第九章超静定总论

会计学1第九章超静定总论§9-1关于结构的计算简图

(1)取平面单元计算对于棱柱形结构（沿纵向横截面不变）和由一系列平面单元组成的结构，可取一平面单元计算。(2)沿横向和纵向分别按平面结构计算纵向刚架横向刚架柱平面布置1、结构体系的简化第1页/共38页2、杆件的简化一般原则：杆件简化为轴线，杆件之间的连接简化为结点，杆长用结点间距表示，荷载作用在轴线上。补充：1）以直杆代替微弯或微折的杆件。梁截面形心不是直线，柱截面形心不是竖直线。按以上简图计算的内力是计算简图轴线上的内力。第2页/共38页h柱高l跨度lN

上下柱截面形心连线不是一条直线。在计算简图上用一条直线表示。如柱顶为刚结，取上柱轴线为柱的轴线，如柱顶为铰结，取下柱轴线为柱的轴线。2）以实体杆件代替格构式杆件。实体梁代替屋架屋架按桁架计算第3页/共38页3）杆件的刚度简化如在计算刚架的位移时，忽略轴向变形的影响。当刚架的横梁刚度远大于竖柱刚度且受水平荷载作用时，假设横梁刚度为无穷大。3、结点的简化常将结点简化铰结点、刚结点和组合结点。确定结点简图时，首先要考虑结点的构造情况，还要考虑结构的几何组成情况。按桁架计算按刚架计算桁架的几何不变性依赖于杆件的布置，而不依赖于结点的刚性。刚架的几何不变性依赖于结点的刚性。第4页/共38页

另外，当杆件与杆件的结合区较小时，不考虑结合区尺寸的影响，将其简化成一个结点；当结合区较大时（如大于杆长的1/5），则应考虑结合区尺寸的影响。一种粗略的考虑方法将结合区看作刚性区。4、支座的简化

支座还可简化成弹性支座，可提供反力，也产生相应的位移。反力与位移的比值称为弹性支座的刚度。当支座刚度与结构刚度相近时应简化成弹性支座较适宜。结构内部相邻构件之间互为弹性支承。支座的刚度取决于这些相邻部分的刚度。当支座刚度远大于该构件的刚度时，支座可简化为理想支座。第5页/共38页l/2l/2EIEAaABABkk=3iBCiBC<<iBA

PiBCABCiBAiBC>>iBAAB

PAB

PAB

P第6页/共38页§9-1超静定结构的特性

1、超静定结构是有多余约束的几何不变体系；2、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出，还必须考虑变形条件；如在力法计算中，多余未知力由力法方程（变形条件）计算。再由M=∑MiXi+MP

叠加内力图。如只考虑平衡条件画出单位弯矩图和荷载弯矩图，Xi是没有确定的任意值。因此单就满足平衡条件来说，超静定结构有无穷多组解答。3、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特征有关，即与刚度有关。荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关。因此在设计超静定结构时须事先假定截面尺寸，才能求出内力；然后再根据内力重新选择截面。另外，也可通过调整各杆刚度比值达到调整内力的目的。第7页/共38页8m6m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/mI1I2I2I1=2I253.353.3106.7↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/mI1I2I2I1>>I2≈0106.7≈0↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/mI1I2I2I1<<I2106.7106.753.3↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/mI1I2I2I1=1.5I2808080第8页/共38页

一般情况下,非荷载外因引起的内力与各杆的刚度绝对值成反比。

因此,为了提高结构对温度改变和支座移动等因素的抵抗能力，增大结构截面尺寸，不是明智的选择。

工程实践应用：

1）设计结构要注意防止、消除或减轻自内力的影响。（设置沉降缝、温度缝）

2）利用自内力来调节超静定结构的内力。（预应力结构）4、温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差等因素对超静定结构会产生内力。(自内力状态)∑δijXi+ΔiC+Δit=0i=1，2，……nδij与各杆刚度成反比，ΔiC与刚度无关，Δit由下式计算第9页/共38页l/2l/2Pl/4PPPPPl/45、超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载。具有较高的防御能力。6、超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小局部的内力幅值和位移幅值。PlP

