2023年湖南省张家界市成考专升本高等数学一自考测试卷(含答案)

2023年湖南省张家界市成考专升本高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(50题)1.

2.

3.单位长度扭转角θ与下列哪项无关()。

A.杆的长度B.扭矩C.材料性质D.截面几何性质

4.设函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，则方程f(x)=0有（）。A.一个实根B.两个实根C.三个实根D.无实根

5.A.A.2xy3

B.2xy3-1

C.2xy3-siny

D.2xy3-siny-1

6.下列关系式中正确的有()。A.

B.

C.

D.

7.用多头钻床在水平放置的工件上同时钻四个直径相同的孔，如图所示，每个钻头的切屑力偶矩为M1=M2=M3=M4=一15N·m，则工件受到的总切屑力偶矩为()。

A.30N·m，逆时针方向B.30N·m，顺时针方向C.60N·m，逆时针方向D.60N·m，顺时针方向

8.A.3x2+C

B.

C.x3+C

D.

9.

10.

11.设y=f(x)在(a，b)内有二阶导数，且f"＜0，则曲线y=f(x)在(a，b)内()．A.A.凹B.凸C.凹凸性不可确定D.单调减少

12.

13.设是正项级数，且un＜υn(n=1，2，…)，则下列命题正确的是()

A.B.C.D.

14.设y=e-5x，则dy=（）A.-5e-5xdxB.-e-5xdxC.e-5xdxD.5e-5xdx

15.A.A.π/4

B.π/2

C.π

D.2π

16.（）。A.

B.

C.

D.

17.

18.

19.

20.A.A.xy

B.yxy

C.(x+1)yln(x+1)

D.y(x+1)y-1

21.

22.方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是()。A.椭球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.柱面

23.

24.设函数/(x)=cosx，则

A.1

B.0

C.

D.-1

25.当x→0时，下列变量中为无穷小的是（）。

A.lg|x|

B.

C.cotx

D.

26.

A.6xarctanx2

B.6xtanx2＋5

C.5

D.6xcos2x

27.微分方程y'+y=0的通解为()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

28.A.A.

B.

C.

D.

29.

30.A.0B.1C.∞D.不存在但不是∞

31.

32.A.A.凹B.凸C.凹凸性不可确定D.单调减少

33.点(-1，-2，-5)关于yOz平面的对称点是()

A.(-1，2，-5)B.(-1，2，5)C.(1，2，5)D.(1，-2，-5)34.设lnx是f(x)的一个原函数，则f'(x)=A.-1/x

B.1/x

C.-1/x2

D.1/x2

35.设在点x=1处连续，则a等于()。A.-1B.0C.1D.2

36.

37.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于（）．A.A.2B.1C.－lD.－2

38.设f(x)的一个原函数为x2，则f'(x)等于()．

A.

B.x2

C.2x

D.2

39.

40.A.2/5B.0C.-2/5D.1/2

41.设函数f(x)=arcsinx，则f'(x)等于()．

A.-sinx

B.cosx

C.

D.

42.

43.

44.

A.2e-2x+C

B.

C.-2e-2x+C

D.

45.

46.交变应力的变化特点可用循环特征r来表示，其公式为()。

A.

B.

C.

D.

47.A.－cosxB.－ycosxC.cosxD.ycosx48.函数f(x)=2x3-9x2+12x-3单调减少的区间为A.(-∞，1]B.[1，2]C.[2，+∞)D.[1，+∞)

49.

A.单调增加且收敛B.单调减少且收敛C.收敛于零D.发散50.曲线y＝1nx在点(e，1)处切线的斜率为（）．A.A.e2

B.eC.1D.1/e二、填空题(20题)51.

52.

53.

54.55.

56.

57.

58.微分方程y=x的通解为________。59.60.

61.

62.________.

63.

64.设f(x)=esinx，则=________。65.y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为______．

66.

67.

68.69.

70.

三、计算题(20题)71.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

72.

73.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．74.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．75.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则76.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．77.求曲线在点(1，3)处的切线方程．78.求微分方程的通解．

79.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

80.

81.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

82.

83.

84.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

85.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．86.证明：87.

88.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．89.90.四、解答题(10题)91.求函数y=xex的极小值点与极小值。92.

93.

94.求由曲线y=1-x2在点(1/2，3/4]处的切线与该曲线及x轴所围图形的面积A。

95.

96.

97.

98.

99.100.五、高等数学(0题)101.下列等式中正确的是()。A.

B.

C.

D.

六、解答题(0题)102.

参考答案

1.D

2.B

3.A

4.B

5.A

6.B本题考查的知识点为定积分的性质．

由于x，x2都为连续函数，因此与都存在。又由于0＜x＜1时，x＞x2，因此

可知应选B。

7.D

8.B

9.B解析：

10.D解析：

11.A本题考查的知识点为利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．

由于在(a，b)区间内f"(x)＜0，可知曲线y=f(x)在(a，b)内为凹的，因此选A．

12.D

13.B由正项级数的比较判别法可以得到，若小的级数发散，则大的级数必发散，故选B。

14.A

15.B

16.C由不定积分基本公式可知

17.D

18.A

19.B

20.C

21.B

22.C本题考查的知识点为二次曲面的方程。

将x2+y2-z=0与二次曲面标准方程对照，可知其为旋转抛面，故应选C。

23.B解析：

24.D

25.D

26.C

27.D可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解。解法1将方程认作可分离变量方程。分离变量

两端分别积分

或y=Ce-x解法2将方程认作一阶线性微分方程．由通解公式可得解法3认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解：特征方程为r+1=0，特征根为r=-1，方程通解为y=Ce-x。

28.B本题考查的知识点为偏导数运算．

由于z＝tan(xy)，因此

可知应选B．

29.B解析：

30.D本题考查了函数的极限的知识点。

31.A

32.A本题考查的知识点为利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．

33.D关于yOz平面对称的两点的横坐标互为相反数，故选D。

34.C

35.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。

由于y为分段函数，x=1为其分段点。在x=1的两侧f(x)的表达式不同。因此讨论y=f(x)在x=1处的连续性应该利用左连续与右连续的概念。由于

当x=1为y=f(x)的连续点时，应有存在，从而有，即

a+1=2。

可得：a=1，因此选C。

36.A解析：

37.D本题考查的知识点为原函数的概念、复合函数求导．

38.D解析：本题考查的知识点为原函数的概念．

由于x2为f(x)的原函数，因此

f(x)=(x2)'=2x，

因此

f'(x)=2．

可知应选D．

39.D

40.A本题考查了定积分的性质的知识点

41.C解析：本题考查的知识点为基本导数公式．

可知应选C．

42.C

43.A

44.D

45.B

46.A

47.C本题考查的知识点为二阶偏导数。由于z＝ysinx，因此可知应选C。

48.Bf(x)=2x3-9x2+12x-3的定义域为(-∞，+∞)

f'(x)=6x2-18x+12=6(x23x+2)=6(x-1)(x-2)。

令f'(x)=0得驻点x1=1，x2=2。

当x＜1时，f'(x)＞0，f(x)单调增加。

当1＜x＜2时，f'(x)＜0，f(x)单调减少。

当x＞2时，f'(x)＞0，f(x)单调增加。因此知应选B。

49.C解析：

50.D本题考查的知识点为导数的几何意义．

由导数的几何意义可知，若y＝f(x)在点x0处可导，则曲线)，y＝f(x)在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且切线的斜率为f(x0)．

由于y＝lnx，可知可知应选D．

51.52.

53.0

54.

55.

56.

解析：

57.11解析：58.本题考查可分离变量的微分方程．分离变量得dy=xdx，两端分别积分，∫dy=∫xdx，

59.3xln360.本题考查的知识点为无穷小的性质。

61.

62.

63.00解析：64.由f(x)=esinx，则f"(x)=cosxesinx。再根据导数定义有=cosπesinπ=-1。65.-24本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值．

若f(x)在(a，b)内可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定f(x)在[a，b]上的最值：

(1)求出f'(x)．

(2)求出f(x)在(a，b)内的驻点x1，…，xk．

(3)比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)．其中最大(小)值为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的点x为f(x)的最大(小)值点．

y=x3-27x+2,

则y'=3x2-27=3(x-3)(x+3),

令y'=0得y的驻点x1=-3，x2=3，可知这两个驻点都不在(1，2)内．

由于f(1)=-24，f(2)=-44，可知y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为-24．

本题考生中出现的错误多为求出驻点x1=-3，x2=3之后，直接比较

f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44，

得出y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为f(-3)=56．其错误的原因是没有判定驻点x1=-3，x2=3是否在给定的区间(1，2)内，这是值得考生注意的问题．在模拟试题中两次出现这类问题，目的就是希望能引起考生的重视．

本题还可以采用下列解法：注意到y'=3(x-3)(x+3)，在区间[1，2]上有y'＜0，因此y为单调减少函数。可知

x=2为y的最小值点，最小值为y|x=2=-44．

x=1为y的最大值点，最大值为y|x=1=-24．

66.F'(x)

67.

本题考查的知识点为导数的四则运算．

68.2本题考查了定积分的知识点。

69.

本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系．

由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，－1)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为

70.(01)(0，1)解析：71.函数的定义域为

注意

72.

73.

74.由二重积分物理意义知

75.由等价无穷小量的定义可知

76.77.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

78.

79.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需