第六章套利定价理论

会计学1第六章套利定价理论第一节套利定价模型套利是指利用一个或多个市场存在的各种价格差异，在不冒风险或冒较小风险的情况下赚取较高收益率的交易活动。套利是市场无效率的产物，而套利的结果则促使市场效率提高，使资产价格重新回归均衡，因此套利对市场的正面效应远超过负面效应。

第1页/共39页第一节套利定价模型套利是利用市场上资产价格暂时失衡的机会,建立数量相等的多头和空头头寸,获取无风险利润的行为。因此一旦市场出现了套利机会套利者会尽可能建立大额的套利头寸,推动市场价格恢复均衡,迅速消除套利机会,这正是套利定价理论的核心思想。

第2页/共39页第一节套利定价模型套利定价理论的一个基本假设：证券的收益率主要受一个或多个市场因子影响，并且如同指数模型一样，假设证券收益率与这些因子之间具有线性关系，然后利用无套利均衡分析方法确定这些市场因子及对证券收益率的影响。第3页/共39页第一节套利定价模型一、单因子模型

假设各证券收益率均受一个市场因子影响，并且有线性结构，即对任意证券的收益率，有

其中:是影响各证券收益率的因子的收益率;

是因子收益率为零时证券的预期收益率;

是因子收益率变化对证券收益率的影响程度;

是证券的收益率为与因子无关的残差。第4页/共39页第一节套利定价模型并假设有：为记号简单，以下记，可以是任意随机变量，于是如同单指数模型一样以得到证券J的预期收益率为其中表示因子的预期收益率。

（6.2），不同证券的残差不相关（6.3）,

，证券J的残差与因子I不相关（6.4）（6.5）第5页/共39页第一节套利定价模型证券J的收益率的方差为其中：

表示因子的收益率的方差；表示残差的方差。上式表明任意证券J的风险可分解为因子风险和非因子风险两部分。（6.6）第6页/共39页第一节套利定价模型在单因子模型下，证券和证券收益率的协方差为对证券组合，其预期收益率为（6.8)（6.7)第7页/共39页第一节套利定价模型证券组合的方差为其中(6.9)第8页/共39页第一节套利定价模型根据套利定价思想，在出现套利机会时，投资者将构造套利组合，来增加已有投资组合的预期收益率。之所以称为套利组合，它应具有三个性质：

1、构造的套利组合应不增加投资者的投资；

2、套利组合无风险，即产生风险的因子对套利组合的影响程度为零；

3、套利组合的预期收益率非负。

第9页/共39页第一节套利定价模型如果用表示套利组合，则应满足的三个性质可以表示成（6.11)（6.10)（6.12)第10页/共39页第一节套利定价模型投资者通过构造套利组合，买入收益率被低估的证券而卖出收益率被高估的证券。从而使低估证券需求增加、价格上升，其收益率回升；使高估证券供给增加、价格下降，其收益率回落，直到各证券价格和收益率重新回归均衡，即各证券收益率与其影响因子的收益率保持一种合理关系，套利活动也将终止。而此无套利均衡下证券收益率与其影响因子收益率的关系正是下面所要推导的。第11页/共39页投资者套利的目标是使套利组合的预期收益率最大化即寻求以下优化问题的解:

利用Lagrange乘数法，建立拉格朗日函数第一节套利定价模型第12页/共39页第一节套利定价模型要求L的最大值，为此将其对及求偏导数并令其等于零，得如下方程组从(6.13)可以求出使套利组合收益率最大的与的关系

（6.13）（6.14）第13页/共39页第一节套利定价模型注意到满足方程组(6.13)的套利组合其收益率为可见(6.14)反映了无套利均衡条件下证券预期收益率与因子影响程度之间满足线性关系，此即单因子套利定价模型。第14页/共39页第一节套利定价模型(6.14)不仅对单个证券成立，对证券组合也成立，即对证券组合，仍有

如果某证券不满足(6.14)，投资者可以构造包含该证券的套利组合，使方程组(6.13)不成立，从而,套利成功将迫使证券需求、价格和收益率向均衡点方向调整。第15页/共39页第一节套利定价模型以下讨论套利定价模型(6.14)中的常数的含义,对于无风险资产其收益率为无风险利率,而且它的收益率不受任何风险因子影响，因此对无风险资产。将无风险资产代入模型(6.14)，则有于是将其代入(6.14)得第16页/共39页第一节套利定价模型为了考查的含义，我们构造一个纯因子组合，其因子影响程度代入上式可得：上式表明是因子的风险溢价，即具有单位因子影响程度的证券组合能获得的超过无风险收益率的那部分预期收益率。由于纯因子组合有多种构造方法，用它们构造的组合所推得的应该是相同的，因若不同，套利者便可以从中套利，因此因子风险报酬是惟一的第17页/共39页第一节套利定价模型我们不妨以因子作为纯因子组合的代表，于是可以记于是(6.14)的套利定价模型可以写成

