云南省曲靖市越洲镇第一中学2023年高三数学文下学期期末试题含解析

云南省曲靖市越洲镇第一中学2023年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A． B．[1，2] C． D．（0，2]参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质；对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由偶函数的性质将f（log2a）+f（a）≤2f（1）化为：f（log2a）≤f（1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围．【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（a）=f（﹣log2a）=f（log2a），则f（log2a）+f（a）≤2f（1）为：f（log2a）≤f（1），因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|log2a|≤1，解得≤a≤2，则a的取值范围是[，2]，故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题．2.若实数，满足不等式组，则的最大值为（

）

A.9

B.

C.

1

D.参考答案：A略3.已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为（

）（A）个

（B）个

（C）个

（D）个参考答案：A4.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】古典概型.K2【答案解析】B解析：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，共有12,13,14,23,24,34计6种情况，而取出的2张卡片上的数学之和为偶数的有13,24计2种情况，根据古典概型的计算公式可得概率为，故选B.【思路点拨】先列举4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张的所有情况，再列举2张卡片上的数学之和为偶数的基本情况的种数，再求概率即可.5.三角形ABC中A，B，C的对边分别为,,则A的取值范围为(

)A.

B.

C.（）

D.参考答案：C略6.函数f（x）=lnx+3x﹣7的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）参考答案：C【考点】二分法的定义．【分析】由函数的解析式求得f（2）f（3）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间．【解答】解：∵函数f（x）=lnx+3x﹣7在其定义域上单调递增，∴f（2）=ln2+2×3﹣7=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3+9﹣7=ln3+2＞0，∴f（2）f（3）＜0．根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间是（2，3），故选：C．【点评】本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．7.已知，则A、2

B、

C、0

D、参考答案：B由，故选Ｂ．8.在中，是的中点，,点在上且满足,则

A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算．F3【答案解析】A

解析：如图因为M是BC的中点，根据向量加法的几何意义，=2，又，所以==．故选：A．【思路点拨】根据向量加法的几何意义，得出=2，从而所以=．9.过抛物线的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点，正三角形ABC的顶点C在直线上，则△ABC的边长是（

）A.8 B.10 C.12 D.14参考答案：C【分析】设的中点为，过、、分别作、、垂直于直线于、、，设，求出，利用弦长公式，可得结论．【详解】抛物线的焦点为，设的中点为，过、、分别作、、垂直于直线于、、，设，由抛物线定义知：，，，，，即，所以直线AB的斜率k=,所以直线AB的方程为，联立直线AB方程和抛物线方程得，所以.故选：．【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键．10.给定下列三个命题：p1：函数y=ax+x（a＞0，且a≠1）在R上为增函数；p2：?a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0；p3：cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β（k∈Z）．则下列命题中的真命题为（）A．p1∨p2 B．p2∧p3 C．p1∨￢p3 D．￢p2∧p3参考答案：D【考点】2E：复合命题的真假；2K：命题的真假判断与应用．【分析】p1：当0＜a＜1时，函数y=ax+x（a＞0，且a≠1）在R上不是增函数，即可判断出真假；p2：?a，b∈R，a2﹣ab+b2=≥0，不存在a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0，即可判断出真假；p3：cosα=cosβ?α=2kπ±β（k∈Z），即可判断出真假．【解答】解：p1：当0＜a＜1时，函数y=ax+x（a＞0，且a≠1）在R上不是增函数，是假命题；p2：?a，b∈R，a2﹣ab+b2=≥0，因此不存在a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0，是假命题；p3：cosα=cosβ?α=2kπ±β（k∈Z），因此cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β（k∈Z），是真命题．因此p1∨p2，p2∧p3，p1∨￢p3是假命题；￢p2∧p3是真命题．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.右图的程序运行后，输出的结果是 参考答案：712.设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；②函数是“似周期函数”；③函数是“似周期函数”；④如果函数是“似周期函数”，那么“”．其中是真命题的序号是

．（写出所有满足条件的命题序号）参考答案：1,3,4．13.已知变量，满足约束条件，则的最大值是_________.参考答案：9

考点：简单的线性规划．14.如图，，是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点.若，，则=

，

（用表示）.参考答案：；

因为点P是AB的中点，由垂径定理知，在直角三角形中，，所以，由相交弦定理知，，即，解得15.已知函数f(x)在（0，2）上是增函数，且是偶函数，则、、的大小顺序是