多余约束约束的存在，使结构的强度、刚度、稳定性都有所提高。μ=1μ=1/2第10页/共38页§9-2

计算方法的分析比较1、计算方法分类：对超静定结构的几种计算方法分类如下表。表中内容说明如下：1）从所需取的基本未知量的性质来看，计算方法可分为两大类型：以力法为代表的力法类型——以多余未知力作为基本未知量。以位移法为代表的位移法类型——以结点位移作为基本未知量。第11页/共38页2）从基本方程表达的形式来看，计算方法可分为静力法和能量法两类：静力法：所列的方程都表示成平衡方程、几何方程、物理方程等形式，如通常的力法和位移法。能量法：所列的方程都表示成能量方程的形式，如余能法（与力法等价）和势能法（与位移法等价）。静力法和能量法本质上是一样的，只是表现形式不同。求精确解时两者解答完全相同。但在求近似解时能量法优于静力法，这是因为在能量法中把问题归结为极小值问题或驻值问题，最便于求近似解。在结构的稳定和动力计算中，将会看到能量法的这一优点。3）从所采用的计算手段来看，计算方法可分为手算和电算两类：手算怕繁只能解决小型问题，但结构力学的基本概念、原理和方法是靠手算来理解和掌握的。电算怕乱，要求计算过程的程序化和自动化，并采用矩阵的形式。解算大型的问题。第12页/共38页2、最适宜的解法选用手算时，凡是多余约束多结点位移少的结构用位移法；反之用力法。一般情况下，对于不同的结构，可按下表选用最适宜的方法。第13页/共38页§9-3

联合法和混合法对于一个超静定结构的求结问题，可以将其分解为几个子问题，对每个字问题采用最适宜的方法，这种联合求结问题的方法，常可收到各取所长的效果。由许多形式的联合应用，如力法与力矩分配法的联合应用，力矩分配法与位移法的联合应用，位移法于建立分配法的联合应用，力法与位移法的联合应用等。对于不同的问题，可采用不同的联合应用方法。这里举几种联合应用情况例子。第14页/共38页1、力法与力矩分配法的联合应用

取无侧移的结构为力法基本体系,可用力矩分配法画单位弯矩图、荷载弯矩图，并求δ11、Δ1P第15页/共38页例题1力法与力矩分配法的联合应用

第16页/共38页力法与力矩分配法的联合↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qX1可用力矩分配法画M求δ11↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaaa由载常数表画MP求Δ1PX1=1↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q取无侧移的结构为力法基本体系由δ11X1+Δ1P=0解出X1MPM由M=M1X1+MP绘制弯图。第17页/共38页2、位移法与力矩分配法的联合应用

取无侧移的结构为位移法基本体系,用力矩分配法画单位弯矩图、荷载弯矩图并求k11、F1P第18页/共38页例题2位移法与力矩分配法的联合应用第19页/共38页2）力矩分配法与位移法联合4I4I5I3I3IABCDEF↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m4I4I5I3I3IABCDEF↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m4I4I5I3I3IABCDEFΔ=1F1Pk11取无侧移的结构为位移法基本体系可用力矩分配法画M求k11由力矩分配法画MP求F1P由

解出Δ1由M=M1X1+MP绘制弯图。MPM返回第20页/共38页3、力法与位移法的联合应用

将荷载分为对称和反对称两组。对称问题按位移法或力矩分配法计算；反对称问题按力法或无剪切分配法求。再将两者结果叠加。4、位移法与剪力分配法联合

第21页/共38页例题3力法与位移法的联合应用

第22页/共38页PP/2P/2P/2P/2对称问题反对称问题将荷载分为对称和反对称两组。3）力法与位移法联合P/2P/2对称问题按位移法或力矩分配法计算反对称问题按力法或无剪切分配法求返回第23页/共38页例题4力矩分配法与位移法联合第24页/共38页例、联合应用力矩分配法与位移法求等截面连续梁结构的弯矩图。8m4m4m4m4m2mABECFDG20kN/m100kN20kN[分析]图示结构中E点处有竖向线位移，故不能直接应用力矩分配法，可利用位移法与力矩分配法联合进行计算。选E点竖向线位移为位移法基本未知量，B、C点角位移用力矩分配法计算。解：（1）取E点竖向线位移为位移法基本未知量典型方程为：（2）用力矩分配法求基本体系，在荷载作用下的弯矩图第25页/共38页8m4m4m4m4m2mABECFDG20kN/m100kN20kN杆件相对线刚度杆端分配系数固端弯矩kN.mkN.mkN.m-106.7106.7-13040-42.68-64.02-21.34-128.064.0-64.043.386.786.7-86.7401286486.773.340kN.m第26页/共38页（3）用力矩分配法计算时的弯矩图