如果将市场投资组合作为纯因子，则套利定价模型具有如下形式它与CAPM形式完全一样，但其导出过程和思想却完全不同。（6.15）第18页/共39页第一节套利定价模型二、多因子模型多因子模型是假定各证券收益率都受多个市场因子影响，并具有线性结构，即任意证券的收益率可表示为个因子收益率的线性模型其中：第19页/共39页第一节套利定价模型与单因子模型类似，这里要假设如同多指数模型，在各不相关条件下可以得到证券的预期收益率为(6.17)(6.18)(6.19)第20页/共39页第一节套利定价模型证券收益率的方差为证券和的收益率协方差为

第21页/共39页第一节套利定价模型对于证券组合,有其中:第22页/共39页第一节套利定价模型而第23页/共39页第一节套利定价模型在套利定价思想下，投资者构造的套利组合满足的三个性质可以表示成(6.20)(6.21)(6.22)第24页/共39页第一节套利定价模型套利组合是以下问题的解第25页/共39页第一节套利定价模型建立拉格朗日函数将对及求偏导数并令其等于零，得到方程组(6.23)第26页/共39页第一节套利定价模型从中可以求出多因子模型下的套利定价模型完全仿照单因子模型情形，通过分别构造仅依赖一个因子的纯因子组合，还可以将上述模型写成

其中是因子的风险报酬,即使的单因子证券组合能获得超过无风险收益率的那部分超额收益率。第27页/共39页第一节套利定价模型例6.1证券市场有三个证券其收益率分别记为，经验表明，它们受两个市场因子的影响，下表给出了这三个证券收益率及其与市场因子收益率影响程度的因子的客观统计估计值：以及，如果无风险收益率为

证券的收益率

r111%0.52.0

r225%1.01.5

r3

23%1.51.0第28页/共39页第一节套利定价模型由APT模型，这三个证券的期望收益率为将APT给出的期望收益率与证券的客观收益率比较，我们发现证券1和证券3的客观估计值的期望收益率与无套利条件下的期望收益率相同，因此交易这两种证券无套利而言。而证券2却不同，即所以通过卖出适当比例的证券1和证券3，并投资于证券2可以构成套利组合。

第29页/共39页第一节套利定价模型设证券组合的权重为,根据套利组合的定义：由此解得此证券组合的存在着套利机会，套利收益率为

返回第30页/共39页第二节套利定价理论的进一步讨论一、APT和CAPM的联系与区别

1.APT和CAPM的联系当取因子为市场投资组合时,APT与CAPM有相同结果,即APT的定价模型恰好是CAPM中的证券市场线,二者是一致的。但这并不意味着CAPM模型是多因子APT模型的特殊(单因子)情形,实际上默顿于1975年和布雷顿于1979年都讨论过CAPM的多因素模型。第31页/共39页第二节套利定价理论的进一步讨论在APT单因子模型中，如果选择的因子并非市场投资组合而得到单因子APT模型:而CAPM得到的单因子模型(证券市场线)为:

这两个模型并不一致，但如果因子与市场投资组合的收益率完全相关且同方差，则可以得出，这时可以以因子替代市场投资组合，例如某一市场指数与市场投资组合收益率完全相关且同方差，则可以用该指数代替市场投资组合。第32页/共39页第二节套利定价理论的进一步讨论2.APT和CAPM的区别两者最大区别在于虽然模型的线性形式相同，但建模思想不同。CAPM模型是建立在市场均衡的基础上，以市场投资组合存在为前提。第33页/共39页第二节套利定价理论的进一步讨论CAPM模型假定投资者对市场中证券的收益率有相同的认识，即有相同的分布、均值、方差，只是各自的风险偏好不同，从而可以建立起最小方差集合、有效集合;每个投资者都建立有效的投资组合以分散非系统风险，并根据自己对风险的偏好在存在无风险利率时，建立无风险资产与市场投资组合的投资组合在不存在无风险利率时，建立零资产与市场投资组合的投资组合，这导出每个证券的收益率与其风险系数具有线性关系第34页/共39页第二节套利定价理论的进一步讨论APT模型是建立在无套利均衡分析基础上，它的出发点是通过少数投资者构造大额无风险套利头寸，迫使市场重建均衡，以消除市场无风险套利机会，导出单个证券收益率与其影响因子的影响程度之间的线性关系。因此APT理论并不需CAPM那么多关于市场的假设条件，也不需要CAPM中关于证券收益率分布的假设，但APT模型中关于证券收益率的线性生成结构假设却是CAPM模型所没有要求的。第35页/共39页第二节套利定价理论的进一步讨论二、关于模型的检验问题APT对CAPM提出的直接挑战是CAPM无法进行检验，其根源在于CAPM中的市场投资组合包括的资产范围太广，以致于无法通过观测取得其收益率，在模型的应用中，常以某些市场综合指数近似代替市场投资组合，这样既使市场综合指数的收益率可以观测，其对模型的检验也很难对CAPM模型给出肯定或否定的结论。

第36页/共39页第二节套利定价理论的进一步讨论而APT模型的检验取决于因子的选择，通常在APT模型中选取的因子可以分为三类：第一类即宏