2023年上海市闵行区高考数学一模试卷

第15页〔共15页〕2023年上海市闵行区高考数学一模试卷一.填空题〔本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分〕1．〔4分〕集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，那么P∩M=．2．〔4分〕计算=．3．〔4分〕方程的根是．4．〔4分〕是纯虚数〔i是虚数单位〕，那么=．5．〔4分〕直线l的一个法向量是，那么l的倾斜角的大小是．6．〔4分〕从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是〔用数字作答〕7．〔5分〕在〔1+2x〕5的展开式中，x2项系数为〔用数字作答〕8．〔5分〕如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，那么异面直线A1B与B1C1所成角的大小是〔结果用反三角函数表示〕9．〔5分〕数列{an}、{bn}满足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，且，那么b1+b2+…+b1009=．10．〔5分〕如图，向量与的夹角为120°，，，P是以O为圆心，为半径的弧上的动点，假设，那么λμ的最大值是．11．〔5分〕F1、F2分别是双曲线〔a＞0，b＞0〕的左右焦点，过F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，假设PF2⊥F1F2，那么该双曲线的渐近线方程是．12．〔5分〕如图，在折线ABCD中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E、F分别是AB、CD的中点，假设折线上满足条件的点P至少有4个，那么实数k的取值范围是．二.选择题〔本大题共4题，每题5分，共20分〕13．〔5分〕假设空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，那么以下结论一定正确的是〔〕A．l1⊥l3 B．l1∥l3C．l1、l3既不平行也不垂直 D．l1、l3相交且垂直14．〔5分〕假设a＞b＞0，c＜d＜0，那么一定有〔〕A．ad＞bc B．ad＜bc C．ac＞bd D．ac＜bd15．〔5分〕无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn〔n∈N*〕，那么“a1+d＞0〞是“{Sn}为递增数列〞的〔〕条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要16．〔5分〕函数〔n＜m〕的值域是[﹣1，1]，有以下结论：①当n=0时，m∈〔0，2]；②当时，；③当时，m∈[1，2]；④当时，m∈〔n，2]；其中结论正确的所有的序号是〔〕A．①② B．③④ C．②③ D．②④三.解答题〔本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分〕17．〔14分〕函数〔其中ω＞0〕．〔1〕假设函数f〔x〕的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕假设ω=2，0＜α＜π，且，求α的值．18．〔14分〕如图，AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．〔1〕求圆锥的侧面积；〔2〕求直线PC与底面所成的角的大小．19．〔14分〕某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的奉献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元〔以下人数精确到1人，收益精确到1元〕．〔1〕求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；〔2〕活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？20．〔16分〕椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l与Γ相交于不同的两点A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕．〔1〕求Γ的方程；〔2〕假设直线l经过点P〔2，0〕，求△OAB的面积的最小值〔O为坐标原点〕；〔3〕点C〔1，2〕，直线l经过点Q〔5，﹣2〕，D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．21．〔18分〕对于函数y=f〔x〕〔x∈D〕，如果存在实数a、b〔a≠0，且a=1，b=0不同时成立〕，使得f〔x〕=f〔ax+b〕对x∈D恒成立，那么称函数f〔x〕为“〔a，b〕映像函数〞．〔1〕判断函数f〔x〕=x2﹣2是否是“〔a，b〕映像函数〞，如果是，请求出相应的a、b的值，假设不是，请说明理由；〔2〕函数y=f〔x〕是定义在[0，+∞〕上的“〔2，1〕映像函数〞，且当x∈[0，1〕时，f〔x〕=2x，求函数y=f〔x〕〔x∈[3，7〕〕的反函数；〔3〕在〔2〕的条件下，试构造一个数列{an}，使得当x∈[an，an+1〕〔n∈N*〕时，2x+1∈[an+1，an+2〕，并求x∈[an，an+1〕〔n∈N*〕时，函数y=f〔x〕的解析式，及y=f〔x〕〔x∈[0，+∞〕〕的值域．2023年上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题〔本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分〕1．〔4分〕集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，那么P∩M={0，1，2}．【解答】解：∵集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}={0，1，2}，M={x|x2≤9}={x|﹣3≤x≤3}，∴P∩M={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．