北师大版八年级上册数学 三角形解答题单元测试卷附答案

图⑴图⑶图⑴图⑶北师大版八年级上册数学三角形解答题单元测试卷附答案一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．图（1）是我们常见的“箭头图”，其中隐藏着哪些数学知识呢？下面请你解决以下问题：（1）观察如图（1）"箭头图”，试探究/BDC与ZA、ZB、ZC之间大小的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，回答下列两个问题：如图（2），把一块三角板XYZ放置在2BC上，使其两条直角边XYSX恰好经过点B、C.若ZA=50°，则ZABX+ZACX=；如图（3）,ZABD,ZACD的五等分线分别相交于点G2、G3、G4，若ZBDC=135°,ZBG1C=67°，求ZA的度数.【答案】（1）ZBDC=ZA+ZB+ZC（2）①40°②50°【解析】试题分析：（1）连接AD并延长，根据三角形的外角和内角关系解答；（2）①利用（1）的结论，直接计算出ZABX+ZACX的度数；②图（3）利用（1）的结论，根据ZBDC=135°,ZBG]C=67°，计算出相等的角：Zdbg4+ZDCG4的和，再次利用（1）的结论，求出ZA的度数.试题解析：（1）ZBDC=ZA+ZB+ZC.理由：连接AD并延长到M.因为ZBDM=ZBAD+ZB,ZCDM=ZCAD+ZC,所以ZBDM+ZCDM=ZBAD+ZB+ZCAD+ZC,即ZBDC=ZBAC+ZB+ZC.图⑴(2)①由(1)知：ZBXC=ZA+ZABX+ZACX，由于ZBXC=90°,ZA=50°所以ZABX+ZACX

