用函数观点看一元二次方程

26.2用函数观点看一元二次方程1、学习二次函数与一元二次方程的关系学习目标2、会用一元二次方程解决二次函数图象与x轴的交点问题引言

在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题。如：被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行；抛物线形拱桥的跨度、拱高的计算等．利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，我将和同学们共同研究解决这些问题的方法，探寻其中的奥秘。复习.1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由

确定。＞

0=0＜

0有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根b2-4ac活动12、在式子h=50-20t2中，如果h=15，那么

50-20t2=

，如果h=20，那50-20t2=

，如果h=0，那50-20t2=

。如果要想求t的值，那么我们可以求

的解。15200方程问题1:如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系:h=20t–5t2

考虑下列问题:(1)球的飞行高度能否达到15m?若能,需要多少时间?(2)球的飞行高度能否达到20m?若能,需要多少时间?(3)球的飞行高度能否达到20.5m?若能,需要多少时间?(4)球从飞出到落地要用多少时间?活动215=20t–5t2h=0ht20=20t–5t220.5=20t–5t20=20t–5t2解：（1）解方程15=20t-5t2即：

t2-4t+3=0t1=1,t2=3∴当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。

（2）解方程20=20t-5t2即：

t2-4t+4=0t1=t2=2

∴当球飞行2s时，它的高度为20m。

（3）解方程20.5=20t-5t2即：

t2-4t+4.1=0

因为(-4)2-4×4.1＜0，所以方程无解，∴球的飞行高度达不到20.5m。（4）解方程0=20t-5t2即：

t2-4t=0t1=0,t2=4∴球的飞行0s和4s时，它的高度为0m。即飞出到落地用了4s。

你能结合图形指出为什么在两个时间球的高度为15m吗？那么为什么只在一个时间求得高度为20m呢？那么为什么两个时间球的高度为零呢？

从上面我们看出，对于二次函数h=20t–5t2中，已知h的值，求时间t？其实就是把函数值h换成常数，求一元二次方程的解。那么从上面，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?一般地，当y取定值时，二次函数为一元二次方程。如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程。自由讨论为一个常数（定值）1、二次函数y=x2+x-2,y=x2-6x+9,y=x2–x+1的图象如图所示。问题2(1).每个图象与x轴有几个交点？(2).一元二次方程?x2+x-2=0,x2-6x+9=0有几个根?

验证一下一元二次方程x2–x+1

=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?答：2个，1个，0个边观察边思考分析b2–4ac

＞0b2–4ac

=0b2–4ac

＜0OXY2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点,则b2-4ac的情况如何。.2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点情况如何？（b2-4ac如何）

(1)有两个交点

(2)有一个交点

(3)没有交点二次函数与一元二次方程b2–4ac>0b2–4ac=0b2–4ac<0思考：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则

b2-4ac.≥0●请你把这节课你学到了东西告诉你的同桌，然后告诉老师？交点b2-4ac>0b2-4ac<0b2-4ac=0两个交点没有交点一个交点二次函数与x轴的交点当二次函数y=ax2+bx+c中y的值确定，求x的值时，二次函数就变为一元二次方程。即当y取定值时，二次函数就为一元二次方程。二次函数与一元二次方程的关系二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解

讨论这节课应有以下内容：练习:看谁算的又快又准。1.不与x轴相交的抛物线是()

Ay=2x2–3By=-2x2+3

Cy=-x2–2xDy=-2(x+1)2-32.如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿,此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有＿

个交点.3.已知抛物线y=x2–8x+c的顶点在x轴上,则c=＿＿＿＿.D11164.抛物线y=x2-3x+2与y轴交于点＿＿＿＿,与x轴交于点＿＿＿＿.(0,2)(1,0)(2,0)5.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1,由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3,x2=＿＿＿6.已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则

k的取值范围（）-3.3BK≠0b2-4ac≥0练习一：如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数y=-0.5x2+2x+2.5描述，在所有的直角坐标系中，求水流的落地点D到A的距离是多少？解：根据题意得-0.5x2+2x+2.5=

0，解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去)答：水流的落地点D到A的距离是5m。分析：根据图象可知，水流的落地点D的纵坐标为0，横坐标即为落地点D到A的距离。即：y=0

。想一想，这一个旋转喷水头，水流落地覆盖的最大面积为多少呢？练习CA第二课时你会利用二次函数的图象求一元二次方程2x2-4x+1=0的近似根吗？思考1.二次函数的图象如图4所示，则下列说法不正确的是（）ABCD2.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：x－3－2－1012345y1250－3－4－30512利用二次函数的图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是（）．A．x＜0或x＞2B．0＜x＜2

C．x＜－1或x＞3D．－1＜x＜33.二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是【

】A.BCD升华提高体会两种思想：数形结合思想弄清一种关系------函数与一元二次方程的关系

如果抛物线y=ax+bx+c与x轴有公共点(x,o),那么x=x就是方程ax+bx+c=0的一个根.2200分类讨论思想一元二次方程ax2+bx+c=0的根二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有两个交