时，梁端固端弯矩：-0.750.750.30.450.150.150.3-0.3-0.5-0.250.25-0.250.15i0.3i0.25i第27页/共38页ABECFDG（4）代入典型方程得（5）求作连续梁弯矩图169.118.318.340170.91601286486.773.3400.15i0.3i0.25i第28页/共38页还有其它形式的联合应用，如力法与位移法的联合，力法与力矩分配法的联合，力矩分配法与无剪力分配法的联合等。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓X1力法与力矩分配法的联合画M可用力矩分配法求画MP可用公式求力法与位移法的联合PP/2P/2P/2P/2对称反对称对称问题按位移法或力矩分配法计算，反对称问题按力法或无剪切分配法计算。第29页/共38页§9-3混合法混合法的基本特点是：基本未知量中既有位移，又有力。两个多余未知力，五个结点位移。用力法作。六个多余未知力，两个结点位移。用位移法作。合理的方法是混合法：基本未知量：X1X2θ3θ4X2X1θ3θ4基本方程：变形条件、平衡条件。变形条件：平衡条件：ABCDEF第30页/共38页↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m4m4m8m4m4m3m↓↓↓↓↓20kN/mX1θ2例15-1↓↓↓↓↓20kN/mX1=1M37160MP→110.3X1+7θ2+3400=016071--=XMBD,41422=×=MBCqq,343422=×=MBAqq→－7X1+4θ2－160=0

X1=－30.3θ2=－12.55上部M图由叠加得到,下部杆端弯矩由刚度方程得到。69.9150.21=－37.65=－12.55MAB=1.5θ2MCD=0.5θ2=－18.83=－6.2837.6518.8312.556.28M图(kN.M)EI=3EI=1EI=3EI=1BACD第31页/共38页§9-4近似法用精确法计算多跨多层刚加，常有大量的计算工作，如不借助于计算机往往无法计算。如果在计算中忽略一些次要影响，则可得到各种近似法。近似法以较小的工作量，取得铰为粗略的解答，可用于结构的初步设计，也可用于对计算结果的合理性进行判断。第32页/共38页一、分层法

（适用于竖向荷载作用）两个近似假设

1）忽略侧移，用力矩分配法计算。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2）忽略每层梁的竖向荷载对其它各层的影响，把多层刚架分成一层一层地计算。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓除底层柱底外，其余各柱端是弹性固定端。故将上层各柱的i×0.9,传递系数改为1/3。柱的弯矩为相邻两层叠加。刚结点上不平衡弯矩大时，可再进行一次力矩分配。第33页/共38页1、分层法分层法适用于多跨多层刚架在竖向荷载作用时的情况，其中采用两个近似假定：1）忽略侧移的影响，用力矩分配法计算。忽略每层梁的竖向荷载对其它各层的影响，把多层刚架分解成一层一层地单独计算。为说明第二个假设的正确性，来分析某层的竖向荷载对其它各层的影响。首先，荷载在本层结点产生的不平衡力矩，经过分配和传递，才影响到本层柱的远端。然后，在柱的远端再经过分配，才影响的相邻的楼层这里经过了“分配——传递——分配”三到运算，余下的影响已经很小，因而可以忽略。在各个分层刚架中，柱的远端都假设为固定端，除底层柱底外，其余各柱的远端并不是固定端，而是弹性约束端。为了反映这个特点，在各个分层刚架中，可将上层各柱的线刚度乘以折减系数0.9，传递系数改为0.5。分层计算的结果，在刚结点上弯矩是不平衡的，但一般误差不大。如有必要，可对结点的不平衡力矩再进行一次分配。第34页/共38页例题5反弯点法第35页/共38页h2/2h2/2二、反弯点法

（适用于水平荷载作用下的强梁弱柱结构）PΔQ1Q2Q2h2/2QQ1=k1Δ，Q2=k2Δ，P反弯点法（剪力分配法）的要点：