云南省曲靖市宣威市热水乡第三中学2022年高一数学理期末试题含解析

云南省曲靖市宣威市热水乡第三中学2022年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.给出平面区域如图所示，若目标函数仅在点(2,2)处取得最大值，则a的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据取值的不同，进行分类讨论.当时，不符合题意；当时，由目标函数得，利用数形结合，可以求出的取值范围.【详解】解：画出已知约束条件的可行域为内部(包括边界)，如图，易知当时，不符合题意；当时，由目标函数得，则由题意得，故.综上所述，.答案：C【点睛】本题考查了已知线性目标函数最值情况，求参数问题，数形结合是解题的关键.2.设函数的定义域为，的解集为，的解集为，则下列结论正确的是（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且，，则使得最小的n为（

）A.10 B.11 C.12 D.13参考答案：B【分析】先根据条件得首项与公差关系，再结合选项判断符号.【详解】因为，所以当时，，当时，所以选B.【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本分析判断能力，属中档题.4.同时掷两个骰子，向上的点数之和是6的概率是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】分别计算出所有可能的结果和点数之和为6的所有结果，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】同时掷两个骰子，共有种结果其中点数之和是6的共有：，共5种结果点数之和是6的概率为：本题正确选项：C【点睛】本题考查古典概型问题中的概率的计算，关键是能够准确计算出总体基本事件个数和符合题意的基本事件个数，属于基础题.5.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于5km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（

）A.km B.km C.5km D.10km参考答案：B【分析】根据题意画出ABC的相对位置，再利用正余弦定理计算。【详解】如图所示，,，选B.【点睛】本题考查解三角形画出相对位置是关键，属于基础题。6.若函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，则＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（0，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（2，+∞）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】根据函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，判断函数f（x）在R上的符号，根据奇函数把＜0转化为＜0，根据积商符号法则及函数的单调性即可求得＜0的解集．【解答】解：因为函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，f（2）=0，所以x＞2或﹣2＜x＜0时，f（x）＞0；x＜﹣2或0＜x＜2时，f（x）＜0；＜0，即＜0，可知﹣2＜x＜0或0＜x＜2．故选A．【点评】考查函数的单调性和奇偶性，以及根据积商符号法则转化不等式，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，体现了数形结合和转化的思想，属中档题．7.（5分）已知直线x+y+2=0截圆x2+y2=z2所得弦的长度为4，则圆半径为（） A． 2 B． C． 6 D． 参考答案：D考点： 直线与圆相交的性质．专题： 计算题；直线与圆．分析： 把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得z的值解答： 由题意，弦心距d==．∵直线x+y+2=0截圆x2+y2=z2所得弦的长度为4，∴由弦长公式可得2=4，∴|z|=；故选：D．点评： 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．8.侧棱长为的正三棱锥的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则球的表面积为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D略9.函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=0参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选B．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．10.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）已知a∈{x|（）x﹣x=0}，则f（x）=loga（x2﹣2x﹣3）的减区间为

．参考答案：（3，+∞）考点： 函数的值域．专题： 函数的性质及应用．分析： 本题可以先将已知集合时行化简，得到参数a的取值范围，再求出函数f（x）的定义域，根据复合函数单调性的判断规律，求出f（x）的单调区间，得到本题结论．解答： ∵（）x﹣x=0∴（）x=x，当x＞1时，，方程（）x=x不成立，当x=1时，方程（）x=x显然不成立，当x＜0时，方程（）x＞0，方程（）x=x不成立，当x=0时，方程（）x=x显然不成立，∴0＜x＜1．∵函数f（x）=loga（x2﹣2x﹣3）中，x2﹣2x﹣3＞0，∴x＜﹣1或x＞3．当x∈（﹣∞，﹣1）时，y=x2﹣2x﹣3单调递减，f（x）=loga（x2﹣2x﹣3）单调递增；当x∈（3，+∞）时，y=x2﹣2x﹣3单调递增，f（x）=loga（x2﹣2x﹣3）单调递减．∴f（x）=loga（x2﹣2x﹣3）的减区间为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．点评： 本题考查了指数方程、函数的定义域、函数的单调性，本题难度不大，属于基础题．12.在平面坐标系内，已知点，给出下面的结论；