=ZBXC-zA=90°-50°=40°．②在箭头图GfDC中因为ZBDC=ZG1+ZG]BD+ZG£D,又:ZBDC=135°,ZBG1C=67°•••ZABD,ZACD的五等分线分别相交于点G1SG、g、G12344(zdbg4+zDCG4)=135°-67°•••zdbg4+zDCG4=17°..ZABG1+ZACG1=17°T在箭头图G1BAC中•••zBG1C=ZA+ZG1BA+ZG1CA,又：ZBG1C=67°,.ZA=50°.答：ZA的度数是50°.AAPRCECCE2.AAPRCECCE2.探究：1如图1,在厶ABC中，BP平分ZABC,CP平分ZACB.求证：ZP=90°+2乙A.如图2,在MBC中，BP平分ZABC,CP平分外角ZACE.猜想ZP和ZA有何数量关系，并证明你的结论.如图3,BP平分ZCBF,CP平分ZBCE.猜想ZP和ZA有何数量关系，请直接写出结论.11【答案】(1)见解析；(2)2ZA=ZP，理由见解析；(3)ZP=90°-2ZA,理由见解析【解析】【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的性质进行解答即可：根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和,可求出ZA的度数，根据补角的定义求出ZACB的度数，根据三角形的内角和即可求出ZP的度数,即可求出结果,根据三角形的外角性质、内角和定理、角平分线的定义探求并证明.【详解】证明：("•.•△ABC中，ZABC+ZACB=180°-ZA.又•BP平分ZABC,CP平分ZACB,1.\ZPBC=ZABC,21ZPCB=ZACB,21・•・ZPBC+ZPCB=(180°-ZA),211根据三角形内角和定理可知ZBPC=180°-2(180°-ZA)=90°+qZA；1㊁ZA=ZP,理由如下：BP是MBC中ZABC的平分线，CP是ZACB的外角的平分线，11:.ZPBC=ZABC,ZPCE=ZACE.22ZACE是"BC的外角，ZPCE是NBPC的外角，:.ZACE=ZABC+ZA,ZPCE=ZPBC+ZP,11122211・•・=ZABC+ZA=ZPBC+ZP,22111—AA=AP.2ZP=90°--乙A,理由如下：TP点是外角ZCBF和ZBCE的平分线的交点,ZP+ZPBC+ZPCB=180°.•・ZP=180°-(ZPBC+ZPCB)1=180°-(ZFBC+ZECB)21=180°-(ZA+ZACB+ZA+ZABC)21=180°-(ZA+180。)21=90°-ZA.2【点睛】本题考查了角平分线的定义,一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°,此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数,从而利用三角形内角和定理求解.3•⑴如图①，你知道ZBOC=ZB+ZC+ZA的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明;⑵如图②，设x二ZA+ZB+ZC+ZD+ZE,运用(1)中的结论填空.x-°；x-°；x-°；⑶如图③，一个六角星，其中ZBOD二70°,则ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF二°.【答案】(1)证明见解析.(2)180；180；180；⑶140【解析】【分析】首先延长BO交AC于点D,可得BOC=ZBDC+ZC，然后根据ZBDC=ZA+ZB,判断出ZBOC=ZB+ZC+ZA即可.a、首先根据外角的性质，可得Z1=ZA+ZB,Z2=ZC+ZD,然后根据Z1+Z2+ZE=180°，可得x=ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180,据此解答即可.b、首先根据外角的性质，可得Z1=ZA+ZB,Z2=ZC+ZD，然后根据Z1+Z2+ZE=180°，可得x=ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180,据此解答即可.c、首先延长EA交CD于点F,EA和BC交于点G,然后根据外角的性质，可得ZGFC=ZD+ZE,ZFGC=ZA+ZB，再根据ZGFC+ZFGC+ZC=180°，可得x=ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°,据此解答即可.根据ZBOD=70°，可得ZA+ZC+ZE=70°,ZB+ZD+ZF=70°，据此求出ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF的度数是多少即可.【详解】⑴证明：如图，延长BO交AC于点D,则ZBOC二ZBDC+ZC,又TZBDC二ZA+ZB,:,ZBOC=ZB+ZC+ZA.Rc(2)180；180；180(3)140【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°.此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°.②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.如图①，在平面直角坐标系中，A(0,1),B(4,1),C为x轴正半轴上一点，且AC平分ZOAB.(1)求证：ZOAC二ZOCA；⑵如图②，若分别作ZA0C的三等分线及Z0CA的外角的三等分线交于点P，即满足ZP0C11=3ZAOC，ZPCE=3ZACE,求ZP的大小；1ZPCE=ZACE，猜想ZOPCn11ZPCE=ZACE，猜想ZOPCn⑶如图③，在⑵中，若射线OP、CP满足ZP0C=—ZA0C,n的大小，并证明你的结论(用含n的大小，并证明你的结论(用含n的式子表示).答案】(1)证明见解析(2)15°45(3)no【解析】试题分析：(1)根据AB坐标可以求得ZOAB大小，根据角平分线性质可求得ZOAC大小,即可解题；(2)根据题干中给出的ZPOC=3ZAOC、ZPCE=3ZACE可以求得ZPCE和ZPOC的大小,再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题；11(3)解法和(2)相同，根据题干中给出的ZPOC=—ZAOC、ZPCE=—ZACE可以求得nnZPCE和ZPOC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题.试题解析：(1)证明：•.•人(0,1),B(4,1),二ABIICO,•••乙OAB=180°-ZAOC二90°.TAC平分ZOAB,•ZOAC=45°,•ZOCA=90°-45°二45°,•ZOAC二ZOCA.(2)解：TZPOC二、ZAOC,•ZPOC二.<90°二30°.TZPCE二子ACE,•ZPCE=.}(180°-45°)二45°.TZP+ZPOC=ZPCE,•ZP=ZPCE-ZPOC二15°.⑶解:ZOPC二一.ii9crii证明如下：TZPOC二ZAOC,•ZPOC=x90°二.TZPCE=ZACE,•ZPCE=aaaxrL3&9(180°-45°)二丹.TZOPC+ZPOC二ZPCE,•ZOPC=ZPCE-ZPOC二一.点睛：本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角和的性质，本题中求ZPCE和ZPOC的大小是解题的关键.如图，已知，在△ABC中，ZBVZC,AD平分ZBAC,E的线段AD(除去端点A、D)上一动点，EF丄BC于点F.若ZB=40°，ZDEF=10°，求ZC的度数.当E在AD上移动时，ZB、ZC、ZDEF之间存在怎样的等量关系？请写出这个等量关⑵ZC-ZB=2ZDEF.理由见解析【解析】试题分析：(1)已知：EF丄BC,ZDEF=10。可以求得ZEDF的度数，ZEDF又是AABD的外角，已知ZB的度数，可求得ZBAD的值，AD平分ZBAC，所以ZBAC的值也可求出，从而求出ZCO(2)EF丄BC,可得到ZEDF=90°—ZDEF,ZEDF又是AABD的外角，可得到ZBAD=ZEDF—ZB=90°—ZDEF—ZB,然后可将ZBAC用含ZDEF、ZB的角来表示，即ZBAC=2(90°—ZDEF—ZB)，最后利用ZB、ZBAC、ZC的和为180。求得三角之间的等量关系。

