时间序列平稳性和单位根检验

第3章现代时间序列计量经济学模型

本章说明关于经典的平稳时间序列分析模型，即自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）、自回归移动平均模型（ARMA）等，在一般的中级计量经济学教科书或者经典的时间序列分析教科书中，都有详细的介绍，本章将不予涉及。本章所讨论的，主要是非平稳时间序列。重点是单位根检验、协整检验和误差修正模型。向量自回归模型（VAR）已经成为一类广泛应用的现代时间序列分析模型，本章将进行简单的介绍。

§3.1时间序列平稳性和单位根检验一、时间序列的平稳性二、单整序列三、单位根检验四、趋势平稳与差分平稳随机过程五、结构变化时间序列的单位根检验一、时间序列的平稳性

StationaryTimeSeries⒈问题的提出经典计量经济模型常用到的数据有：时间序列数据（time-seriesdata)；截面数据(cross-sectionaldata)平行/面板数据（paneldata/time-seriescross-sectiondata)

时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致性”要求——被破怀。数据非平稳，往往导致出现“虚假回归”（SpuriousRegression）问题。表现为两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性。例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。2、平稳性的定义假定某个时间序列是由某一随机过程（stochasticprocess）生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1,2,…）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：均值E(Xt)=是与时间t无关的常数；方差Var(Xt)=2是与时间t无关的常数；协方差Cov(Xt,Xt+k)=k是只与时期间隔k有关，与时间t无关的常数；则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程（stationarystochasticprocess）。宽平稳、广义平稳白噪声（whitenoise）过程是平稳的：Xt=t，t~N(0,2)随机游走（randomwalk）过程是非平稳的：

Xt=Xt-1+t，t~N(0,2)Var(Xt)=t2随机游走的一阶差分（firstdifference）是平稳的：Xt=Xt-Xt-1=t，t~N(0,2)如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。二、单整序列

