直线与圆的位置关系 市一等奖

4.2.1直线与圆的位置关系(1)普通高中课程标准实验教科书2Oxy

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

为解决这个问题，我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，其中取10km为单位长度．轮船一.实例引入问题港口Oxy轮船一.实例引入问题港口轮船航线所在直线l的方程为：

问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点．

这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆的方程为:想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？平面几何中，直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（1）（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（2）（3）直线与圆相离，没有公共点．（3）二.直线与圆的位置关系问题

在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？现在，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？（1）（2）（3）二.直线与圆的位置关系问题

先看几个例子，看看你能否从例子中总结出来．判断直线与圆的位置关系有两种方法：

方法一：判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l与圆C有公共点．有两组实数解时，直线l与圆C相交；有一组实数解时，直线l与圆C相切；无实数解时，直线l与圆C相离．

方法二：判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系．如果d<r

，直线l与圆C相交；如果d=r

，直线l与圆C相切；如果d>r

，直线l与圆C相离．二.直线与圆的位置关系

那么，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？问题小结：位置关系

图形几何特征方程特征判定方法几何法

代数法相交

有两个公共点方程组有两个不同实根d<r△>0相切

有且只有一个公共点方程组有且只有一个实根

d=r△=0

相离

没有公共点方程组无实根d>r△<0说明：代数法：3x+y－6=0x2+y2

－2y－4=0消去y得：x2-3x+2=0=(-3)2-4×1×2=1>0所以方程组有两解，直线L与圆C相交几何法：圆心C（0，1）到直线L的距离d==

r所以直线L与圆C相交比较：几何法比代数法运算量少，简便。dr弦长=例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标及弦长。方法一：直线：Ax+By+C=0;圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0

消元一元二次方程

方法二：直线：Ax+By+C=0;圆:(x-a)2+(y-b)2=r2

d=

小节：1.判断直线与圆位置关系的方法圆的弦长的求法1．几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则2＝r2－d2.2．代数法（也叫公式法）：设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，解方程组消y后得关于x的一元二次方程，从而求得x1＋x2，x1x2，则弦长为|AB|＝（此公式也叫做设而不求利用韦达定理求弦长公式 ）

(其中x1，x2为两交点的横坐标．k为直线斜率)．2.若直线与圆相交，求弦长问题：解法一：（求出交点利用两点间距离公式）xyOAB2．已知直线y=x+1与圆相交于A,B两点，求弦长|AB|的值2．已知直线y=x+1与圆相交于A,B两点，求弦长|AB|的值解法二：（弦长公式）xyOAB2．已知直线y=x+1与圆相交于A,B两点，求弦长|AB|的值解二：解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形）设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则xyOABdr2．已知直线y=x+1与圆相交于A,B两点，求弦长|AB|的值

练习：求直线3x+4y+2=0被圆截得的弦长。例2、已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为，求直线l的方程。.xyOM.方法一：解方程组求交点，然后利用距离公式求斜率；方法二：利用几何性质，求弦心距,然后用点到直线的距离求斜率。X+2y+9=0,或2x-y+3=0例3：求过一点P(-3,-2)的圆x2+y2+2x－４ｙ＋１＝０的切线方程。

解：设所求直线为ｙ＋２＝ｋ（ｘ＋３）

代入圆方程使Δ＝０；Ｋ＝

即所求直线为３ｘ－４ｙ＋１＝０提问：上述解题过程是否存在问题？X=-3是圆的另一条切线注意：1.在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，无切线．2.设直线的方程时，切记千万要对直线的斜率存在与否进行讨论。若存在，则经常设直线的方程为点斜式；若不存在，则特殊情况特殊对待。3.若直线与圆相切，求切线方程问题：3.若直线与圆相切，求切线方程问题：求圆的切线方程一般有两种方法：

(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式

Δ＝0进而求得k.(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.

以上两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选．练习1.求过M（4，2）且与圆相切的直线方程.常用结论:1:过圆x2＋y2＝r2上一点(xo,yo)的切线方程为xox+yoy=r2

2:过圆(x-a)2＋(y-b)2＝r2上一点(xo,yo)的切线方程为

(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r23:过圆x2＋y2＝r2外一点(xo,yo)的作圆的切线，两切点的连线的直线方程为xox+yoy=r24:过圆(x-a)2＋(y-b)2＝r2外一点(xo,yo)的作圆的切线，两切点的连线的直线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2四.知识小结定义法：有无交点，有几个．代数法：直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解，有几个解．几何法：判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系（大于、小于、等于）．判断直线与圆的位置关系1、几何方法解题步骤：利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离作判断:当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切;

当d<r时，