四川省绵阳市玉龙中学2021年高三数学文上学期期末试题含解析

四川省绵阳市玉龙中学2021年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则a，b，c的大小关系为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据指数函数与对数函数单调性比较大小，确定选项.【详解】因为，所以故选D【点睛】本题考查指数函数与对数函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.2.已知函数，下面结论错误的是……………（）A．函数的最小正周期为

B．函数是奇函数

C．函数在时，取得最小值

D．函数在区间上是减函数参考答案：D3.已知向量（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B4.如图，位于A处前方有两个观察站B，D，且△ABD为边长等于3km的正三角形，当发现目标出现于C处时，测得∠BDC=45°，∠CBD=75°，则AC=（）A．15﹣6km B．15+6km C．km D．km参考答案：C【考点】三角形中的几何计算．【分析】先利用正弦定理，求出DC，再用余弦定理，求出AC．【解答】解：由题意，∠BCD=60°，∴=，∴DC=（3+），∵∠CDA=105°，∴AC==，故选C．5.已知函数的部分图象如图所示，若将图像上的所有点向右平移个单位得到函数的图像，则函数的单调递增区间为（

）A．,

B．,

C．,

D．,参考答案：A由图可知：A＝2，T＝＝，所以，，又，得，所以，，向右平移个单位得到函数＝，由，得，所以，选A6.已知全集

A．{0}

B．{2}

C．{0，1，2}

D.

参考答案：A略7.已知集合，集合，则等于（

）A． B． C．

D．参考答案：B8.巳知角a的终边与单位圆交于点，则sin2a的值为(A)(B)－(C)－(D)参考答案：D略9.若对使成立，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B10.已知函数则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.由直线，曲线及轴所围图形的面积为

。参考答案：2ln212.等差数列中，已知，则．参考答案：【答案解析】1007

解析：由得：.【思路点拨】根据等差数列的性质：当，且时，求解.13.已知回归直线的斜率的估计值为，样本的中心点为，则回归直线方程是

；参考答案：略14.如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为__________．参考答案：

【知识点】程序框图L1解析：由程序框图知，又以及周期的性质，化简后得．故答案为.【思路点拨】首先分析程序框图，循环体为“直到型”循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的值．15.以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且以为渐近线的双曲线方程是___________________参考答案：抛物线的焦点为，即双曲线的的焦点在轴，且，所以双曲线的方程可设为，双曲线的渐近线为，得，所以，，即，所以，所以双曲线的方程为。16.如图，在中，是边上一点，则.参考答案：答案：解析：由余弦定理得可得，又夹角大小为，，所以.17.抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，若A（﹣1，0），则的最小值为

．参考答案：考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，则==sin∠PAM，故当PA和抛物线相切时，最小．再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得的最小值．解答： 解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1．过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，则==sin∠PAM，∠PAM为锐角．故当∠PAM最小时，最小，故当PA和抛物线相切时，最小．设切点P（a，2），则PA的斜率为=（2）′=，求得a=1，可得P（1，2），∴|PM|=2|PA|=2sin∠PAM===，故答案为：．点评：本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、导数的几何意义，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在如图所示的五面体ABCDEF中，，，，四边形为正方形，平面平面ABCD，G为线段AB的中点.（1）证明：平面；（2）求该五面体的体积.参考答案：(1)见证明；(2)【分析】（1）根据题意，可推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面．（2）推导出，从而平面．平面将五面体分成四棱锥和三棱锥，该五面体的体积，由此能求出结果．【详解】（1）因为，，，所以，又四边形是正方形，所以，，故四边形为平行四边形故因为平面，平面所以平面（2）因为平面平面，四边形为正方形，所以，所以平面，在中，因为，故，又，所以由余弦定理，得，所以，，则，平面将五面体分成四棱锥和三棱锥故.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查五面体的体积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．19.正项等差数列中，已知，且构成等差数列的前三项。（I）求数列的通项公式；（II）求数列的前项和。参考答案：【知识点】等差数列数列求和D2D4（I），；（II）（I）设等差数列的公差为d，由已知得又，解得d=2,所以，又，所以；（II）因为两式相减得，则.【思路点拨】一般遇到数列求和问题，通常结合通项公式特征确定求和思路，本题是等差与等比的积数列，所以用错位相减法求和.20.已知椭圆C：经过点，，点A是椭圆的下顶点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点A且互相垂直的两直线l1，l2与直线分别相交于E，F两点，已知OE=OF，求直线l1的斜率.参考答案：解：（1）由题意得，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）由题意知，直线，的斜率存在且不为零，设直线：，与直线联立方程有，得，设直线：，同理，因为，所以，①，无实数解；②，，，解得，综上可得，直线的斜率为.

21.设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．参考答案：解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x﹣）ln=x++（﹣x）lnx，∴g（x）=g（），则g′（x）=﹣（1+）lnx，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值为g（1）==2．（Ⅱ）∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1﹣+=．令f′（x）=0，即x2+ax﹣1=0，则△=a2+4＞0，不妨取t=＞0，由此得：t2+at﹣1=0或写为：a=﹣t．当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（﹣t）lnt，即h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）．由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g（d）=0，且cd=1，因为a=﹣t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c，又﹣d+﹣c=﹣（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用已知函数g（x）的解析式，分别计算g（），g（x），可得两者相等；再利用g′（x）求得最大值；（Ⅱ）利用f′（x）可得f（x）的最小值h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t），由（Ⅰ）可知g（）＜0，g（1）＞0，利用函数零点的判定定理即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x﹣）ln=x++（﹣x）lnx，∴g（x）=g（），则g′（x）=﹣（1+）lnx，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值为g（1）==2．（Ⅱ）∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1﹣+=．令f′（x）=0，即x2+ax﹣1=0，则△=a2+4＞0，不妨取t=＞0，由此得：t2+at﹣1=0或写为：a=﹣t．当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（﹣t）lnt，即h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）．由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g（d）=0，且cd=1，因为a=﹣t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c，又﹣d+﹣c=﹣（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数．点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力22.已知f（x）=bx﹣b，g（x）=（bx﹣1）ex，b∈R（Ⅰ）若b≥0，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若不等式f（x）＞g（x）有且仅有两个整数解，求b的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）分离参数，问题转化为b＜有两个整数解，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）g′（x）=ex（bx+b﹣1），b=0时，g′（x）＜0在R恒成立，即g（x）在R递减，b＞0时，g′（x）＞0的解集是{x|x＞﹣1}，即g（x）在（﹣1，+∞）递增，在（﹣∞，﹣1）递减；（Ⅱ）由不等式f（x）＞g（x）有且仅有两个整数解，b则a（xex﹣x+1）＜ex有两个整数解．因为y=x（ex﹣1）+1，当x＞0时，ex﹣1＞0