IntegratedSeries如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原序列是一阶单整（integratedof1）序列，记为I(1)。一般地，如果一个时间序列经过d次差分后变成平稳序列，则称原序列是d阶单整（integratedofd）序列，记为I(d)。I(0)代表一平稳时间序列。现实经济生活活中只有少数数经济指标的的时间序列表表现为平稳的的，如利率等等;大多数指标的的时间序列是是非平稳的，，例如，以当当年价表示的的消费额、收收入等常是2阶单整的，，以不变价格格表示的消费费额、收入等等常表现为1阶单整。大多数非平稳稳的时间序列列一般可通过过一次或多次次差分的形式式变为平稳的的。但也有一些时时间序列，无无论经过多少少次差分，都都不能变为平平稳的。这种种序列被称为为非单整的（non-integrated）。三、平稳性的的单位根检验验（unitroottest）1、DF检验验（Dicky-FullerTest）通过上式判断断Xt是否有有单位根,就就是时间序列列平稳性的单位根检验。随机游走，非非平稳对该式回归，，如果确实发发现ρ=1，则称随机变变量Xt有一一个单位根。等价于通过该该式判断是否否存在δ=0。一般检验模型型零假设H0：=0备择假设H1：<0可通过OLS法下的t检检验完成。但是:在零假设（序序列非平稳））下，即使在在大样本下t统计量也是是有偏误的（（向下偏倚）），通常的t检验无法法使用。Dicky和和Fuller于1976年提出了了这一情形下下t统计量服服从的分布（（这时的t统统计量称为统计量），即DF分布。由于t统计量量的向下偏倚倚性，它呈现现围绕小于零零均值的偏态态分布。如果t<临界界值，则拒绝绝零假设H0：=0，认为时时间序列不存存在单位根，，是平稳的。。单尾检验2、ADF检检验（AugmentDickey-Fullertest）为什么将DF检验扩展为为ADF检验验？DF检验假定定时间序列是是由具有白噪噪声随机误差差项的一阶自自回归过程AR(1)生生成的。但在在实际检验中中，时间序列列可能由更高高阶的自回归归过程生成，，或者随机误误差项并非是是白噪声，用用OLS法进进行估计均会会表现出随机机误差项出现现自相关，导导致DF检验验无效。如果时间序列列含有明显的的随时间变化化的某种趋势势（如上升或或下降），也也容易导致DF检验中的的自相关随机机误差项问题题。ADF检验模模型零假设H0：=0备择假设H1：<0模型1模型2模型3检验过程实际检验时从从模型3开始，然后模模型2、模型1。何时检验拒绝绝零假设，即即原序列不存存在单位根，，为平稳序列列，何时停止止检验。否则，就要继继续检验，直直到检验完模模型1为止。检验原理与DF检验相同，只只是对模型1、2、3进行检验时，，有各自相应应的临界值表表。检验模型滞后后项阶数的确确定：以随机项不存存在序列相关关为准则。一个简单的检检验过程：同时估计出上上述三个模型型的适当形式式，然后通过过ADF临界界值表检验零零假设H0：：=0。只要其中有一一个模型的检检验结果拒绝绝了零假设，，就可以认为为时间序列是是平稳的；当三个模型的的检验结果都都不能拒绝零零假设时，则则认为时间序序列是非平稳稳的。3、例题演示示检验1978~2006年间中国实实际支出法国国内生产总值值GDPC时时间序列的平平稳性。ADF检验在在Eviews中的实现现ADF检验在在Eviews中的实现现检验GDPC，模型3检验GDPC，模型3从GDPC(-1)的参参数值看，其其t统计量的的值大于临界界值，不能拒拒绝存在单位位根的零假设设。同时，由由于时间项T的t统计量量也小于ADF分布表中中的临界值，，因此不能拒拒绝不存在趋趋势项的零假假设。需进一一步检验模型型2。检验GDPC，，模型2检验GDPC，，模型2从GDPC(-1)的的参数值值看，其其t统计计量的值值大于临临界值，，不能拒拒绝存在在单位根根的零假假设。同同时，由由于常数数项的t统计量量也小于于ADF分布表表中的临临界值，，因此不不能拒绝绝不存在在趋势项项的零假假设。需需进一步步检验模模型1。。检验GDPC，，模型1检验GDPC，，模型1从GDPC(-1)的的参数值值看，其其t统计计量的值值大于临临界值，，不能拒拒绝存在在单位根根的零假假设。至此，可可断定中中国实际际支出法法GDP时间序序列是非非平稳的的。如果果仅需要要检验该该时间序序列是否否是平稳稳的，检检验到此此结束。。如果需要要检验该该时间序序列的单单整性，，即它是是多少阶阶的单整整序列，，则需要要对其一一次差分分序列、、二次差差分序列列等进行行单位根根检验。。检验ΔGDPC，模型型3检验ΔGDPC，模型型3从△GDPC(-1)的参数数值看，，其t统统计量的的值大于于临界值值，不能能拒绝存存在单位位根的零零假设。。同时，，由于时时间项项项T的t统计量量也小于于AFD分布表表中的临临界值，，因此不不能拒绝绝不存在在趋势项项的零假假设。需需进一步步检验模模型2。。