试题解析：(1)TEF丄BC,ZDEF=10°,••・ZEDF=80°.VZB=40°,AZBAD=ZEDF-ZB=80°-40°=40°.TAD平分ZBAC,・・・ZBAC=80°.••・ZC=180°—40°—80°=60°.⑵ZC—ZB=2ZDEF.理由如下：TEF丄BC,AZEDF=90°—ZDEF.VZEDF=ZB+ZBAD,AZBAD=90°—ZDEF—ZB.TAD平分ZBAC,AZBAC=2ZBAD=180°—2ZDEF—2ZB..\ZB+180°—2ZDEF—2ZB+ZC=180°./.ZC—ZB=2ZDEF.【点睛】本题主要考查考生对三角形外角和性质得理解及灵活运用,以及对三角形内角和,角平分线的定义的理解。此为易考点及重点。考查考生等量代换思想的形成及掌握在解题过程中涉及到角与角之间的转换。此为难点。我校快乐走班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设ZBAC=e(0°<e<90°)小棒依次摆放在两射线之间,并使小棒两端分别落在两射线上．活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直,A1A2为第1根小棒.B卫A.A3AsAr数学思考：(1Ar数学思考：(1)小棒能无限摆下去吗？答填“能“或“不能”)设aa1=a1a2=a2a3=i.则e=度；活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．数学思考：若只能摆放5根小棒，求e的范围.【答案】(1)能.(2)e=22.5；⑶15°<e<18°.【解析】

【分析】根据已知条件：小棒两端能分别落在两射线上进行判断即可；根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质即得结果；(3)根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得关于*的不等式组，解不等式组即得结果.【详解】・・・根据已知条件ZBAC=*(0°<*<90°)小棒两端能分别落在两射线上，・•・小棒能继续摆下去；⑵VA1A2=A2A3,A]A2丄A2A3，ZA2A1A3=45°,ZAA2A1+Z*=45°,vzaa2a1=z*,Z*=22.5°；⑶如图乙,va2a1=a2a3,aza2a3a1=za2a1a3=2*°,・・・A・・・A2A3=A4A3，・・・ZA3A2A4=ZA3A2A4=3*°，・・・A4A3二A4A5,・・・ZA4A3A5=ZA4A5A3=4*。，地图乙根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可得6*>90°,5*<90°,•15°<*<18°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质，根据题意找出规律并结合等腰三角形的性质是解题的关键.已知，在ABC中，ZA=60°,如图①，ZABC和ZACB的角平分线交于点0,则ZB0C二—；如图②，ZABC和ZACB的三等分线分别对应交于点0冒02，贝UTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"ZBOC=；2如图③，ZABC和ZACB的n等分线分别对应交于点0^02,……,O(内部有12n-1n-1个点)，则ZBOC=；n-1如图③，ZABC和ZACB的n等分线分别对应交于点0.02,……,O，若12n-1ZBOC=90。，求n的值.n-1

答案】(1)120°2)答案】(1)120°2)100°；In丿【解析】【分析】根据三角形的内角和定理即可求出ZABC+ZABC，然后根据角平分线的定义即可求出ZOBC+ZOCB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；根据三角形的内角和定理即可求出ZABC+ZABC，然后根据三等分线的定义即可求出zo2bc+zo2cb，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；根据三角形的内角和定理即可求出ZABC+ZABC，然后根据n等分线的定义即可求出ZOn_xBC+ZOn_]CB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；根据(3)的结论列出方程即可求出结论．【详解】解：(1)・.・在ABC中，ZA=60°,AZABC+ZABC=180°_ZA=120°VZABC和ZACB的角平分线交于点0,1A1・・.Z0BC二乂ZABC,Z0CB二乂ZACB2211・・・Z0BC+Z0CB=2"时2ZACB1=2(ZABC+ZACB)=60°・・・ZBOC=180°—(ZOBC+ZOCB)=120°故答案为：120°．(2)T在ABC中，ZA=60°,・・・ZABC+ZABC=180°—ZA=120°•••ZABC和ZACB的三等分线分别对应交于点Op02,勺2AZOBC=ZABC，ZOCB=ZACB232322.\ZOBC+ZOCB=ZABC+ZACB22332=3(ZABC+ZACB)