2．〔4分〕计算=．【解答】解：===，故答案为：．3．〔4分〕方程的根是10．【解答】解：∵，即1+lgx﹣3+lgx=0，∴lgx=1，∴x=10．故答案为：10．4．〔4分〕是纯虚数〔i是虚数单位〕，那么=．【解答】解：∵是纯虚数，∴，得sin且cos，∴α为第二象限角，那么cos．∴=sinαcos+cosαsin=．故答案为：﹣．5．〔4分〕直线l的一个法向量是，那么l的倾斜角的大小是．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π〕．设直线的方向向量为=〔x，y〕，那么=x﹣y=0，∴tanθ==，解得θ=．故答案为：．6．〔4分〕从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是96〔用数字作答〕【解答】解：根据题意，在4名男同学和6名女同学共10名学生中任取3人，有C103=120种，其中只有男生的选法有C43=4种，只有女生的选法有C63=20种那么选出的3人中男女同学都有的不同选法有120﹣4﹣20=96种；故答案为：96．7．〔5分〕在〔1+2x〕5的展开式中，x2项系数为40〔用数字作答〕【解答】解：设求的项为Tr+1=C5r〔2x〕r，今r=2，∴T3=22C52x2=40x2．∴x2的系数是408．〔5分〕如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，那么异面直线A1B与B1C1所成角的大小是arccos〔结果用反三角函数表示〕【解答】解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，BC∥B1C1，∴∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成角，∵A1B===5，A1C===，∴cos∠A1BC===．∴∠A1BC=arccos．∴异面直线A1B与B1C1所成角的大小是arccos．故答案为：arccos．9．〔5分〕数列{an}、{bn}满足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，且，那么b1+b2+…+b1009=2023．【解答】解：数列{an}、{bn}满足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，∴bn+1﹣bn=lnan+1﹣lnan=ln=常数t．∴=常数et=q＞0，因此数列{an}为等比数列．且，∴a1a1009=a2a1008==…．那么b1+b2+…+b1009=ln〔a1a2…a1009〕==lne2023=2023．故答案为：2023．10．〔5分〕如图，向量与的夹角为120°，，，P是以O为圆心，为半径的弧上的动点，假设，那么λμ的最大值是．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设P〔cosθ，sinθ〕，，，．∵，∴，sinθ=．∴，∴λμ=﹣+=+，故答案为：11．〔5分〕F1、F2分别是双曲线〔a＞0，b＞0〕的左右焦点，过F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，假设PF2⊥F1F2，那么该双曲线的渐近线方程是y=±x．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，在直角△PF1F2中，∠PF1F2=30°，可得m=2n，那么m﹣n=2a=n，即a=n，2c=n，即c=n，b==n，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x，故答案为：y=±x．12．〔5分〕如图，在折线ABCD中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E、F分别是AB、CD的中点，假设折线上满足条件的点P至少有4个，那么实数k的取值范围是〔﹣，﹣2〕．【解答】解：以BC的垂直平分线为y轴，以BC为x轴，建立如下图的平面直角坐标系，∵AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，∴B〔﹣2.0〕，C〔2，0〕，A〔﹣4，2〕，D〔4，2〕，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴E〔﹣3，〕，F〔3，〕，设P〔x，y〕，﹣4≤x≤4，0≤y≤2，∵，∴〔﹣3﹣x，﹣y〕〔3﹣x，﹣y〕=x2+〔y﹣〕+9=k，即x2+〔y﹣〕﹣9=k+9，当k+9＞0时，点P的轨迹为以〔0，〕为圆心，以为半径的圆，当圆与直线DC相切时，此时圆的半径r=，此时点有2个，当圆经过点C时，此时圆的半径为r==，此时点P有4个，∵满足条件的点P至少有4个，结合图象可得，∴＜k+9＜7，解得﹣＜k＜﹣2，故实数k的取值范围为〔﹣，﹣2〕，故答案为：〔﹣，﹣2〕二.选择题〔本大题共4题，每题5分，共20分〕13．〔5分〕假设空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，那么以下结论一定正确的是〔〕A．l1⊥l3 B．l1∥l3C．l1、l3既不平行也不垂直 D．l1、l3相交且垂直【解答】解：∵空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，∴l1⊥l3，应选：A．14．〔5分〕假设a＞b＞0，c＜d＜0，那么一定有〔〕A．ad＞bc B．ad＜bc C．ac＞bd D．ac＜bd【解答】解：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0．又a＞b＞0，那么一定有﹣ac＞﹣bd，可得ac＜bd．应选：D．15．