四川省资阳市安岳县周礼中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析

四川省资阳市安岳县周礼中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.点P的坐标满足，过点P的直线与圆相交于A、B两点，则的最小值是……(

)A．

B．4

C．

D．3参考答案：B2.复数的实部是（

）

A．﹣2

B．2

C．3

D．参考答案：B将原式，所以复数的实部为2．3.若f(x)=-+blnx在[1,+)上是减函数，则的取值范围是(

)A． B． C．(-,1] D．参考答案：C略4.执行右图所示的程序框图，则输出的n=A．3 B．4

C．5

D．6参考答案：C5.已知函数f（x）满足：①定义域为R；②对任意x∈R，有f（x+2）=2f（x）；③当x∈[﹣1，1]时，f（x）=．若函数g（x）=，则函数y=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]上零点的个数是(

) A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：D考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件关系，求出函数f（x）的表达式，作出f（x）与g（x）的图象，利用数形结合判定两个函数图象的交点即可的结论．解答： 解：∵对任意x∈R，有f（x+2）=2f（x）；若x∈[1，3]，则x﹣2∈[﹣1，1]，此时f（x）=2f（x﹣2）=2，当x∈[3，5]，则x﹣2∈[1，3]，此时f（x）=2f（x﹣2）=2，当x∈[﹣3，﹣1]，则x+2∈[﹣1，1]，此时f（x）=f（x+2）=，当x∈[﹣5，﹣3]，则x+2∈[﹣3，﹣1]，此时f（x）=f（x+2）=，作出函数f（x）与g（x）的图象，由图象可知，两个图象有10个交点，即函数y=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]上零点的个数是10个，故选：D．点评：此题考查了函数与方程的知识，考查了转化与化归和数形结合的数学思想，由函数的三条件基本性质进行分解，从而确定出函数f（x）在[﹣5，5]上的分段函数解析式，作出函数图象是本题的突破点．难度较大．6.等差数列中，，则该数列前项之和为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：试题分析：设公差为由已知所以，选.考点：等差数列及其求和公式.7.在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点，点Q为PF的中点，点M满MQPF，且.过点M作圆的切线，切点分别为S，T，则的最小值为

A．

B．

C．

D.参考答案：【知识点】曲线与方程；距离最值问题.

H9A

解析：设M(x,y)，，则Q(0,b),由QM⊥FP得.由得y=2b,所以点M的轨迹方程为，M到圆心距离d=，易知当d去最小值时取最小值，此时，由三角形面积公式得：,故选A.

【思路点拨】先求得点M的轨迹方程，分析可知当M到圆心距离最小时最小，所以求M到圆心距离d得最小值，再用三角形面积公式求得的最小值.

8.设A，B为抛物线y2=2px（p＞0）上不同的两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则△OAB面积的最小值为(

)A．p2 B．2p2 C．4p2 D．6p2参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设直线的方程为斜截式（有斜率时），代入抛物线，利用OA⊥OB找到k，b的关系，然后利用弦长公式将面积最后表示成k的函数，然后求其最值即可．最后求出没斜率时的直线进行比较得最终结果．【解答】解：当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+b．由消去y得k2x2+（2kb﹣2p）x+b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得△=（2kb﹣2p）2﹣4k2b2＞0，即kb＜．，所以=．所以由OA⊥OB得所以b=﹣2pk，①代入直线方程得y=kx﹣2pk=k（x﹣2p），所以直线l过定点（2p，0）．再设直线l方程为x=my+2p，代入y2=2px得y2﹣2pmy﹣4p2=0，所以y1+y2=2pm，y1y2=﹣4p2，所以==，所以S=，所以当m=0时，S的最小值为4p2．故选C【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系中的弦长问题中的最值问题，一般先结合韦达定理将要求最值的量表示出来，然后利用函数思想或基本不等式求最值即可．9.设是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为，过作直线的垂线，分别交于、两点，且向量与同向．若成等差数列，则双曲线离心率的大小为A．2