①直线与直线平行；②;③；④，其中正确的结论序号是

参考答案：13..已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2，若A、B、D三点共线，则k=______________.参考答案：14.幂函数y＝f(x)的图像过点(9，3)，则f(2)＝______________．参考答案：4略15.已知，若不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a﹣1，a]上恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：（2，+∞）【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．【分析】画出f（x）的图象，由图象可知函数f（x）在R上为增函数，则原不等式转化为2x＞a在[a﹣1，a]上恒成立，解得即可．【解答】解：画出f（x）的图象，如图所示，由图象可知函数f（x）在R上为增函数，∵不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a﹣1，a]上恒成立，∴x+a＞2a﹣x在[a﹣1，a]上恒成立；即2x＞a在[a﹣1，a]上恒成立，故2（a﹣1）＞a，解得，a＞2，故答案为：（2，+∞）16.教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面上总有直线与直尺所在的直线

参考答案：垂直17.已知y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，它们的定义域均为[﹣3，3]，且它们在x∈[0，3]上的图象如图所示，则不等式的解集是．参考答案：{x|﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜1或2＜x＜3}【考点】函数奇偶性的性质；其他不等式的解法．【分析】先将不等式转化为f（x）g（x）＜0，观察图象选择函数值异号的部分，再由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，得到f（x）g（x）是奇函数，从而求得对称区间上的部分，最后两部分取并集即可求出不等式的解集．【解答】解：将不等式转化为：f（x）g（x）＜0如图所示：当x＞0时其解集为：（0，1）∪（2，3）∵y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数∴f（x）g（x）是奇函数∴当x＜0时，f（x）g（x）＞0∴其解集为：（﹣2，﹣1）综上：不等式的解集是{x|﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜1或2＜x＜3}故答案为：{x|﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜1或2＜x＜3}三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）

已知圆的半径为3，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切

（I） 求圆的标准方程（II）过点的直线与圆交于不同的两点，而且满足

，求直线的方程参考答案：（I）设圆心为，因为，所以，所以圆的方程为：

----------------------------------4分（II）当直线L的斜率不存在时，直线L：，与圆M交于此时，满足，所以符合题意

-------------------------6分当直线L的斜率存在时，设直线L： 消去y，得

整理得：

-----------（1）所以由已知得：

整理得：

-----------------------10分把k值代入到方程（1）中的判别式中，判别式的值都为正数，所以，所以直线L为：，即综上：直线L为：，

------------------------------12分19.设函数的一条对称轴是直线。（1）求得值；（2）求得单调增区间；（3），求f(x)的值域．参考答案：（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由函数的一条对称轴是直线，得，即可求解；（2）由（1）可得，令，即可求解函数的单调增区间.（3）由，所以，得到，即可求解.【详解】（1）由题意，函数的一条对称轴是直线，则，结合可得．（2）由（1）可得，令，可得，故函数的单调增区间为.（3）因为，所以，所以，故的值域为．

20.已知点关于直线的对称点为，且对直线恒过定点，设数列{an}的前n项和Sn，且,(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Tn为数列的前n项和，证明:对一切正整数n,有参考答案：(1)；(2)见证明【分析】（1）先通过点线的位置关系求出的值，再带入与的关系式中，再利用公式求出（2）由（1）知，再利用放缩法证明不等式。【详解】解：(1)由已知解得，.

①当时,

②由①—②得

数列是以首项为,公差为1的等差数列.当时,上式显然成立,(2)证明:由(2)知,①当时,,原不等式成立.②当时,,原不等式亦成立.③当时,当时,原不等式亦成立.综上,对一切正整数,有.【点睛】关于的常见放缩有。21.（6分）已知数列满足如图所示的程序框图。

（I）写出数列的一个递推关系式；并求数列的通项公式（Ⅱ）设数列的前项和，证明不等式≤，对任意皆成立．参考答案：解（Ⅰ）由程序框图可知,数列{an}的一个递推关系式:，

…………1分，．又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列，

…………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知数列的前项和

……………4分对任意的，所以