〔5分〕无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn〔n∈N*〕，那么“a1+d＞0〞是“{Sn}为递增数列〞的〔〕条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要【解答】解：等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn=na1+d，那么Sn+1=〔n+1〕a1+，那么Sn+1﹣Sn=〔n+1〕a1+﹣na1﹣d=a1+nd，假设{Sn}为递增数列，a1+nd＞0，∵S2﹣S1=a1+d＞0，∴a1+nd＞0不能推出a1+d＞0但a1+d能推出a1+nd，故a1+d＞0〞是“{Sn}为递增数列必要非充分，应选：B16．〔5分〕函数〔n＜m〕的值域是[﹣1，1]，有以下结论：①当n=0时，m∈〔0，2]；②当时，；③当时，m∈[1，2]；④当时，m∈〔n，2]；其中结论正确的所有的序号是〔〕A．①② B．③④ C．②③ D．②④【解答】解：当x＞1时，x﹣1＞0，f〔x〕=22﹣x+1﹣3=23﹣x﹣3，单调递减，当﹣1＜x＜1时，f〔x〕=22+x﹣1﹣3=21+x﹣3，单调递增，∴f〔x〕=22﹣|x﹣1|﹣3在〔﹣1，1〕单调递增，在〔1，+∞〕单调递减，∴当x=1时，取最大值为1，∴绘出f〔x〕的图象，如图：①当n=0时，f〔x〕=，由函数图象可知：要使f〔x〕的值域是[﹣1，1]，那么m∈〔1，2]；故①错误；②当时，f〔x〕=，f〔x〕在[﹣1，]单调递增，f〔x〕的最大值为1，最小值为﹣1，∴；故②正确；③当时，m∈[1，2]；故③正确，④错误，应选C．三.解答题〔本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分〕17．〔14分〕函数〔其中ω＞0〕．〔1〕假设函数f〔x〕的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕假设ω=2，0＜α＜π，且，求α的值．【解答】解：〔1〕函数=sin〔ωx〕，∵函数f〔x〕的最小正周期为3π，即T=3π=∴ω=那么：，由，k∈Z，得：∴函数f〔x〕的单调递增区间为，k∈Z；〔2〕函数=sin〔ωx〕，∵ω=2∴f〔x〕=sin〔2x〕，，可得sin〔2α〕=∵0＜α＜π，∴≤〔2α〕≤2α=或解得：α=或α=．18．〔14分〕如图，AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．〔1〕求圆锥的侧面积；〔2〕求直线PC与底面所成的角的大小．【解答】解：〔1〕∵AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．∴r==2，l===4，∴圆锥的侧面积S=πrl=π×2×4=8π．〔2〕过点P作PE⊥圆O，交AO于E，连结CE，那么E是AO中点，∴PE=PO=，CE==，∴∠PCE是直线PC与底面所成角，∵PE=CE，PE⊥CE，∴，∴直线PC与底面所成的角为．19．〔14分〕某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的奉献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元〔以下人数精确到1人，收益精确到1元〕．〔1〕求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；〔2〕活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？【解答】解：〔1〕设第x天的捐步人数为x，那么f〔x〕=．∴第5天的捐步人数为f〔5〕=10000•〔1+15%〕4=17490．由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为10000，公比为1.15，∴前5天的捐步总收益为×0.05=3371；〔2〕设活动第x天后公司捐步总收益可以回收并有盈余，①假设1≤x≤30，那么×0.05＞300000，解得x＞log1.1591≈32.3〔舍〕．②假设x＞30，那么[+10000•1.1529•〔x﹣30〕]•0.05＞300000，解得x＞32.87．∴活动开始后第33天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余．20．〔16分〕椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l与Γ相交于不同的两点A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕．〔1〕求Γ的方程；〔2〕假设直线l经过点P〔2，0〕，求△OAB的面积的最小值〔O为坐标原点〕；〔3〕点C〔1，2〕，直线l经过点Q〔5，﹣2〕，D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．【解答】〔1〕解：由椭圆，得a2=10，b2=9，那么c=1．∴椭圆的右焦点，即抛物线Γ：y2=2px的焦点为〔1，0〕，那么，p=2，∴Γ的方程为y2=4x；〔2〕解：设直线l：x=my+2，联立，得y2﹣4my﹣8=0．那么y1+y2=4m，y1y2=﹣8．∴==，即△OAB的面积的最小值为；〔3〕证明：当AB所在直线斜率存在时，设直线方程为y+2=k〔x﹣5〕，即y=kx﹣5k﹣2．联立，可得ky2﹣4y﹣20k﹣8=0．，．=．===．∵C〔1，2〕，∴，，那么=〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕+〔y1﹣2〕〔y2﹣2〕=x1x2﹣〔x1+x2〕+1+y1y2﹣2〔y1+y2〕+4=，当AB所在直线斜率不存在时，直线方程为x=5，联立，可得A〔5，﹣〕，B〔5，2〕，，，有，∴CA⊥CB，又D为线段AB的中点，∴|AB|=2|CD|．21．〔18分〕对于函数y=f〔x〕〔x∈D〕，如果存在实数a、b〔a≠0，且a=1，b=0不同时成立〕，使得f〔x〕=f〔ax+b〕对x∈D恒成立，那么称函数f〔x〕为“〔a，b〕映像函数〞．〔1〕判断函数f〔x〕=x2﹣2是否是“〔a，b〕映像函数〞，如果是，请求出相应的a、b的值，假设不是，请说明理由；〔2〕函数y=f〔x〕是定义