(按从小到大的顺序).参考答案：16.已知三被锥S﹣ABC的体积为，底面△ABC是边长为2的正三角形，且所有頂点都在直径为SC的球面上．则此球的半径为．参考答案：2【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设球心为O，球的半径为R，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，作SD⊥平面ABC交CO1的延长线与D，用半径表示出OO1、高SD，利用V三棱锥S﹣ABC=求出R的值．【解答】解：设球心为O，球的半径为R，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，作SD⊥平面ABC交CO1的延长线与D，如图所示；∵△ABC是正三角形，∴CD=×2=，O1C=CD=，∴OO1=，∴高SD=2OO1=2；又△ABC是边长为2的正三角形，∴S△ABC=?22=，∴V三棱锥S﹣ABC=??2=，解得R=2．故答案为：2．17.已知函数,有下列五个命题①不论为什么值,函数的图象关于原点对称;②若,函数的极小值是,极大值是;③若,则函数的图象上任意一点的切线都不可能经过原点;④当时,对函数图象上任意一点,都存在唯一的点,使得(其中点是坐标原点)⑤当时,函数图象上任意一点的切线与直线及轴所围成的三角形的面积是定值.其中正确的命题是

(填上你认为正确的所有命题的序号)参考答案：①③⑤

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列中，（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.参考答案：

略19.如图所示，正三角形所在平面与梯形所在平面垂直，，，为棱的中点.（1）求证:平面；（2）若直线与平面所成的角为30°，求三棱锥的体积.参考答案：(1)见解析;(2).试题分析：（1）先根据面面垂直性质定理转化为线面垂直平面，，再利用线面垂直性质定理得线线垂直，由正三角形性质得，最后根据线面垂直判定定理得结论，（2）先根据线面垂直平面确定直线与平面所成的角的平面角为，求出点到平面的距离,根据为的中点，可得点到平面的距离为点到平面的距离一半，利用锥体体积公式可得，再根据等体积法可得.（2）取中点，连接，易知平面，∴与平面所成的角为，∵中，，∴，∵为正三角形，为的中点，∴且，∵平面平面，∴平面，又∵为的中点，∴点到平面的距离为，∵，∴，∴.20.(本题满分16分)已知Sn是正数数列{an}的前n项和，S12，S22、……、Sn2

……，是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列{bn}为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90。(1)求an、bn；(2)从数列{}中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于。若能的话，请写出这个数列的第一项和公比?若不能的话，请说明理由。参考答案：(1){Sn}是以3为首项，以1为公差的等差数列；所以Sn2=3+(n–1)=n+2因为an>0，所以Sn=(n?N)，当n≥2时，an=Sn–Sn–1=–，又a1=S1=，所以an=(n?N)，设{bn}的首项为b1，公比为q，则有，所以，所以bn=3n(n?N)，(2)=()n，设可以挑出一个无穷等比数列{cn}，首项为c1=()p，公比为()k，(p、k?N)，它的各项和等于=，则有，所以()p=[1–()k]，当p≥k时3p–3p–k=8，即3p–k(3k–1)=8，因为p、k?N，所以只有p–k=0，k=2时，即p=k=2时，数列{cn}的各项和为。当p<k时，3k–1=8.3k–p，因为k>p右边含有3的因数，而左边非3的倍数，不存在p、k?N，所以唯一存在等比数列{cn}，首项为，公比为，使它的各项和等于。21.选修4﹣1：几何证明选讲如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF?EC．（1）求证：CE?EB=EF?EP；（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．参考答案：考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题．分析：（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行线的性质可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用对顶角的性质即可证明△EDF∽△EPA．于是得到EA?ED=EF?EP．利用相交弦定理可得EA?ED=CE?EB，进而证明结论；（II）利用（I）的结论可得BP=，再利用切割线定理可得PA2=PB?PC，即可得出PA．解答： （I）证明：∵DE2=EF?EC，∠DEF公用，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF=∠C．又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA∴△EDF∽△EPA．∴，∴EA?ED=EF?EP．又∵EA?ED=CE?EB，∴CE?EB=EF?EP；（II）∵DE2=EF?EC，DE=3，EF=2．∴32=2EC，∴．∵CE：BE=3：2，∴BE=3．由（I）可知：CE?EB=EF?EP，∴，解得EP=，∴BP=EP﹣EB=．∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB?PC，∴，解得．点评：熟练掌握相似三角形的判定和性质定理、平行线的性质、对顶角的性质、相交弦定理、切割线定理是解题的关键．22.某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人，每人分别对两个教师进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].得到甲教师的频率分布直方图，和乙教师的频数分布表：乙教师分数频数分布表分数区间频数[40,50)3[50,60)3[60,70)15[70,80)19[80,90)35[90,100]25

（1）在抽样的100人中，求对甲教师的评分低于70分的人数；（2）从对乙教师的评分在[40,60)范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在[50,60)范围内的概率；（3）如果该校以学生对老师评分的平均数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准，则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师？（精确到0.1）参考答案：(1)32人；（2）；（3）乙可评为年度该校优秀教师【分析】（1）根据频率分布直方图求出70分以上的频率，总频率之和为1可得70分以下的频率，由频率即可求解.（2）根据频数分布表有3人，有3人，分别进行标记，利用列举法求出随机选出2人的基本事件个数，然后再求出评分均在范围内的基本事件个数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.（3）利用平均数=小矩形的面积×小矩形底边中点横坐标之和，求出甲的平均分，再利用平均数的公式求