检验ΔGDPC，模型型2从△GDPC(-1)的参数数值看，，其统计计量的值值大于临临界值，，不能拒拒绝存在在单位根根的零假假设。同同时，由由于常数数项的t统计量量也小于于AFD分布表表中的临临界值，，因此不不能拒绝绝不存在在趋势项项的零假假设。需需进一步步检验模模型1。。检验ΔGDPC，模型型1从△GDPC(-1)的参数数值看，，其统计计量的值值大于临临界值（（单尾）），不能能拒绝存存在单位位根的零零假设。。至此，，可断定定△GDPC时时间序列列是非平平稳的。。检验Δ（（ΔGDPC）），模型型3检验Δ（（ΔGDPC）），模型型3检验Δ（（ΔGDPC）），模型型2检验Δ（（ΔGDPC）），模型型1从△2GDPC(-1)的参参数值看看，其t统计量量的值小小于临界界值，拒拒绝存在在单位根根的零假假设。至至此，可可断定△△2GDPC时间序序列是平平稳的。。GDPC是I(2)过过程。4、关于于ADF检验的的几点讨讨论关于检验验模型中中滞后项项的确定定模型（1）、（（2）、、（3））中都含含有滞后后项，其其目的是是为了消消除模型型随机项项的序列列相关，，保证随随机项是是白噪声声。一般采用用LM检检验确定定滞后阶阶数，以以及其它它数据依依赖方法法。关于检验验模型中中滞后项项的确定定当采用一一些应用用软件（（例如Eviews））进行ADF检检验时，，可以自自动得到到滞后阶阶数，使使得估计计过程更更加简单单。但是，在在软件中中一般采采用信息息准则（（例如AIC、、BIC等）确确定滞后后阶数，，其明显显的缺点点是无法法判断滞滞后阶数数不连续续的情况况，例如如只存在在1阶和和3阶而而不存在在2阶相相关的情情况。另外，从从理论上上讲，信信息准则则主要是是基于预预测的均均方误差差最小，，但对于于单位根根检验而而言重要要的是消消除序列列之间的的相关性性。关于检验验模型中中滞后项项的确定定过高定阶阶和过低低定阶对对单位根根检验有有着不对对称的影影响。过高定阶阶意味着着自相关关已经消消除，但但含有冗冗余回归归元，因因此不会会影响检检验的尺尺度(size)，但但会影响响检验的的势，Monte-Carlo试验验证实这这种势的的降低并并不强烈烈。过低定阶阶意味着着自相关关还没有有消除，，因此t统计量量的分布布形态将将会发生生改变，，检验的的尺度和和势（power）都都会发生生扭曲。。由于信息息准则相相对于检检验序列列相关的的数据依依赖方法法一般倾倾向于过过低定阶阶，因此此其在单单位根检检验中的的表现差差于数据据依赖方方法。如何处理理检验过过程中的的矛盾现现象？对于模型型（3）），如果果检验显显示既不不拒绝零零假设：：δ=0，也不不拒绝零零假设：：β=0，既然然就要检检验模型型（2））。如果检验验显示不不拒绝零零假设：：δ=0，但是是拒绝零零假设：：β=0，，那么回回到模型型（2））是不合合理的。。这就出出现了矛矛盾。一种经验验的处理理方法是是采用正正态分布布临界值值检验是是否存在在单位根根，即将将临界值值适当放放松，如如果仍然然存在单单位根，，即停止止检验，，得到该该时间序序列非平平稳的结结论。关于ADF检验模型型的进一步步说明如果时间序序列具有明明显的趋势势，则应该该用模型3检验；如果时间序序列没有时时间趋势，，但绕着一一个非0值值来回游摆摆，则应该该用2模型型；如果时间序序列绕着0来回游摆摆，则应该该用1模型型。如果时间序序列没有很很明显的上上述特征，，则应该是是遵循从3到1的检检验顺序。。5、其它单单位根检验验方法简介介PP检验（（Phillips-Perron））检验模型中中不引入滞滞后项，以以避免自由由度损失降降低检验效效力。直接采用Newey-West一致估估计式作为为调整因子子，修正一一阶自回归归模型得出出的统计量量。一种非参数数检验方法法霍尔工具变变量方法用工具变量量法估计ADF检验验模型。用Xt-k和ΔXt-i-k作为yt-1和ΔXt-i的工具变量量。检验统计量量仍然服从从ADF分分布。DF-GLS方法法（Elliott,Rothenberg,Stock,ERS）去势（趋势势、均值））。对去势后的的序列进行行ADF型型检验。采用GLS估计检验验模型。证明具有更更良好的性性质。KPSS方方法（Kwiatkowski,Philips,Schmidt,Shin）检验趋势平平稳非参数检验验方法其它方法LMC(Leybourne,McCabe)Ng-PerronEviews中提提供的检验验方法四、趋势平平稳与差分分平稳随机机过程考虑如下的的含有一阶阶自回归的的随机过程程：ρ=1β=0ρ=0β≠0判断一个非非平稳时间间序列的趋趋势是随机机性的还是是确定性的的，可通过过ADF检检验中所用用的模型（（3）进行行。如果检验结结果表明所所给时间序序列有单位位根，且时时间变量前前的参数显显著为零，，则该序列列显示出随随机性趋势势；如果没没有单位根根，且时间间变量前的的参数显著著地异于零零，则该序序列显示出出确定性趋趋势。