=80°・・・^BOC二180°—(ZO2BC+ZO2CB)=100°故答案为：100°．T在ABC中，ZA=60°,AZABC+ZABC=180°—ZA=120°VZABC和"CB的“等分线分别对应交于点O1,O2,……，On-1n-1n-1AZO“BC二ZABC,ZO,CB=-——ZACBn—-1nn—1nn-1n-1AZOn“BC+ZO,CB=ZABC+ZACBn—-1n—1nnn-1=(ZABC+ZACB)厂120n-120]In丿JZBOnJZBOn£=180°—(ZO2BC+ZO2CB)=(60n+120\故答案为：(4)由(3)知：，BOC=n-160n+60n+12090解得：n=4经检验：n=4是原方程的解【点睛】本题考查了n等分线的定义和三角形的内角和定理，掌握n等分线的定义和三角形的内角和定理是解决此题的关键．8.如图⑴所示，AB,CD是两条线段，M是AB的中点，连接AD,MD,BC,BD,MC,AC,S^dmc，S^ac和S^bc分别表示^DMC,△DAC,△DBC的面积，当ABIICD时，有SadmcDACDBC2BMSadmcDACDBC2BMMNF一S+S如图⑵所示，当图6-9(1)中AB与CD不平行时，S^dmc二DACDBC是否仍然成立?请Z△△说明理由；如图⑶所示，当图6-9(1)中AB与CD相交于点0时，S^dmc与S^dAc，S^dBc有什么样的数量关系?试说明你的结论．【答案】(1)S【答案】(1)SaDMC=SDAC；SDBC仍成立，理由见解析;(2)S△DMC=S-S—DBCDAC，2理由见解析.解析】分析】(1)先看题中给出的条件为何成立，由于三角形ADC,DMC,DBC都是同底，而由于AB〃DC，因此高相等，就能得出题中给出的结论，那么本题也要用高来求解，过A,M,B分别作BC的垂线AE,MN,BF,AE〃MN〃BF，由于M是AB中点，因此MN是梯形AEFB的中位线，因此MN=-(AE+BF)，三个三角形同底因此结论①是成立的•2(2)本题可以利用AM二MB，让这两条边作底边来求解，三角形ADB中，小三角形的AB边上的咼都相等，那么三角形ADM和DBM的面积就相等(等底同咼)，因此三角形OAD,OMD的和就等于三角形BMD的面积，同理三角形AOC和OMC的面积和等于三角形CMB的面积．根据这些等量关系即可得出题中三个三角形的面积关系．【详解】S+S(1)当AB与CD不平行时，S^dmc=DAW吨仍成立•分别过点A,M,B作CD的垂线AE,MN,BF，垂足分别为E,N,F.VM为AB的中点，・・・MN二・・・MN二—(AE+BF)•s+S△DAC△DBC-DC.AE+-DC-BF=-DG(AE+BF)=1-1-DC・2MN=DC・mN=2Sadmc.・・・Smc=S+S—DACDBC2S-SS-S(2)Sadmc=rDAC•理由:・・・M是AB的中点,•,S^ADM—Sabdm，‘△acm=Sabcm,而S^dbc=S^bdm+S^bcm+S^dmc?①S^dac=S^adm+S^acm-S^dmc?②••①-②得S^dbc-S^dac=2S^dmc?故S-SSmc=:—DBCDAC2【点睛】本题考查了三角形中位线和梯形，解题的关键是掌握三角形中位线定理和梯形的概念9・图1，线段AB、CD相交于点0,连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，ZDAB和ZBCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：(1)在图1中，请直接写出ZA、ZB、ZC、ZD之间的数量关系：;

图2中，当ZD=50度，ZB=40度时，求ZP的度数.D图2中ZD和ZB为任意角时，其他条件不变，试问ZP与ZD.ZB之间存在着怎样的数量关系.D劉图2【答案】(1)ZA+ZD=ZC+ZB；(2)ZP=45°；(3)2ZP=ZD+ZB.【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理即可得出/A+ZD=ZC+ZB；(2)由(1)得，/DAP+ZD=ZP+ZDCP①,ZPCB+ZB=ZPAB+ZP②，再根据角平分线的定义可得ZDAP=ZPAB,ZDCP=ZPCB,将①+②整理可得2ZP=ZD+ZB,进而求得ZP的度数；(3)同(2)根据“8字形"中的角的规律和角平分线的定义，即可得出2ZP=ZD+ZB.【详解】解(1)TZA+ZD+ZAOD=ZC+ZB+ZBOC=180°,ZAOD=ZBOC，ZA+ZD=ZC+ZB；(2)由(1)得，ZDAP+ZD=ZP+ZDCP，①ZPCB+ZB=ZPAB+ZP，②TZ