四川省泸州市来龙中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析

四川省泸州市来龙中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a，b∈R，则“”是“”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：A2.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的

代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是

A.

B.

C.

D. 参考答案：B3.（5分）（2015?浙江模拟）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则函数F（x）=f（x）﹣的所有零点之和为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】：函数零点的判定定理；分段函数的应用．【专题】：数形结合；函数的性质及应用．【分析】：得出x＜0时，f（x）=画出R上的图象，构造f（x）与y=交点问题，利用对称性求解，注意确定交点坐标求解．解：∵定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，∴x＜0时，f（x）=画出图象：∵函数F（x）=f（x）﹣，∴f（x）与y=交点的横坐标，根据图象可设交点的横坐标从左到右为x1，2，x3，x4，x5，根据图象的对性可知；x1+x2=﹣6，x4+x5=6，∴x1+x2=x3=x4=x5=x3，∵=，xx=，故函数F（x）=f（x）﹣的所有零点之和为：．故选：B【点评】：本题考查了函数的奇偶性，图象的对称性，函数的零点与构造函数交点的问题，属于中档题，关键是确定函数解析式，画图象．4.函数y=sin(2x+)?cos(x﹣)+cos(2x+)?sin(﹣x)的图象的一条对称轴方程是A．x=

B．x= C．x=π D．x=参考答案：Cy=sin(2x+)?cos(x﹣)+cos(2x+)?sin(﹣x)=sin(2x+)?cos(﹣x)+cos(2x+)?sin(﹣x)，所以x=π是其一条对称轴方程，选C.

5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，它的作用是求+++…+的值，用裂项法进行求和，可得结果．【解答】解：该程序框图的作用是求+++…+的值，而+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=，故选：C．6.已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与AF所成角的余弦值．【解答】解以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，∴A1（4，0，6），E（2，2，3），F（0，0，4），A（4，0，0），=（﹣2，2，﹣3），=（﹣4，0，4），设异面直线A1E与AF所成角所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．8.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C

满足＝α＋β，其中α、β∈R，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为A．3x＋2y－11＝0

B．(x＋1)2＋(y－2)2＝5C．2x－y＝0

D．x＋2y－5＝0参考答案：DD设C(x，y)，(x，y)＝α(3,1)＋β(－1,3)，因为α、β∈R，且α＋β＝1，消去α，β得x＋2y－5＝0.9.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D10.函数y=的图象的一条对称轴为(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，已知是圆的切线，切点为，交圆于两点，，，则线段的长为

.参考答案：112.若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（3）﹣f（4）=．参考答案：﹣1考点：奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质；函数的周期性．专题：计算题．分析：利用函数奇偶性以及周期性，将3或4的函数值问题转化为1或2的函数值问题求解即可．解答：解：∵若f（x）是R上周期为5的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），f（x+5）=f（x），∴f（3）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，f（4）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，∴f（3）﹣f（4）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查函数奇偶性的应用，奇（偶）函数的定义：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=﹣f（x））（或f（﹣x）=f（x）），那么函数f（x）是奇（偶）函数．13.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i=1，2），使得△PiA1A2（i=1，2）构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是．参考答案：1＜e＜【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出直线BF的方程为bx+cy﹣bc=0，利用直线与圆的位置关系，结合e＞1，即可求出双曲线离心率e的取值范围．【解答】解：由题意，F（c，0），B（0，b），则直线BF的方程为bx+cy﹣bc=0，∵在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i=1，2），使得△PiA1A2（i=1，2）构成以线段A1A2为斜边的直角三角形，∴，∴e4﹣3e2+1＜0，∵e＞1，∴e＜∵e＞1，∴1＜e＜．故答案为：1＜e＜．14.已知实数x，y满足条件则z=x2+（y+1）2的最小值为

．参考答案：5【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，z=x2+（y+1）2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到点B（0，﹣1）距离的最值，从而得到z最值即可．【解答】解：先根据实数x，y满足条件画出可行域，z=x2+（y+1）2，表示可行域内点B到A（0，﹣1）距离的平方，当z是点A到直线2x+y﹣4=0的距离的平方时，z最小，最小值为d2==5，给答案为：5．15.已知F1、F2分别是双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使得（）?0（O为坐标原点），且|PF1||PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是_____．参考答案：【分析】由?0，可得（）?（）＝0，即|OP|＝c，则∠F1PF2＝90°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得m﹣n＝2a，且m2+n2＝4c2，令m=kn，结合双曲线定义及不等式求得e的范围从而求得结果.【详解】?0，即为（）?（）＝0，即为22，可得|OP|＝c，即有∠F1PF2＝90°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得m﹣n＝2a，且m2+n2＝4c2，令m=kn，∴n，m．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2＝4c2，∴（）2+（）2＝4c2，∴（）2+（）2＝e2，又k，e2=，即有，故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的离心率及平面向量数量积的应用，求离心率的范围一般需要根据几何关系寻找不等关系构造离心率的不等式，属难题.16.设函数f（x）=则的值为．参考答案：【考点】函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】本题是分段函数求值，规律是先内而外逐层求值，先求f（2）值，再根据的取值范围判断应该用那一段上的函数解析式，代入求值即为的值．【解答】解：由于2＞1，故f（2）=22+2﹣2=4故=≤1故=1﹣=故答案为．17.若实数满足，则的最大值是__________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知命题指数函数在上单调递减，命题关于的方程的两个实根均大于3.若“或”为真,“且”为假,求实数的取值范围.参考答案：19.(本小题满分12分)

如图，DA平面ABC，DA∥PC，ACB=90o，AC=AD=BC=1，PC=2，E为PB的中点．

(I)求证：DE∥平面ABC；

(II)求二面角E—CD—B的余弦值．参考答案：20.在极坐标系中，已知三点.（1）求经过的圆的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为（是参数），若圆与圆外切，求实数的值.参考答案：(1);(2).[（2）圆（是参数）对应的普通方程为，因为圆与圆外切，所以，解得。考点：1.圆的参数方程；2.简单曲线的极坐标方程。21.（本小题满分13分）某中学高三年级从甲（文）、乙（理）两个年级组各选出7名学生参加高校自主招生数学选拔考试，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是85，乙组学生成绩的中位数是83.（1）求和的值；（2）计算甲组7位学生成绩的方差；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲组至少有一名学生的概率.参考答案：（1）∵甲组学生的平均分是85，∴.∴.…………1分∵乙组学生成绩的中位数是83，∴.…………2分（2）甲组7位学生成绩的方差为：………5分（3）甲组成绩在90分以上的学生有两名，分别记为，乙组成绩在90分以上的学生有三名，分别记为.

…………6分从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：.

…………9分其中甲组至少有一名学生共有7种情况：.…………11分记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生”为事件，则.…………12分答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生的概率为.…………13分22.（本小题共14分）

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE