2023年河北省张家口市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2023年河北省张家口市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.

3.设z=x2+y2，dz=()。

A.2ex2+y2(xdx+ydy)

B.2ex2+y2(zdy+ydx)

C.ex2+y2(xdx+ydy)

D.2ex2+y2(dx2+dy2)

4.A.2B.-2C.-1D.1

5.

6.（）。A.e-6

B.e-2

C.e3

D.e6

7.A.e-1dx

B.-e-1dx

C.(1+e-1)dx

D.(1-e-1)dx

8.

9.设函数f(x)=(1+x)ex，则函数f(x)（）。

A.有极小值B.有极大值C.既有极小值又有极大值D.无极值

10.A.A.-(1/2)B.1/2C.-1D.2

11.过曲线y=xlnx上M0点的切线平行于直线y=2x，则切点M0的坐标是()．A.A.(1，0)B.(e，0)C.(e，1)D.(e，e)

12.

13.A.e2

B.e-2

C.1D.0

14.设f(x)=x3+x，则等于()。A.0

B.8

C.

D.

15.设函数y=f(x)二阶可导，且f(x)<0，f(x)<0，又△y=f(x＋△x)-f(x)，dy=f(x)△x，则当△x>0时，有()A.△y>dy>0

B.△<dy<0

C.dy>Ay>0

D.dy<△y<0

16.下列关系式中正确的有()。A.

B.

C.

D.

17.

18.A.0

B.1

C.e

D.e2

19.

20.

二、填空题(20题)21.

22.

23.f(x)=lnx，则f[f(x)]=__________。

24.

25.

26.

27.设y=2x+sin2，则y'=______．

28.二阶常系数齐次线性方程y"=0的通解为__________。

29.

30.

31.

32.

33.

34.设y=ex，则dy=_________。

35.

36.∫(x2-1)dx=________。

37.

38.

39.

40.幂级数的收敛半径为______．

三、计算题(20题)41.证明：

42.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

43.求微分方程的通解．

44.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

45.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

46.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

47.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

48.

49.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

50.

51.

52.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

53.

54.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

55.

56.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

57.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

58.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

59.

60.

四、解答题(10题)61.

62.

63.证明：当时，sinx+tanx≥2x．

64.(本题满分10分)求由曲线y＝3－x2与y＝2x，y轴所围成的平面图形的面积及该封闭图形绕x轴旋转－周所成旋转体的体积．

65.设y=y(x)由确定，求dy．

66.设z=z(x，y)由方程z3y-xz-1=0确定，求出。

67.

68.

69.

70.(本题满分8分)

五、高等数学(0题)71.

=()。

A.0B.1C.2D.4

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.C解析：

2.D

3.A∵z=ex+y∴z"=ex2+y22x；zy"=ex2+y22y∴dz=ex2+y22xdx+ex2+y22ydy

4.A

5.C

6.A

7.D本题考查了函数的微分的知识点。

8.D

9.A因f(x)=(1+x)ex且处处可导，于是，f'(x)=ex+(1+x)·ex=(x+2)ex，令f'(x)=0得驻点x=-2；又x＜-2时，f'(x)＜0；x＞-2时，f'(x)＞0；从而f(x)在i=-2处取得极小值，且f(x)只有一个极值.

10.A

11.D本题考查的知识点为导数的几何意义．

由导数的几何意义可知，若y=f(x)在点x0处可导，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且切线的斜率为f'(x0)．

由于y=xlnx，可知

y'=1+lnx，

切线与已知直线y=2x平行，直线的斜率k1=2，可知切线的斜率k=k1=2，从而有

1+lnx0=2，

可解得x0=e，从而知

y0=x0lnx0=elne=e．

故切点M0的坐标为(e，e)，可知应选D．

12.C解析：

13.A

14.A本题考查的知识点为定积分的对称性质。由于所给定积分的积分区间为对称区间，被积函数f(x)=x3+x为连续的奇函数。由定积分的对称性质可知

可知应选A。

15.B

16.B本题考查的知识点为定积分的性质．

由于x，x2都为连续函数，因此与都存在。又由于0＜x＜1时，x＞x2，因此

可知应选B。

17.D解析：

18.B为初等函数，且点x=0在的定义区间内，因此，故选B．

19.C

20.C

21.本题考查的知识点为幂级数的收敛区间。由于所给级数为不缺项情形，

22.

23.

则

24.

25.1/6

26.2

27.2xln2本题考查的知识点为初等函数的求导运算．

本题需利用导数的四则运算法则求解．

Y'=(2x+sin2)'=(2x)'+(sin2)'=2xln2．

本题中常见的错误有

(sin2)'=cos2．

这是由于误将sin2认作sinx，事实上sin2为一个常数，而常数的导数为0，即

(sin2)'=0．

相仿(cos3)'=0，(ln5)'=0，(e1/2)'=0等．

请考生注意，不论以什么函数形式出现，只要是常数，它的导数必定为0．

28.y=C1+C2x。

29.

30.3x+y-5z+1=03x+y-5z+1=0解析：

31.

32.

解析：

33.(-22)(-2，2)解析：

34.exdx

35.e

36.

37.

本题考查的知识点为可分离变量方程的求解．

可分离变量方程求解的一般方法为：

(1)变量分离；

(2)两端积分．

38.ee解析：

39.

40.

解析：本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

注意此处幂级数为缺项情形．

41.

42.

43.

44.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

45.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

46.

47.由等价无穷小量的定义可知

48.

则

49.

50.

51.

52.函数的定义域为

注意

53.

54.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

55.由一阶线性微分方程通解公式有

56.由二重积分物理意义知

57.

58.

列表：

说明

59.

60.

61.

62.

63.

64.本题考查的知识点有两个：利用定积分求平面图形的面积；用定积分求绕坐标轴旋转所得旋转体的体积．

所给曲线围成的平面图形如图1－2所示．

解法1利用定积分求平面图形的面积。

解法2利用二重积分求平面图形面积