确定性趋势势随机性趋势势随机性趋势势可通过差差分的方法法消除，，该时间序序列Xt称为差分平稳过过程（differencestationaryprocess））；确定性趋势势无法通过过差分的方方法消除，，只能通过过除去趋势势项消除，，该时间序序列Xt称为趋势平稳过过程（trendstationaryprocess）。五、结构变变化时间序序列的单位位根检验说明现代时间序序列分析的的一个前沿沿研究领域域。文献庞杂。。只介绍几种种实用的检检验方法。。1、随机时时间序列的的结构变化化3种基本突突变类型存在水平(level)突变变；存在倾斜(slope)突变变；存在水平和和倾斜突变变。扩展突变类类型2个及多个个断点。2、ZA检验概述ZivotandAndrews(1992)提出出。以原序列是是一个单位位根过程为为零假设。。备择假设有有三种：原序列是一一个存在水水平(level)突变的趋趋势平稳过过程；原序列是一一个存在倾倾斜(slope)突变的趋趋势平稳过过程；原序列是一一个存在水水平和倾斜斜突变的趋趋势平稳过过程。检验模型：：对应于三个个不同的备备择假设，，ZA检验验有三个不不同的模型型（依次为为模型A、、B、C））：检验步骤ZA检验采采用迭代的的方法侦察察断点。在给定的迭迭代区间内内，依次假假定每一个个点为断点点，逐次进进行回归得得到tρ序列；找到该序列列的最小值值，即是关关键统计量量的值；用该统计量量值与相应应的临界值值进行比较较，作出判判断。关于迭代区间间的选择：ZivotandAndrews(1992)：除样样本的两个端端点以外的任任何区间Perron(1997)：即使包包含样本端点点也是可以的的。ZA检验t统统计量的分布布DUt、DTt类似于时间势势的加入，会会影响到统计计量的分布形形态，因此ZA检验t统统计量的分布布形态与通常常单位根检验验的分布形态态不一样。关于ZA检验验t统计量的的分布形态，，各个模型并并不一样。相关的文献中中模拟了各个个统计量分布布表。ZA统计量的的渐进分布3、LP检验检验模型LumsdaimeandPapell(1996)将ZivotandAndrews(1992)的的模型A和模模型C推广到到两个断点。。得到了3个模模型，依次分分别称之为模模型AA、模模型AC、模模型CC。检验步骤LP检验对断断点的侦察采采用的是与ZA检验完全全相同的方法法，即在给定定的迭代区间间内，依次假定定每两个不相相邻点为断点点，逐次进行行回归得到tρ序列，然后找找到该序列的的最小值，此此最小值就是是关键统计量量的值。统计量的分布布9、静夜夜四无无邻，，荒居居旧业业贫。。。1月-231月-23Sunday,January1,202310、雨中中黄叶叶树，，灯下下白头头人。。。14:51:0914:51:0914:511/1/20232:51:09PM11、以我独沈沈久，愧君君相见频。。。1月-2314:51:0914:51Jan-2301-Jan-2312、故故人人江江海海别别，，几几度度隔隔山山川川。。。。14:51:0914:51:0914:51Sunday,January1,202313、乍见翻疑梦梦，相悲各问问年。。1月-231月-2314:51:0914:51:09January1,202314、他乡生生白发，，旧国见见青山。。。01一一月20232:51:09下午午14:51:091月-2315、比不不了得得就不不比，，得不不到的的就不不要。。。。。一月232:51下下午午1月-2314:51January1,202316、行动出出成果，，工作出出财富。。。2023/1/114:51:0914:51:0901January202317、做前，，能够环环视四周周；做时时，你只只能或者者最好沿沿着以脚脚为起点点的射线线向前。。。2:51:09下午午2:51下午午14:51:091月-239、没没有有失失败败，，只只有有暂暂时时停停止止成成功功！！。。1月月-231月月-23Sunday,January1,202310、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有结结果果，，但但是是不不努努力力却却什什么么改改变变也也没没有有。。。。14:51:0914:51:0914:511/1/20232:51:09PM11、成功功就是是日复复一日日那一一点点点小小小努力力的积积累。。。1月-2314:51:0914:51Jan-2301-Jan-2312、世间成事，，不求其绝对对圆满，留一一份不足，可可得无限完美美。。14:51:0914:51:0914:51Sunday,January1,202313、不不知知香香积积寺寺，，数数里里入入云云峰峰。。。。1月月-231月月-2314:51:0914:51:09January1,202314、意志坚强的的人能把世界界放在手中像像泥块一样任任意揉捏。01一月20232:51:09下午14:51:091月-2315、楚塞三湘接接，荆门九派派通。。。一月232:51下下午1月-2314:51January1,202316、少少年年十十五五二二十十时时，，步步行