四川省南充市顺庆区第一中学2022年高三数学理测试题含解析

四川省南充市顺庆区第一中学2022年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A． B． C． D．4参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z=2×1+1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=．故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．2.已知函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围是A．a≥3

B．a＝3

C．a≤3

D．0<a<3参考答案：A3.已知正三角形三个顶点都在表面积为的球面上，球心到平面的距离为，则三棱锥的体积为（

）A．

B．

C.24

D．参考答案：C设正三角形的中心为，连接，，，则为△的外接圆半径，；因为球的表面积为，所以球的半径为，又因为球心到平面的距离为，即；在△中，，；在△中，由正弦定理可得，即，，选C．4.如图，四边形ABCD内接于圆O，若，，，则的最大值为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】做出辅助线，根据题意得到；在三角形DCB中，应用余弦定理以及重要不等式得到再由正弦定理中的三角形面积公式得到结果.【详解】做于点E，，在直角三角形中，可得到根据该四边形对角互补得到在三角形ABD中，应用余弦定理得到在三角形DCB中，应用余弦定理以及重要不等式得到进而得到故答案为：C.【点睛】这个题目考查了余弦定理解三角形，以及四边形有外接圆则对角互补的性质的应用；在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.5.设是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则＋＝（

）A、3

B、2C、1

D、0参考答案：C略6.三棱锥D—ABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD的长为（

）A. B.2 C.3 D.4参考答案：D7.已知是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当时，，如果直线与曲线恰有两个不同的交点，则实数=（

）A．

B．

C．0

D．参考答案：D8.已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n﹣1，则数列{an2}的前n项和Tn=（）A．（2n﹣1）2 B．4n﹣1 C． D．参考答案：C【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】等比数列{an}的前n项和Sn=2n﹣1，可得：a1=S1=1，a1+a2=22﹣1=3，解得a2．利用等比数列的通项公式可得an．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：等比数列{an}的前n项和Sn=2n﹣1，∴a1=S1=1，a1+a2=22﹣1=3，解得a2=2．∴公比q=2．∴an=2n﹣1．∴=4n﹣1，则数列{an2}为等比数列，首项为1，公比为4．其前n项和Tn==．故选：C．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.复数z满足，则z=（

）A． B． C． D．参考答案：A由，则，故选A．

10.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里 B．48里 C．36里 D．24里参考答案：C【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第4天和第5天共走的路程【解答】解：记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6=，解得：a1=192，∴，此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列命题中，正确的是

①平面向量与的夹角为，，，则②已知，其中θ∈，则③是所在平面上一定点，动点P满足：，，则直线一定通过的内心参考答案：①②③12.等差数列{an}的前n项和为Sn，，则_____.参考答案：【分析】计算得到，再利用裂项相消法计算得到答案.【详解】，，故，故，.故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列的前n项和，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.13.设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为

．参考答案：2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；7C：简单线性规划．【分析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可．【解答】解：当x＞0时，f′（x）=，则f′（1）=1，所以曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线为y=x﹣1，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．z=x﹣2y可变形成y=x﹣，当直线y=x﹣过点A（0，﹣1）时，截距最小，此时z最大．最大值为2．故答案为：2．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），M（-4，0），N（4，0），P（0，-2），Q（0，2），H（4，2）．线段OM上的动点A满足；线段HN上的动点B满足．直线PA与直线QB交于点L，设直线PA的斜率记为k，直线QB的斜率记为k'，则k?k'的值为______；当λ变化时，动点L一定在______（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上．参考答案：

双曲线【分析】根据向量关系得到A，B的坐标，再根据斜率公式可得kk′=；设P（x，y），根据斜率公式可得P点轨迹方程．【详解】∵；∴A（-4λ，0），又P（0，-2），∴；∵．∴B（4，2-2λ），∴，∴kk′=，设L（x，y），则，∴，即．故答案为：，双曲线．15.若从区间（为自然对数的底数，）内随机选取两个数，则这两个数之积小于的概率为

．参考答案：16.实数，满足，目标函数的最大值为

．参考答案：-1如图区域为开放的阴影部分，可求，函数过点时，.

17.设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角θ=arctan．若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r＞0）．（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离．参考答案：考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，可得，进而可得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，进而求出陀螺T2的体积；（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，可得，进而利用弧长公式，求出圆心角，进而可得P与P1之间的距离．解答： 解：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，则，即’得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，

（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，则，得在△POP1中，点评：本题考查的知识点是旋转体的体积公式，弧长公式，是三角函数与空间几何的综合应用，难度中档．19.（本小题共14分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点是对角线与的交点，，，是的中点．(Ⅰ)求证：∥平面；(Ⅱ)平面平面；(Ⅲ)当三棱锥的体积等于时，求的长．参考答案：【知识点】立体几何综合【试题解析】证明：（Ⅰ）因为在△中，，分别是，的中点，

所以∥

又平面，平面，

所以∥平面．

(Ⅱ)因为底面是菱形，

所以．

因为平面，平面，

所以．又，

所以平面．

又平面，

所以平面平面．

（Ⅲ）因为底面是菱形，且，，

所以．

又，三棱锥的高为，

所以，

解得．20.设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为，若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．（Ⅰ）求他前两发子弹只命中一发的概率；（Ⅱ）求他所耗用的子弹数X的分布列与期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件乘法概率公式能求出他前两发子弹只命中一发的概率．（Ⅱ）由已知得他所耗用的子弹数X的可能取值为2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）∵某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为，∴他前两发子弹只命中一发的概率：p==．（Ⅱ）由已知得他所耗用的子弹数X的可能取值为2，3，4，5，P（X=2）=（）2+（）2=，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）=++=，∴X的分布列为：X2345P∴EX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．21.为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：年龄[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]频数102030201010支持“新农村建设”311261262

（1）根据上述统计数据填下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；

年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计支持

不支持

合计

（2）为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报道，并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众（假设年龄均在20周岁至80周岁内），给予适当的奖励.若以频率估计概率，记选出4名幸运观众中支持“新农村建设”人数为，试求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考公式：，其中.参考答案：（1）2×2列联表见解析，没有95%的把握（2）分布列见解析，数学期望为【分析】（1）根据已知数据填写2×2列联表，从而可利用公式计算出，可判断出无95%的把握；（2）可判断出服从二项分布：，通过公式计算出所有可能取值的概率，从而得到分布列；再利用求得数学期望.【详解】（1）列联表

年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计支持402060不支持202040合计6040100

所以没有的把握认为以岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异（2）由题可知，所有可能取值有，且观众支持“新农村建设”的概率为，因此，，所以的分布列是：01234

所以的数学期望为【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列和数学期望，重点考查了二项分布的问题.22.已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足（2，2）（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点A（3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M，N两点，经过定点B（3，﹣6）和M的直线与抛物线Γ交于另一点L，问直线NL是否恒过定