第五章刚体力学基础

15.3绕定轴转动刚体的动能动能定理一、定轴转动刚体的动能zO的动能为P•2绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半。刚体的总动能3二、力矩的功O

根据功的定义（力矩做功的微分形式）对一有限过程若M=C力的累积过程—力矩的空间累积效应。.P4(2)力矩的功就是力的功。(3)内力矩作功之和为零。(1)合力矩的功讨论(4)力矩的功率力矩的功率可以写成力矩与角速度的乘积。5三、绕定轴刚体的动能定理（合力矩功的效果）元功6对于一有限过程

绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量,等于在该过程中作用在刚体上所有外力矩所作功的总和。绕定轴转动刚体的动能定理。即7讨论(3)刚体动能的增量，等于外力矩的功。(2)刚体的内力做功之和为零；(1)质点系动能变化取决于所有外力做功及内力做功；8刚体重力势能定轴转动刚体的机械能质心的势能

对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。四、刚体的机械能9例1

长为

l,质量为m

的均匀细直棒，可绕轴O

在竖直平面内转动,初始时它在水平位置。解:由动能定理求:它由此下摆

角时的。OlmCx10此题也可用机械能守恒定律方便求解。而OlmCx11h例2

一个质量为M,半径为R的定滑轮(当作均匀圆盘)上面绕有细绳,绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦。O

RmM求:

物体m由静止下落高度h时的速度。圆盘对中心轴的转动惯量12绳与圆盘间无相对滑动v=Rω利用刚体的动能定理,得圆盘受力矩FTR作用解：hO

RmM由质点的动能定理：13解法2.根据机械能守恒定律hO

RmM145.4动量矩和动量矩守恒定律

力矩的时间累积效应

力的时间累积效应冲量、动量、动量定理。冲量矩、动量矩、动量矩定理。15动量矩的引入：但是在质点的匀速圆周运动中,动量

不守恒。16例子:开普勒行星运动定律的面积定律:

实例都说明是一个独立的物理量。再考虑到行星的质量m为恒量，行星在相等的时间内扫过相等的面积。17开普勒第二定律(面积定律):行星在相等的时间内扫过相等的面积。18

在描述行星的轨道运动,自转运动,卫星的轨道运动及微观粒子的运动中都具有独特作用。因此,必须引入一个新的物理量—动量矩L,来描述这一现象。

卫星地球+19一、动量矩1.质点的动量矩(对O点)

质量为的质点以速度在空间运动,某时刻相对原点O的位矢为,质点相对于原点的动量矩大小：方向:符合右手螺旋法则。20讨论(1)质点的动量矩与质点的动量及位矢有关(取决于固定点的选择)。(2)在直角坐标系中的分量式21(3)当质点作圆周运动时：质点以角速度ω

作半径为r

的圆运动，相对圆心的动量矩的大小kgm2/s(5)单位:(4)动量矩的定义并没有限定质点只能作曲线运动而不能作直线运动。222.刚体绕定轴转动的动量矩O质点对z轴的动量矩

刚体上任一质量元对z轴的动量矩为Oz23

刚体上任一质量元对z轴的动量矩具有相同的方向。(所有质元对z

轴的动量矩之和)OOz说明

动量矩与质点动量对比:

Jz—m，—v。24二、质点的动量矩定理和动量矩守恒定律已知1.质点的动量矩定理25——质点动量矩定理的微分形式。作用在质点上的力矩等于质点动量矩对时间的变化率。此即质点对固定点的动量矩定理。——质点动量矩定理的积分形式。积分，得冲量矩26质点所受合力矩的冲量矩等于质点的角动量的增量。(2)质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果。说明(1)冲量矩是力矩的时间积累,是质点动量矩变化的原因。272.质点动量矩守恒定律质点动量矩定理——质点动量矩守恒定律。则28(3)自然界普遍适用的一条基本规律。(2)向心力的角动量守恒。(4)质点对轴的动量矩守恒定律:

若Mz=0,则Lz=常数。即若力矩在某轴上的分量为零(或力对某轴的力矩为零)，则质点对该轴的动量矩守恒。(1)守恒条件讨论29求:

此时质点对三个参考点的动量矩的大小。md1d2

d3ABC解:例1一质点m,速度为

,如图所示,A、B、C分别为三个参考点,此时m相对三个点的距离分别为d1、d2、d3。30例2半径为R的光滑圆环上A点有一质量为m的小球,从静止开始下滑,若不计摩擦力。解:

小球受重力矩作用,由动量矩定理：求:小球到达B点时对O的动量矩和角速度。θABRO31即积分θABRO32

求:发射角θ及着陆滑行时的速度v

多大？例3

发射一宇宙飞船去考察一质量为M,半径为R的行星。当飞船静止于空间距行星中心4R时,以速度v0发射一质量为

m的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面。33解:引力场（有心力）质点的动量矩守恒系统的机械能守恒34三、刚体绕定轴转动下的动量矩定理和动量矩守恒定律质点的动量矩定理刚体内任一质量元所受力矩刚体内所有质量元所受力矩1.动量矩定理35对定轴转动的刚体,Jz为常量,——刚体定轴转动的动量矩定理微分形式。而或36刚体定轴转动中,动量矩定理与转动定律的关系

刚体定轴转动的转动定律实质是动量矩定理沿固定轴方向分量式的一种特殊形式。37定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量。刚体定轴转动动量矩定理积分形式:J

不变时J

改变时讨论382.刚体绕定轴转动的动量矩守恒定律对定轴转动刚体若动量矩L不变的含义:刚体:J不变,则不变。非刚体:因J可变,则J

乘积不变。变形体绕某轴转动时,若mk则变形体对该轴的角动量39角动量守恒举例花样滑冰、跳水、芭蕾舞等.L守恒2L守恒140例1

一均质棒,长度为L,质量为M,现有一子弹在距轴为y处水平射入细棒,子弹的质量为m,速度为v0

。求:

子弹细棒共同的角速度

。解:其中m子弹、细棒系统的动量矩守恒

41例2由一长为L的均匀细杆,可绕通过其中心点的轴在竖直平面内转动,当杆静止在水平位置时,有一只小虫以速率v0垂直落在距点O为L/4处,并背离转轴爬向端点。

设小虫和细杆的质量均为m。问:

要使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大的速率爬向端点？v0mpθL/4Or42解:小虫落在细杆上为完全非弹性碰撞,且时间极短重力矩作用可以忽略,碰撞前后系统动量矩守恒,故有：得杆的角速度为：v0mpθL/4Or43

作用在杆上的外力矩为小虫的重力矩，由动量矩定理知因为细杆和小虫绕轴的转动惯量为：v0mpθL/4Or44联立以上各式得到：小虫的速率45例3

如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,已知棒长为l,质量为M

。mM解:

选取子弹和棒为系统,其动量矩守恒因为求:

子弹穿出后棒的角速度。l所以46例4质量分别为M1、M2,半径分别为R1

、R2的两均匀圆柱,可分别绕它们本身的轴转动,二轴平行。原来它们沿同一转向分别以10

,20的角速度匀速转动,然后平移二轴使它们的边缘相接触,如图所示。求:

最后在接触处无相对滑动时,每个圆柱的角速度1和2

。

R1M1R2M2R1M1R2M247二圆柱系统动量矩守恒：

对上述问题有以下的解法:在接触处无相对滑动时,二圆柱边缘的线速度一样,故有：由以上二式就可解出1，2。其中这种解法对吗?R1M1R2M248

原解认为系统的总动量矩为二圆柱各自对自己的轴的角动量之和是错误的,因为系统的总动量矩只能对同一个轴进行计算。当两柱体边缘没有相对滑动时1，2方向相反,所以应为(1)

应对两圆柱分别使用动量矩定理,由于两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反,

力矩和冲量矩的大小正比于半径,方向相同:49(2)解(1)(2)式,得