四川省泸州市立石中学2022年高二数学理下学期期末试题含解析

四川省泸州市立石中学2022年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.840和1764的最大公约数是（

）A．84

B．12

C．168

D．252参考答案：A2.给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体；⑤棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是（

）

A．②③④⑤

B．②④⑤

C．②⑤

D．①②③④⑤参考答案：A①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；⑤正确，由棱台的概念可知．3.是的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】分别判断充分性和必要性得到答案.【详解】所以（逆否命题）必要性成立当，不充分故是必要不充分条件，答案选B【点睛】本题考查了充分必要条件，属于简单题.4.已知不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为{x|m＜x＜n}，且m＞0，则不等式cx2+bx+a＜0的解集为（）A．（，） B．（，） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）参考答案：C【考点】一元二次不等式．【分析】依题意，a＜0，m+n=﹣，mn=＞0，从而可求得b，c，代入cx2+bx+a＜0即可求得答案．【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为（m，n）（0＜m＜n），∴a＜0，m+n=﹣，mn=，∴b=﹣a（m+n），c=amn，∴cx2+bx+a＜0?amnx2﹣a（m+n）x+a＜0，∵a＜0，∴mnx2﹣（m+n）x+1＞0，即（mx﹣1）（nx﹣1）＞0，又0＜m＜n，∴＞，∴x＞或x＜，故不等式cx2+bx+a＜0的解集是（﹣∞，）∪（，+∞）．故选：C．5.设实数a、b、c满足a+b+c=1，则a、b、c中至少有一个数不小于（）A．0 B． C． D．1参考答案：B【考点】反证法的应用．【分析】根据题意，通过反证法，通过得出与已知a+b+c=1矛盾，可得结论．【解答】解：假设a、b、c都大于，则a+b+c＞1，这与已知a+b+c=1矛盾．假设a、b、c都小于，则a+b+c＜1，这与已知a+b+c=1矛盾．故a、b、c中至少有一个数不小于．故选：B．6.若双曲线的顶点为椭圆2x2+y2=2长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A．x2﹣y2=1 B．y2﹣x2=1 C．y2﹣x2=2 D．x2﹣y2=2参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】化椭圆方程为标准方程，求出长半轴长及离心率，得到双曲线的实半轴长及离心率，进一步求得双曲线的半焦距，结合隐含条件求得虚半轴长，则双曲线方程可求．【解答】解：由椭圆2x2+y2=2，得，∴a2=2，b2=1，则，a=．则e=，∴双曲线的实半轴长m=，离心率e′=，则双曲线的半焦距c′=，则虚半轴长n=．∴双曲线的方程为，即y2﹣x2=2．故选：C．7.已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?参考答案：B【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断【解答】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，∵B={x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=∴B?A．故选B．【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．8.目标函数，变量满足，则有（

） A．

B．无最小值 C．无最大值

D．既无最大值，也无最小值参考答案：C略9.已知点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线l：3x+2y﹣8=0的异侧，则（）A．3x0+2y0＞0 B．3x0+2y0＜0 C．3x0+2y0＜8 D．3x0+2y0＞8参考答案：D【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线l：3x+2y﹣8=0的异侧结合二元一次不等式（组）与平面区域可知，将两点的坐标代入直线方程式的左式，得到的值符号相反．【解答】解：将点的坐标代入直线的方程，得：3x0+2y0﹣8；3×1+2×2﹣8，∵点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线l：3x+2y﹣8=0的异侧，∴（3x0+2y0﹣8）（3×1+2×2﹣8）＜0，即：3x0+2y0﹣8＞0故选D．10.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458),若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列.则第30个数为(

)A.1278

B.1346

C.1359

D.1579参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，C=60°，A=75°，则b的值=

．参考答案：12.在等差数列中，已知则

.参考答案：13.阅读下面的算法框图．若输入m＝4，n＝6，则输出a＝________，i＝_______.参考答案：略14.已知正方体中，点E是棱的中点，则直线AE与平而所成角的正弦值是_________.参考答案：15.函数的值域是________________.参考答案：16.若实数x，y满足，则的最大值是

.参考答案：0将化成，作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），当直线向左上方平移时，直线在轴上的截距增大，即减少，由图象，得当直线过点时，取得最大值，联立，得，此时，；故填0.

17.设集合数列单调递增，集合函数在区间上单调递增，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的最小值为

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，棱柱的侧面是菱形，.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）设是上的点，且平面，求的值.

参考答案：解：（Ⅰ）因为侧面BCC1B1是菱形，所以，又已知，又平面A1BC1，又平面AB1C，所以平面平面A1BC1.（Ⅱ）设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，因为A1B//平面B1CD，所以A1B//DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点.即A1D：DC1=1.19.已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．参考答案：考点： 数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题： 计算题；证明题．分析： （I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，?，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1?，成立；设当n=k时，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．解答： 解：（I），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；（3分）（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．（5分）①当a=0时，明显成立．②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．因为x1x2=1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．，解得．综合①②③知：．

（9分）（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．

（12分）（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时命题成立．设当n=k时，命题成立，即．∴n=k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，则有，即n=k+1时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．

（12分）点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性及数学归纳法，难点之一在于（Ⅱ）中通过求h′（x）后，转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解的问题，再用分类讨论思想来解决；难点之二在于（Ⅲ）中法一通过构造函数，用放缩法证得结论，法二通过数学归纳法，其中也有构造函数的思想，属于难题．20.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求C；（2）若，求△ABC的面积.参考答案：（1）（2）【分析】（1）由正弦定理把已知角的关系转化为边的关系，再由余弦定理求得，从而求得；（2）由(1)及代入可解得，再由求得面积．【详解】解：（1）由及正弦定理得：，∴，由余弦定理得：，∵，∴（2）由，及，得，∴∴∴△ABC的面积为.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面积公式，解题关键是由正弦定理把已知角的关系转化为边的关系．21.在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85分为良好，85分及以上为优秀.

分数697374757778798082838587899395合计人数24423463344523150

经计算样本的平均值μ≈81，标准差σ≈6.2.为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩为X，并根据以下不等式进行评判①P(μ－σ＜X＜μ+σ)≥0.6828；②P(μ－2σ＜X＜μ+2σ)≥0.9544；③P(μ－3σ＜X＜μ+3σ)≥0.9974评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷.（1）试判断该份试卷被评为哪种等级；（2）按分层抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量ξ表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.参考答案：（1）该份试卷应被评为合格试卷；（2）见解析【分析】（1）根据频数分布表，计算，，值，由此判断出“该份试卷应被评为合格试卷”.（2）利用超几何分布分布列计算公式，计算出分布列，并求得数学期望.【详解】