B．

C．

D．参考答案：D设=m?d，=m，=m+d，由勾股定理，得(m?d)2+m2=(m+d)2．解得m=4d．设∠AOF=，则cos2=．cos=，所以，离心率e=.选D.10.已知，则的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点满足向量在向量上的投影为，则点P的轨迹方程是________________．参考答案：x＋2y-5＝012.设等差数列{an}的各项都是正数，前n项和为Sn，公差为d．若数列也是公差为d的等差数列，则{an}的通项公式为an=．参考答案：【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由题意可得：Sn=na1+d．an＞0.=+（n﹣1）d，化简n≠1时可得：a1=（n﹣1）d2+2d﹣d．分别令n=2，3，解出即可得出．【解答】解：由题意可得：Sn=na1+d．an＞0．=+（n﹣1）d，可得：Sn=a1+（n﹣1）2d2+2（n﹣1）d．∴na1+d=a1+（n﹣1）2d2+2（n﹣1）d．n≠1时可得：a1=（n﹣1）d2+2d﹣d．分别令n=2，3，可得：a1=d2+2d﹣d，a1=2d2+2d﹣d．解得a1=，d=．∴an=+（n﹣1）=．故答案为：．13.若曲线与直线（）有两个公共点，则的取值范围是_____.参考答案：a>2略14.下列四个命题：①直线与圆恒有公共点；②为△ABC的内角，则最小值为；③已知a，b是两条异面直线，则过空间任意一点P都能作并且只能作一条直线与a，b都垂直；④等差数列{}中，则使其前n项和成立的最大正整数为2013;其中正确命题的序号为

。（将你认为正确的命题的序号都填上）参考答案：①③略15.如图所示：中，点是中点。过点的直线分别交直线、于不同两点、。若，则的值为

参考答案：216.（理科）已知函数如果，求的取值范围为

.参考答案：17.已知的展开式中的系数为9，则常数的值为

参考答案：1

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，,四边形是菱形，且交于点，是上任意一点.（1）求证：；（2）已知二面角的余弦值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值.

参考答案：（12分）（1）因为平面，所以，

1分因为四边形为菱形，所以

2分又因为

5分（2）连接在中，所以分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设则，.

6分由（1）知，平面的一个法向量为（1,0,0），

设平面的一个法向量为，则得，令，得

8分因为二面角的余弦值为，所以，解得或（舍去），所以

10分设与平面所成的角为.因为，，∴所以与平面所成角的正弦值为.

12分19..(本小题满分12分)设函数f(x）=,其中向量,.（1）求f（）的值及f（x）的最大值。

（2）求函数f（x）的单调递增区间.参考答案：略20.(本小题满分12分)已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，直线l：与椭圆交于M，N，四边形的面积为.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）作与l平行的直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点为P，若的斜率分别为，求的取值范围.参考答案：解：由（1）可得

，

………2分，带入得，椭圆方程为

………5分（2）设直线的方程为由，得，得，

………7分设,则（）

………10分

………12分

21.如图，在正三棱柱中，是的沿长线上一点，过三点的平面交于，交于

（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）当平面平面时，求的值.参考答案：Ⅰ）因为∥，在平面外，所以∥平面；…………2分是平面与平面的交线，所以∥，故∥；…………4分而在平面外，所以∥平面……6分注：不写“在平面外”等条件的应酌情扣分；向量方法按建系、标点、求向量、算结果这四个步骤是否正确来评分.（Ⅱ）解法一：取中点、中点则由∥知在同一平面上，并且由知而与（Ⅰ）同理可证平行于平面与平面的交线，因此，也垂直于该交线，但平面平面，所以平面，…………10分于是，∽…………12分即…………14分注：几何解法的关键是将面面垂直转化为线线垂直，阅卷时应注意考生是否在运用相关的定理.（Ⅱ）解法二：如图，取中点、中点.

以为原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.则在平面中,，向量设平面的法向量，则由即得……9分在平面中,，向量设平面的法向量，由得……12分平面平面，，即……14分注：使用其它坐标系时请参考以上评分标准给分.I）由题意，，∴Q点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且,∴曲线C的轨迹方程是.………………分

（II）先考虑切线的斜率存在的情形.设切线：，则

由与⊙O相切得

即

①……………7分由，消去得，,设，，则由韦达定理得，……9分

②……10分由于其中一条切线满足，对此结合①式可得…………12分于是，对于任意一条切线，总有，进而故总有.

…………14分最后考虑两种特殊情况：（1）当满足的那条切线斜率不存在时，切线方程为代入椭圆方程可得交点的纵坐标，因，故，得到，同上可得：任意一条切线均满足；（2）当满足的那条切线斜率存在时，，，对于斜率不存在的切线也有.综上所述，命题成立.

…………15分22.（12分）已知函数f（x）=x+alnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．参考答案：考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题： 导数的综合应用．分析： （I）由已知得x＞0，，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（II）由（I）导数性质能求出当﹣e＜a≤0时，f（x）没有零点．解答： 解：（I）∵f（x）=x+alnx，∴x＞0，，∴当a≥0时，在x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞），没的减区间；当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：x （0，﹣a） ﹣a （﹣a，+∞）f′（x） ﹣ 0 +f（x） ↘ 极小值 ↗函数的增区间是（﹣a，+∞），减区间是（0，a）．（II）