oba2a第四十五页，共七十二页，2022年，8月28日势能据有周期性，因此只在一个周期内求平均即可，于是得禁带宽度为而所以第一禁带宽度为：第四十六页，共七十二页，2022年，8月28日第二禁带宽度为;第四十七页，共七十二页，2022年，8月28日第四十八页，共七十二页，2022年，8月28日紧束缚方法----绝缘体能量本征值第四十九页，共七十二页，2022年，8月28日例题计算简单立方晶格中由原子s态形成的能带

s态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同具有相同的值表示为s态波函数为偶宇称能量本征值第五十页，共七十二页，2022年，8月28日——简立方六个近邻格点代入第五十一页，共七十二页，2022年，8月28日——带宽取决于J1，大小取决于近邻原子波函数之间的相互重叠，重叠越多，形成能带越宽第五十二页，共七十二页，2022年，8月28日晶体中电子在电场和磁场中的运动方法一——求解在外加势场U时电子的薛定谔方程——讨论均匀电磁场中晶体中电磁输运问题方法二——满足一定条件下将电子的运动近似当作经典粒子的运动来处理第五十三页，共七十二页，2022年，8月28日加速度和有效质量

电子的速度电子的速度分量电子的加速度分量第五十四页，共七十二页，2022年，8月28日有效质量张量第五十五页，共七十二页，2022年，8月28日布里渊区定义：在倒格子空间中，以某一格点为原点，作所有倒格矢G的垂直平分面，这些平面将倒易空间分割为许多包围原点的多面体，其中离原点最近的多面体称为第一布里渊区，离原点次近的多面体与第一布里渊区的表面所围成的区域称为第二布里渊区，同理类推，可得第三、第四布里渊区等。

第五十六页，共七十二页，2022年，8月28日例一：二维正方格子的布里渊区

倒格子基矢：

可见二维正方格子的倒格子仍为二维正方格子。

方法：在倒格子空间中，以某一格点为原点，作所有倒格矢G的垂直平分面（图见下页）。正格子结构：二维正方格子；正格子原胞基矢：

；

第五十七页，共七十二页，2022年，8月28日二维正方格子布里渊区图示第一布里渊区第二布里渊区第三布里渊区第五十八页，共七十二页，2022年，8月28日二维正方格子布里渊区图示（演示）第一布里渊区第二布里渊区第三布里渊区第五十九页，共七十二页，2022年，8月28日布里渊区的特征(1)第一布里渊区实际上就是倒格子的维格纳——赛兹原胞，其形状围绕原点中心对称；(2)其余每个布里渊区的各个部分也都是以原点为中心对称分布的；(3)每个布里渊区的体积都相等且等于倒格子原胞的体积。

第六十页，共七十二页，2022年，8月28日§4.7能态密度和费密面

1.能态密度函数

——固体中电子的能量由一些准连续的能级形成的能带

——能量在E~E+E之间的能态数目Z能态密度函数第六十一页，共七十二页，2022年，8月28日在k空间，根据E(k)=Constant构成的面为等能面由E和E+E围成的体积为V，状态在k空间是均匀分布的——动量标度下的能态密度E~E+E之间的能态数目两个等能面间垂直距离状态密度第六十二页，共七十二页，2022年，8月28日能态密度考虑到电子的自旋，能态密度第六十三页，共七十二页，2022年，8月28日第五章金属电子论

（1）费米统计；（2）金属自由电子费米气的模型和基态性质；（3）金属费米面；（4）金属中电子的热容；第六十四页，共七十二页，2022年，8月28日——一般温度下，晶格振动的热容量比电子的热容量大得多低温范围下——不能忽略电子的热容量——在温度较高下，晶格振动的热容量是主要的——热容量基本是一个常数第六十五页，共七十二页，2022年，8月28日4.金属的费米面费米面：K空间中能量值为常量的曲面（1）绝对零度下，费米面将填充能级和未填充能级分隔开；（2）费米面形状基本上不随温度变化；（